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Triangle rectangle et produit scalaire

Posté par
Boromir
13-02-14 à 16:24

Bonjour à tous,


Voici l'énoncé :

En utilisant les renseignements portés sur la figure, calculez les produits scalaires suivants :
1) (\vec{AB} + \vec{AH}).\vec{AB}
2) (\vec{AH} + \vec{HC}).\vec{AB}
3) (\vec{AH} + \vec{HB}).(\vec{AH} + \vec{HC})

Je voudrais juste avoir une confirmation de méthode :
1)On applique le théorème de Pythagore dans le triangle ABH rectangle en H pour trouver la norme de AH. On calcule AB + AH puis on emploie l'expression du produit scalaire utilisant les normes (1/2 de Delta) pour obtenir le scalaire de ce résultat avec AB.
2)On emploie la relation de Chasles pour avoir \vec{AC}.\vec{AB}, on calcule AC dans le triangle AHC rectangle en H avec le théorème de Pythagore et on applique AB et AC à la définition déjà utilisée en question 1).
3)On emploie la relation de Chasles pour avoir \vec{AB}.\vec{AC}, on trouve un résultat identique à celui de la question précédente (même données, même formule employée).      


Je reviens ce soir.

Triangle rectangle et produit scalaire

Posté par
idm
re : Triangle rectangle et produit scalaire 13-02-14 à 16:52

Salut,
oui c'est correct pour le 2) et 3) avec chasles, mais pour conclure tu as besoin des angles entre les vecteur... Je ne comprend pas ce que tu veux dire pour 1). Tu peux aussi simplement utiliser la relation (\vec{a}+\vec b)\cdot \vec c=\vec a\cdot \vec c+\vec b\cdot\vec c

Posté par
carpediem
re : Triangle rectangle et produit scalaire 13-02-14 à 16:53

salut

(AB + AH).AB = AB2 + AB.AH = AB2 + AB.(AB + BH) = 2AB2 - BA.BH = 2AB2 - 2 * 1 * 1/2 = 3

...

Posté par
carpediem
re : Triangle rectangle et produit scalaire 13-02-14 à 16:54

non idm il n'est peut-être pas besoin des angles des vecteurs .... mais uniquement que de leur cosinus ... comme je vient de le montrer ....

Posté par
carpediem
re : Triangle rectangle et produit scalaire 13-02-14 à 16:55

2/ il n'y a pas besoin de AC mais uniquement AH ...

Posté par
carpediem
re : Triangle rectangle et produit scalaire 13-02-14 à 16:56

je ne vois pas de différence entre les questions 2/ et 3/ ...

d'ailleurs j'utilise 3/ pour résoudre 2/ ....

Posté par
verdurin
re : Triangle rectangle et produit scalaire 13-02-14 à 17:00

Bonjour,

il me semble plus simple de développer les produits.

par exemple pour le 1)
(\vec{AB} + \vec{AH})\cdot\vec{AB}=\vec{AB}\cdot\vec{AB}+\vec{AH}\cdot\vec{AB}=\lVert\vec{AB}\rVert^2+\overline{AH}\cdot\overline{AH}
mais ça dépent un peu de ce que vous avez déjà vu en cours.

Posté par
carpediem
re : Triangle rectangle et produit scalaire 13-02-14 à 17:11

oui verdurin ... mais on peut le faire sans calculer AH .... même si il y en aura besoin pour la suite ....

Posté par
carpediem
re : Triangle rectangle et produit scalaire 13-02-14 à 17:14

et ça fait 7  ... pardon ...

Posté par
verdurin
re : Triangle rectangle et produit scalaire 13-02-14 à 17:32

Salut cueilleur de jours.

Citation :
oui verdurin ... mais on peut le faire sans calculer AH .... même si il y en aura besoin pour la suite ....


Je suis d'accord. Et avec le 7 aussi.

Il se trouve que j'ai commencé à taper mon message avant ta réponse, puis j'ai été interrompu, et j'ai continué sans regarder si des réponses étaient arrivées.

Posté par
carpediem
re : Triangle rectangle et produit scalaire 13-02-14 à 17:54

no problemo ...

Posté par
Boromir
Merci. 13-02-14 à 18:46

Donc j'ai bon pour 2) et 3).

Pour 1), j'utilise la 4ème propriété ici :
http://xmaths.free.fr/1S/cours/cours.php?nomcours=1Spscacours&page=03
Je pensais que ça allait, qu'est ce qui n'est pas correct ?

Posté par
Boromir
!!! 13-02-14 à 21:47

J'ai effectué, pour la question 1):
* Transformation de (AB + AH).AB en AB.AB + AB.AH
(je n'ai pas mis de flèches mais ce sont bien des vecteurs).
* Calcul de AH = \sqrt{3} via le théorème de Pythagore.
* Calcul des produits scalaires avec la propriété indiqué dans mon message de 18:46.
* J'obtiens finalement AB.AB + AB.AH = 4 + 2 \sqrt{3}
Il y a un problème, non ?

Posté par
verdurin
re : Triangle rectangle et produit scalaire 13-02-14 à 21:52

Oui.
\vec{AB}\cdot \vec{AH}=3

Posté par
Boromir
??? 13-02-14 à 21:59

D'accord, merci beaucoup.

J'ai le même résultat pour la 2), c'est bizarre...

Posté par
carpediem
re : Triangle rectangle et produit scalaire 14-02-14 à 01:03

2/ et 3/ sont égaux par la relation de Chasles

on développe 3/ et on obtient immédiatement le résultat :3 - 2 = 1

...

Posté par
Boromir
??? 14-02-14 à 09:55

J'ai dû mal comprendre quelque chose parce que je trouve le même résultat qu'à la 1) aux 2) et 3). Je vous montrerais ce que j'ai écrit cette après-midi vers 16 heures.

Posté par
Boromir
Tentative de réponse 14-02-14 à 18:37

Voici ce que j'ai pour l'instant écrit sur ma feuille d'exercice.

(désolé pour la mauvaise qualité de mon écriture).

Tentative de réponse

Tentative de réponse

Posté par
carpediem
re : Triangle rectangle et produit scalaire 14-02-14 à 19:15

(AH + HB).(AH + HC) = AH.HB + AH.HC + AH.AH + HB.HC = 0 + 0 + 3 - 2 * 1 = 1

...

Posté par
Boromir
Merci. 14-02-14 à 20:36

Alors, ça c'est pour la 3). En fait, il fallait réussir à obtenir des vecteurs colinéaires.

Pour la 2), est-ce correct si on fait :
* (AH + HC).AB = AC.AB
* On calcule AC dans le triangle AHC avec le théorème de Pythagore.
* On remplace dans AC.AB

Posté par
carpediem
re : Triangle rectangle et produit scalaire 14-02-14 à 20:43

il faut aussi l'angle ...

Posté par
Boromir
??? 14-02-14 à 20:54

Que je ne peux pas obtenir...

Donc il faut faire comment au final ?

Posté par
carpediem
re : Triangle rectangle et produit scalaire 14-02-14 à 20:57

voir à 19h15 ....

Posté par
Boromir
Merci. 14-02-14 à 21:08

Je ne comprend pas comment vous développez...

Posté par
Boromir
Réponse question 2) 14-02-14 à 22:01

Comment transformer ceci :
(AH + HC). AB
Avec la relation de Chasles ?
Ou autre chose ? Je suis perdu.
Je ne comprend toujours pas votre message de 19h15.

Posté par
Boromir
À demain ! 14-02-14 à 22:01

Je reviens demain.

Posté par
carpediem
re : Triangle rectangle et produit scalaire 14-02-14 à 22:47

relation de Chasles :: \vec {AB} = \vec{AH} + \vec {HC}

Posté par
Boromir
re : Triangle rectangle et produit scalaire 15-02-14 à 14:39

Si l'on parle de la relation de Chasles, ce serait plutôt : AB = AH + HB (en vecteurs).

2/ et 3/ sont donc bien équivalents puisqu'en utilisant ce théorème dans 2/ on retrouve 3/.

Pour la 3/, il suffit donc juste de marquer "voir 2/".

Posté par
Boromir
re : Triangle rectangle et produit scalaire 15-02-14 à 15:56

Citation :
salut

(AB + AH).AB = AB2 + AB.AH = AB2 + AB.(AB + BH) = 2AB2 - BA.BH = 2AB2 - 2 * 1 * 1/2 = 3

...

D'où vient le 1/2 ?

Posté par
carpediem
re : Triangle rectangle et produit scalaire 15-02-14 à 18:53

le cosinus de l'angle ...

Posté par
Boromir
??? 15-02-14 à 19:25

Le cosinus de ABH ? On n'a pas la mesure de cette angle !

Tu l'as calculé avec cos = adjacent / hypoténuse, c'est ça ?

Posté par
Boromir
Pardon. 15-02-14 à 19:26

Oups : pardonnez-moi, dans le feu de l'action, je vous ai tutoyé. ^^'

Posté par
carpediem
re : Triangle rectangle et produit scalaire 15-02-14 à 19:36

tu peux me tutoyer ... no problemo ....

ben oui ....



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