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Triangles et suites géomètriques
Bonjour à tous,
Je suis actuellement en pleine révisions pour mon prochain DS de maths qui porte sur les suites.
En feuilletant un peu mon livre de maths je suis tombée sur un exercice qui m'a complètement bloquée.
J'aurais voulu que vous me donniez s'il vous plait quelques pistes pour savoir comment se résout ce type d'exercice.
d et d' sont deux droites sécantes en O et non perpendiculaires.
A partir d'un point A0 de la droite d, distinct du point O on définit une suite de points (An)n
telle que An+1 soit le projeté orthogonal de An sur l'autre droite.
(J'ai joint une image de la figure)
a) Démontrer que pour tout entier naturel n les triangles AnAn+1An+2 et An+1An+2An+3 sont des triangles semblables.
On note k le coefficient d'agrandissement-réduction qui permet de passer du triangle AnAn+1An+2 au triangle An+1An+2An+3
b) On définit la suite u en posant pour tout entier naturel n, un=AnAn+1.
Démontrer que u est une suite géométrique. Quelle est sa raison ?
c) Pour tout n de on note an l'aire du triangle AnAn+1An+2.
Montrer que la suite (an)n est géométrique. Quelle est sa raison ?
Pour la question a je pense que puisque nous sommes dans une situation du théorème de Thalès :
- 0, A2, A0 sont alignés
- 0, A3, A1 sont alignés
- (A2A3) et (A0A1) sont parallèles
on peut donc dire que les triangles A0A1A2 et A1A2A3 sont semblables et donc par extension on peut en déduire que AnAn+1An+2 et An+1An+2An+3 sont semblables.
Mais j'ai un doute : est-ce que ce n'est pas exagérer de raisonner comme ça ? 
Pour la question b je bloque complétement...je sais que pour prouver qu'une suite est géométrique il faut démontrer que un+1 / un = q (qui est la raison de la suite)
De plus je pense que l'on doit trouver comme résultat ici un+1 / un = k puique que nous somme dans une condition où les triangles sont semblables et reliés entre eux par ce coefficient d'agrandissement-réduction k et pourtant je ne trouve pas comment calculer ce résultat ! 
Pour moi si je fais un+1 / un je trouve : An+1An+2 / AnAn+1 ce que je pourrais simplifier en An+2 / An.......mais après ?
Pour la question c je pense que je pourrais y arriver lorsque j'aurais compris comment résoudre la b.
Je suis désolée pour ce si long message et j'espère que certains d'entre vous pourront m'aider.
Merci d'avance ! 
Bonjour,
Ton raisonnement avec Thalès dans le a) est correct. Tu peux même le faire directement à l'ordre n.
Pour la question b), attention : An+1An+2 est une distance, pas un produit. Tu ne peux donc pas simplifier.
Ici aussi, il suffit d'appliquer Thalès.
Merci beaucoup pour ta réponse Hypathie.
J'ai compris mon erreur pour la simplification, c'était un peu stupide...
Par contre pour appliquer Thalès je suis toujours un peu bloquée...
J'imagine qu'il faut partir des égalités que nous donne le théorème de Thalès :
0An+2 / 0An = OAn+3 / OAn+1 = An+2An+3 / AnAn+1
Or nous ce qu'on cherche finalement c'est de calculer un+1 / un
Comme un = AnAn+1 on peut en conclure que un+1 / un = An+1An+2 / AnAn+1
Mais je ne vois pas ce que m'apporte l'égalité de Thalès puisque je ne peux remplacer aucune valeur dans l'égalité un+1 / un 
:?
Encore merci à ceux qui m'aideront, bonne soirée !
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