bonsoir
vectoriellement
HI=HA+AI
HJ=HA+AJ
HI.HJ=(HA+AI)(HA+AJ)
=HA²+HA(AI+AJ)+AI.AJ
or AI+AJ=AH (méthode du //logramme pour additionner 2 vecteurs) (puisque tu as démontré la propriété par géométrie, il ne t'a pas échappé que AJHI est un rectangle)
donc
HI.HJ=HA²+HA.AH+AI.AJ
=AI.AJ=0 puisque AI et AJ sont deux vecteurs perpendiculaires
Bon travail

Je me suis mal exprimé et je m'en excuse.
Le triangle ABC est rectangle en A mais pas isocéle.
J'ai démontré que (HI) et (HJ) sont perpendiculaires par les triangles isocéles AIH et AJH.
Donc AJHI n'est pas un rectangle.
As-tu une idée? Merci beaucoup.

Avec tout ce qui suit en vecteurs.

HI.HJ = (HB+BI).(HC+CJ)
HI.HJ = (HB + (BA)/2).(HC+(CA/2))
HI.HJ = HB.HC+(1/2).CA.HB + (1/2).BA.HC+(1/4).BA.CA
HI.HJ = (1/2).HB.HC+(1/2).HB.HC +(1/2).CA.HB + (1/2).BA.HC
HI.HJ = (1/2).HB.(HC+CA) + (1/2).HC(HB+BA)
HI.HJ = (1/2).HB.HA + (1/2).HC.HA
HI.HJ = 0

Et donc HI et HJ sont perpendiculaires.
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Sauf distraction.  

Pourrais-tu m'expliquer comment ttu passe de la 3e à la 4e ligne?
Je te remercie beaucoup de ton aide, je peine un peu sur le produit scalaire.

HI.HJ = HB.HC + (1/2).CA.HB + (1/2).BA.HC + (1/4).BA.CA
Comme le triangle est rectangle en A, AB est perpendiculaire à AC -> BA.CA = 0

de plus on a HB.HC = 2*(1/2).HB.HC = (1/2).HB.HC + (1/2).HB.HC (1 poire = 2 demi poires )

->

HI.HJ = (1/2).HB.HC + (1/2).HB.HC + (1/2).CA.HB + (1/2).BA.HC
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OK ?

Ca y est j'ai compris. Je te remercie, tu m'as super bien aidé. C'était tout de même un peu dur.