Ce n'est pas exactement ce que tu disais

Les rectangles sont-ils sous-jacents ou postérieurement ajoutés ?

On part d'un pavage du carré en rectangles , on trace et prolonge une diagonale de chacun d'entre eux et on trie les bonnes configurations . La tâche n'est pas évidente mais on réduit le problème à un pavage en rectangle , c'est une petite économie .

Y-a-t-il une configuration qui échappe à cette construction ?

Imod

ce que je disais est que la configuration B (dont on était parti, message du 27-06-22 à 10:24) n'est pas pavable directement en rectangles
bien entendu si on la transforme (ce que tu dis de faire pour la paver) en la configuration A , eh bien c'est exactement ce que je dis :
que la configuration A est pavable (facilement) et elle est de la même famille (triangles de même forme)

et que bien sûr ces transformations sont dans le sens qu'on veut ... avec plus ou moins d'imagination.

Il y a bien un pavage sous-jacent à la figure B :



Maintenant est-ce que la décomposition en rectangles donne facilement des décompositions en triangles , c'est une autre affaire

Imod

Vu
(il suffisait d"échanger deux rectangles ...)

"donne facilement des décompositions en triangles"

c'est certain
moyennant des redécoupes et des regroupements de morceaux bien entendu :
au dela de 3 rectangles dans le pavage il y aurait plus de 2x3 = 6 triangles

par contre la question toujours ouverte est
donne-t-elle LES décompositions en triangles de cette famille ?
comment être certain qu'on a toutes les décompositions de cette famille (aux symétries près) ?

cette famille là pour l'instant :



y'en a-t-il d'autres avec le même ratio des côtés de l'angle droit ?

Je reste dans le vague car je n'ai aucune efficacité en recherche pratique . Un plan possible :

1°) On cherche les différents ratios possibles (  5 jusqu'à présent ) .

2°) On cherche une ou plusieurs solutions ( en passant éventuellement par des rectangles ) .

3°) On regarde toutes les permutations possibles non isométriques .

Le passage par les aires me semble inévitable , le fait que les ratios ne soit pas rationnels et donc les aires un peu "sales" n'est vraiment gênant , il suffit de calculer avec suffisamment de décimales .

Pour une certaine tranquillité d'esprit , il serait bon aussi de connaître les ratios pour lesquels tout est plié .

Ce n'est bien sûr qu'une idée de plan tout à fait critiquable

Imod

les différent ratios à ce jour, ça fait 6
et pour chacun le nombre de découpages connus à ce jour (par moi)

ratio = 1 (carrés) : 17 configurations
ratio = 1/2 (2 rectangles égaux) : 17 configurations
ratio = 1/3 (3 rectangles égaux) : 3 configurations
ratio = 2/3 (3 rectangles dont deux égaux ) : 5 configurations
ratio = x0 = 0.56984, x^3- x^2 +2x -1 = 0 (3 rectangle inégaux) : 32 configurations
ratio = x1 = 0.6478, 2x^3 - 2x^2 + 2x + 1 = 0 (4 rectangles dont 2 égaux) : 7 configurations , ma dernière figure

J'ai commencé à vérifier les résultats de Mathafou afin que l'on puisse se concentrer sur ce qu'il reste à faire .

Ratio R=1

Deux décompositions possibles en terme d'aires :

1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+1/32=1

1/4+1/4+1/8+1/8+1/8+1/8=1

La première décomposition donne 8 solutions et la deuxième 4 soit 12 en tout .

Ratio R=1/2

Une seule décomposition : 1/4+1/4+1/5+1/5+1/20+1/20=1 .

Je trouve en toute 9 solutions .

Ratio R=1/3

Une seule décomposition : 1/6+1/6+1/6+1/6+1/6+1/6 .

Trois solutions en tout .

Bien sur j'ai fait le plus facile mais ce ne sont pas tout à fait les chiffres annoncés par Mathafou . J'aimerais une confirmation ou une infirmation avant de continuer

Imod

celles que j'ai trouvées
ma méthode ; subdiviser un des n triangles pour obtenir n+1 triangles (ou n+3)
2 triangles 1 diagonale
je coupe un de ces triangles
-soit en 2 (par sa médiane)
- soit en 4 (triangle médian)
etc ...

et il y en a qui en fait viennent au départ du ratio1/2 mais qui bifurque vers du ratio 1



les vrais ratio 1/2 :



OK pour le ratio1/3 (il n'y a pas tellement le choix !)

nota : dans chaque configuration, les couleurs indiquent les triangles égaux.
et le 2/3 pour en terminer (à ce que j'en sais ) avec les ratio rationnels :

Bonjour
dpi ayant abandonné il reste 2 motivés pour essayer d'atteindre les 97 solutions. Il n'en manque pas beaucoup mais, comme toujours, c'est peut-être le plus difficile qu'il reste à trouver. N'ayant plus de nouvelles idées je leur laisse les clés pour diriger les opérations.
mathafou, avec quel logiciel fais-tu tes croquis ?

les figures individuelles avec geogebra

les planches de figures ... avec Paint !
à main levée, mais avec les outils inclus :
trait (pour des traits droits ) et l'outil "rectangle", textes, flèches etc
avec Shift en même temps, les traits sont exactement à 0°, 45° etc
et les rectangles des carrés. (et les ovales des cercles)
on voit bien que dans ces figures de principe, le 1/3 ne vaut pas exactement1/3 il a été découpé "au pif"
de même pour les angles droits au pif
j'utilise énormément le copier-coller et la gomme

pour un découpage plus complexe (irrationnel), je copie colle dans Paint une figure construite avec Geogebra et réduite
la construction "exacte" avec Geogebra se fait en lui faisant résoudre l'équation du 3ème degré, ou "par conique" (intersections d'une parabole et d'une hyperbole)
je re copie colle ensuite cette figure de base à volonté pour les variantes "de principe" au pif dans Paint

les planches "ratio irrationnel" à suivre...
on attend déja :
"J'aimerais une confirmation ou une infirmation avant de continuer " car pour les ratio rationnels, peut être Imod n'a-t-il pas les mêmes que moi...

Bonjour Mathafou

Je ne t'avais pas oublié mais je ne suis pas dans mes conditions de travail habituel et j'ai du mal à produire quelque chose de construit . Tes dessins résument bien la situation et les cas r=1 , r=1/2 , , r=1/3 et  r=2/3  sont définitivement réglés . Pour les deux autres , il va être délicat de s'assurer que tu as tout  été trouvé mais il serait bon de résumer l'état actuel des résultats .

De mon côté j'ai continué à regarder les pavage du carré en rectangles . On a épuisé les pavages avec deux ou trois rectangles mais on a vu que certains pavages en quatre rectangles pouvaient aussi produire des solutions . J'ai trouver des pavages en quatre avec des ratios de 1/2 , 3/4 , 2/5 et 3/5 mais qui n'apportent rien à priori . Par contre j'en est trouvé un autre avec un ratio non rationnel voisin de 0,72 qui est plus productif :



Il y a des variantes et on peut changer les positions des rectangles à gauche pour d'autres solutions .

Imod

Bien vu !
c'est comme l'autre en 4 rectangles dont 2 égaux : ça devrait en rajouter environ 7 d'un coup
pas le temps dans l'immédiat
en tout cas le rapport est x₂ 0.715225238435...
solution de x^3 -x^2 + 3x -2 = 0

Bien vu en effet mais je ne vois que 4 figures de plus.

en fait pas si prometteur que ça ce nouveau rapport : je n'en trouve que deux (même pas 4, identiques par symétries)
les autres tentatives de mélanger ces triangles ou leurs avatars se soldent par des échecs avec 6 triangles (triangles inexacts ou trous ou superpositions )

je donne d'un coup, vu qu'il y a peu de solutions, les deux familles issues des découpes en 4 rectangles dont deux égaux

et la famille la plus nombreuse de ces rapports irrationnels :
celle issue de la découpe en 3 rectangles inégaux.
elle donne deux découpes en 5 triangles et donc on peut prolonger à 6 en en découpant un, et donc de nombreuses solutions .



c'est tout ce que j'ai (donc 83 en comptant les deux dernières)

Bonjour
J'en vois 4 et non 2 en plus.
Il aurait peut-être fallu demander d'abord quelles sont les différentes façons de partager un carré en 4 rectangles semblables. Cependant, tous ces découpages ne peuvent pas donner 6 triangles semblables (voir ci-dessous par exemples).

si tu penses à celles entourées en rouge, ce sont les mêmes par symétrie



donc je persiste à dire 2 et pas 4, à moins d'un autre découpage totalement différent avec ce même ratio, que je n'aurais pas vu.
aucun de ceux essayés sur des paquets de lignes dans tous les sens avec cet angle là ne marche exactement
mais je ne garantis pas que je n'en ai pas oublié, de ces découpes là ...


si on considère comme différentes une configuration (asymétrique) et son image globale dans un miroir, ce n'est pas 97 qu'on va obtenir mais énormément plus !!

le problème de la découpe en 4 rectangles est que cela induit une découpe en 8 triangles et non 6
donc seules "marchent" celles pour lesquelles on peut regrouper plusieurs triangles en un seul
ou une découpe directe en triangles, non directement ("artificiellement") liée à une découpe en rectangles, la découpe en rectangles n'apportant pas vraiment grand chose du coup.

Ils sont symétriques mais pas identiques. Regarde les découpages en 5 triangles présentés par la revue, il y en a de symétriques. Donc on aurait dépassé les 97 si on comptabilise les symétriques.
Je vais essayer de trouver sur Internet ces fameux 97 découpages.

J'en compte 2 aussi et les équations et ratios donnés par Derny me semblent faux . Je ne suis pas aussi catégorique sur l'inutilité des découpages en 4 rectangles .

Imod

Je n'ai pas dit que les découpages en 4 rectangles étaient inutiles, j'ai dit qu'il ne pouvaient pas tous donner les 6 triangles semblables.

Mes ratios me semblent bons, quels sont les tiens ?

si j'inverse les 3 petits rectangles sans toucher aux grands j'obtiens le symétrique de l'autre ou j'ai inversé les grands sans toucher aux petits
c'est donc la même chose.

"Regarde les découpages en 5 triangles présentés par la revue, il y en a de symétriques
entre eux ? ah oui ? lesquels ? aucun n'est l'image d'un autre dans un miroir


Imod : je n'ai jamais dit que c'était inutile, juste que une redécoupe en triangles dans laquelle ces rectangles n'apparaissent que de façon artificielle ne s'obtient pas facilement
pas plus facilement que si on n'avait pas découpé en rectangles du tout mais tiré ça d'une découpe directe en triangles.

Derny : j'avais choisi une autre inconnue que la tienne mais j'ai le même ratio , désolé pour la méprise

J'abandonne la découpe en quatre rectangles et je regarde si je peux faire quelque chose avec les aires pour R=0,57 .

Imod

Je n'ai rien trouvé sur Internet concernant les 97 solutions. Dommage. Mais j'ai peut-être mal cherché.

En observant les aires pour R=0,57 , je suis tombé sur ce dessin  ( à compléter )  , je ne sais pas s'il figure dans la liste des figures déjà listées .



Imod

oui,
c'est juste retourné celui du 27-06-22 à 13:10

il engendre 7 solutions (le 29-06-22 à 23:24)

Bonsoir
Il semble que les quelques cas qui manquent soient difficiles à dénicher ce qui était prévisible. Personnellement j'abandonne. Mais je serais ravi si quelqu'un apportait un complément à tout ce qui a été fait. Merci à imod et mathafou pour leur contribution.

on trouve : Tiling polygons by similar polygons
le pavage de polygones par des polygones semblables
dans lequel il y a un critère pour qu'un triangle, ou un rectangle, et ses semblables pavent un carré
résumé :
les seuls triangles qui pavent un carré par des triangles semblables sont
- les triangles rectangles dont le ratio est solution d'une certaine forme générale d'équation algébrique
- les trois triangles "sporadiques" non rectangle :

, , et

hélas rien n'est dit en combien de triangles a lieu ce pavage !
j'ai l'impression, après quelques essais, que c'est largement plus que 6 triangles !



en tout cas l'existence de triangles non rectangles est peut être une piste à creuser ...

mais comme tout ça semble peu bloqué , je ne vais pas creuser d'avantage non plus

Merci pour le lien. Je ne comprends pas tout. Il y aurait des livres à acheter sur le sujet.
J'avais aussi pensé à des triangles non rectangles mais j'avais vite abandonné car comme toi, 6 triangles semblent peu.