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Niveau troisième
Triangle rectangle DM type seconde
Posté par Benjicien
On considère un triangle ABC rectangle en A
Soit H le pied de la hauteur issue de A
Méthode 1:
1) Montrer que les angles ABH et HAC sont de même mesure
2) Exprimer tan ABH et tan HAC en fonction des longueurs AH, BH et HC
3) En deduire que AH²=BH*HC
Méthode 2:
1) Développer (BH+HC)²
2) Erire la relation de Pythagore dans chacun des triangles rectangles et en déduire que AH²=BH*HC
Pour la méthode 1, je n'arrive pas à trouver ce qu'il faut mettre pour 1) Mais pour le 2) je trouve:
tan ABH= HA/HB et tan HAC= HC/HA
En admettant que les angles ABH et HAC sont de même mesure ( quesion 1)) J'ai dit que les deux tangente sont égales et qu'on avait HA/HB=HC/Ha d'où HA²=HB*HC
Pour la méthode 2, le développement donne cela: (BH+HC)² = BH²+2*BH*HC+HC²
Il y a 3 triangles rectangles dans la figure, donc 3 relations de ¨Pyhtagore:
BA²=BH²+HA²
AC²=HA²+HC²
BC²=BA²+AC²
Et je n'arrive pas à trouver comment on pourrait arriver à HA²=HB*HC
Pouvez-vous m'expliquer mes erreurs et mes incompréhensions dans les 2 méthodes ???
Merci d'avance!
Benjicien
Ok, alors pour le 1.
Il faut se servir du fait que dans un triangle, la somme des angles vaut 180°
Donc :
Dans le triangle ABH :
HAB + ABH + BHA = 180° et AHB = 90°
Donc : HAB + ABH = 90°
Maintenant dans le triangle ACH :
AHC + HCA + CAH = 180° et AHC = 90°
Donc : HCA + CAH = 90°
Et dans le triangle ABC :
ABC + BCA + CAB = 180° Et CAB =90°
Donc : ABC + BCA = 90°
En conclusion :
HAB + ABH = HCA + CAH =ABC + BCA = 90°
Avec toutes ces égalités, tu peux prendre celles qui te servent et trouver que ABH = HAC
Methode 2:
(BH+HC)² = BH²+2*BH*HC+HC²
et
BA²=BH²+HA²
AC²=HA²+HC²
BC²=BA²+AC²
et
BC = BH+HC
Donc
(BH+HC)2=BC2= BA²+AC²
BH²+2*BH*HC+HC² = BA²+AC²
donc
BA² = BH²+2*BH*HC+HC2 - AC²
et
BA²=BH²+HA²
alors
BH²+2*BH*HC+HC2 - AC² = BH²+HA²
Et encore :
AC²=HA²+HC²
On remplace :
BH²+2*BH*HC+HC2 - HA²-HC² = BH²+HA²
Et ça, il faut tout transformer pour arriver à l'égalité qu'il faut...
voilà !
Alors tu t'en sors ?
Bon Dimanche 
Je suis tout à fait ton résonnement mais pour la méthode 1, il faut démontrer que l'angle ABH= L'angle HAC et d'apres ta conclusion, je n'arrive toujours à prendre les égalités qu'il faut car on ne connait pas d'angle et la, je suis bloqué !
POur la méthode 2, comment arrives-tu à transformer ton égalité finale ????
Merci
benjamin
1) On a les mesures des angles suivants:
HAB+ABH=HCA+CAH=ABC+BCA=90°
Comment arriver a ABH=HAC ??????
2) On a :
BH²+2*BH*HC+HC²-HA²-HC²=BH²+HA² On voudrait arriver à AH²=BH*HC
Merci d'avance
Benjicien
*** message déplacé ***
Je crois qu'il s'agit d'un triangle ABC rectangle en A et H et le pied de la hauteur issue de A dans ce triangle.
Si cela est correcte alors que penses-tu des angles HAC et HCA ? Que penses-tu des angles ABH et ACH ? En déduire.
*** message déplacé ***
Pour le 1, il faut se rappeler que ABH = ABC et que CAH+HAB=90°
HAB + ABH = HCA + CAH =ABC + BCA = 90°
HAB + ABH = CAH + HAB = 90° -> ABH = CAH
ABH = HAC. Voilà!
Le 2.
BH²+2*BH*HC+HC2 - HA²-HC² = BH²+HA²
-On soustrait par BH2 des 2 côtés / et HC2-HC2 se simplifie.
2BH*HC - HA2=HA2
-On Additionne par HA2
2BH*HC = 2HA2
-On divise par 2
et on trouve :
HA²=HB*HC