Bonjour,
Dois-je comprendre cette solution par exemple ?

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le blanc compte pour 1

Bonjour
moi j'ai ça
pas sur de ne pas en oublier et je considère comme identiques, donc pas listé, des découpages qui se déduisent par une symétrie ou rotation du carré

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les dernières nécessitent quelque explication
les rectangles ont pour rapport L/l 1.754878, solution de x³ - 2x² + x - 1 = 0

PS : dessins à main levée avec Paint

Bonjour
Bons débuts

j'en rajoute 5 :

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(encore une équation de degré élevé ...)

et 5 variantes du même (même équation)

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moins un de la dernière série car déja trouvé autrement.

Bonjour
Bel effort de mathafou qui en a 40 si je compte bien. Je n'en ai pas plus. Alors qu'il y en a au moins ... 97. Il reste de la recherche à effectuer.

ça en fait énormément plus alors que la recherche des configurations s'essouffle ...

j'en rajoute 12 encore par échange de pièces de mes dernières trouvées (sur la trame des 3 rectangles semblables)

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Bonjour
On peut se servir du découpage en 5 et découper en 2 un des triangles. Mais pas facile de trouver d'autres triangles que ceux mentionnés par mathafou. Ci-dessous l'origine du problème dans JJM N°19.

Bonjour à tous

Comme toujours Mathafou est rentré à fond dans le problème et j'avoue que toutes ces solutions m'affolent un peu

Si on ne veut pas se perdre il faut trouver une classification des variantes .

Pour moi il y a déjà toutes les solutions qui viennent d'une décomposition en 5 par l'ajout d'un segment  . On peut aussi regrouper celles qui viennent d'un échange à l'intérieur de deux triangles identiques . Il y a certainement d'autres choix de classification .

Imod

dans les découpages en 5 qu'ils donnent, il en manque.

de plus chaque découpage en 5 ne donne pas 5 découpages en 6
à cause des symétries et du fait qu'un même découpage en 6 peut être obtenu à partir de deux découpages en 5 différents

et finalement il y a des découpages en 6 qui ne viennent pas d'un découpage en 5 mais d'un découpage en rectangles

après quelques autres oublis, j'en suis à 64.
(l'image avec mes 64 découpage est assez énorme)
je donne juste mes familles :



(il y a des sous familles)
les trois dernières ont un point commun : la construction du point "central" est la même, à partir de la découpe en trois rectangles semblables inégaux. (un problème en soi)
solution d'une équation de degré 3 comme déja signalé, donc non constructible à la règle et au compas

PS le nommage des fichiers
l'aperçu me donne toujours la même mauvaise image et pas celle que j'attache,
on verra bien je poste c'est OK une fois posté ...

j'en ai rajouté encore quelques uns qui apparaissent "fortuitement" quand un rectangle se forme par hasard à un endroit inattendu

par exemple dans la série où on commence par couper le carré par une médiane :



il apparaît fortuitement un rectangle formé de deux triangles jaunes
on peut les échanger pour obtenir une nouvelle solution "en dehors" de cette famille (et rattachée à aucune autre)

du coup j'en suis à 69.

Tu vas trop vite pour moi Mathafou et je poursuis d'autres lièvres en ce moment  

On peut aussi regarder le problème de façon algébrique en considérant uniquement les aires avant de chercher à les répartir dans le carré ( quand c'est possible ) . C'est certainement très lourd mais exhaustif ( un travail d'ordinateur )

Imod

je ne vois pas trop ce qu'on peut faire avec les aires .. mais si tu as des idées de ça, pourquoi pas ...

Non , en fait c'était un pétard foireux

Je reste tout de même sur l'idée qu'on ne progressera pas sans une hiérarchisation des solutions . En fait je ne vois que 4 points de départ ( les deux premiers n'étant pas complètement indépendants ) en traçant :

1°) une diagonale .
2°) une médiatrice .
3°) un "drapeau" à trois bandes .
4°) deux bandes inégales .

On doit pouvoir épuiser facilement les 3 premiers cas et je crois que c'est la priorité . Le dernier cas risque d'être très pointu vu le nombre de configurations .



Je n'ai pas développé toutes les branches

Imod

En fait dans le cas de deux bandes inégales , la situation est encore plus complexe que je ne le pensais :



Vouloir trouver toutes les solutions sans GPS me semble vain .

Du coup j'en reviendrais presque à ma mauvaise idée : la somme des aires des 6 triangles doit être égale à 1 .
Après on compose façon puzzle . Les aires des pièces donnant une façon de classer les solutions .

Imod

ce qui est à peu de chose près les familles que j'ai décrites le 25-06-22 à 14:45

ta figure regroupe certaines des configurations issues de "2 bandes inégales" et que j'ai séparées en mes trois dernières familles
du coup c'est assez illisible (pour moi)
il vaudrait mieux ajouter ces traits au fur et à mesure en créant des "sous familles"et pas tous les superposer ainsi.
j'ai la nette impression que certaines de tes découpes ne servent à rien. (redonnent les même par symétrie)

mais bon ... comme on n'en est toujours pas à 95, je peux me tromper à ce sujet.

Il y a méprise sur mon intension . Il y a de nombreux triangles sur mon dessin , on peut calculer l'aire de chacun . On liste ensuite les groupes de 6 dont la somme des aires est unitaire . Il reste à répartir les morceaux de différentes façons pour tenter de reconstituer le carré . C'est un travail de titan mais je vois mal comment épuiser les solutions autrement .

Sur la figure il y a sans doute des segments inutiles ou manquant .

Imod

ah, je vois.

ça ne va pas être facile avec des dimensions, aires et rapports qui viennent tous de la solution d'une équation irréductible de degré 3.

et puis

celui là n'a aucun rapport avec toutes les familles précédentes



(facteur de forme des triangles sans aucune mesure avec les précédents)
il y a donc encore à creuser sur les formes de triangles

Bonjour
97, pas 95.
Pas mal d'idées surtout de mathafou. Je ne vois pas comment en trouver d'autres pour progresser. Pourtant il en manque encore pas mal.  

Pas mal la dernière trouvaille de mathafou.

Qui en donne un autre (je dois vérifier)

le problème est que "ma dernière trouvaille" ne se prête guère à variations comme les familles précédentes.
c'est une configuration isolée
s'il y en a encore beaucoup de ces configurations isolées, on n'est pas sorti de l'auberge ...

le minerai à creuser est
l'existence d'autres familles que celles déja connues
l'oubli de membres dans les familles déja connues.

Sauf erreur la dernière de mathafou est un mixte des deux bandes et trois bandes parallèles. D'où la nécessité de creuser les exemples simples .

Imod

Les découpes de couleur intérieures sont au choix.

Finalement j'ai un doute sur le dessin de mathafou de 10h24.

En tout cas ce n'est pas un mixte des deux et trois bandes comme je le pensais .

Imod

on peut classer en grandes familles par la forme du triangle, rapport des cotés de l'angle droit = tan
celles connues à ce jour :

tan = 1 (la famille basée sur une diagonale du carré)
tan = 1/2 (découpe selon une médiane)
tan = 1/3 (3 bandes égales)
tan =x₀, solution de x³+ x² -2x +1 = 0 "les bandes inégales" précédentes, découpe en 3 rectangles semblables inégaux
edit erreur de signe sur x³ : x³- x² +2x -1 = 0
tan =x₁, solution de 2x³- 2x² +2x +1 = 0,"ma dernière trouvaille", "famille" composée d'un seul membre en l'état actuel des choses.

D'accord pour cette classification.
mathafou, as-tu vérifié ton dessin de 10h24 ?

derny
tu aurais pu réduire ton image : ça ne tient pas dans l'écran
en tout cas c'est un extrait d'une famille déja connue : celle dont on discute avec Imod
qui comporte encore bien d'autres membres


"ma dernière trouvaille" pour dissiper les doutes :



soit M un point de AB
on trace les segments CM, DN, AE et MP définissant les triangles semblables MBC, NCD, ADE et AMP, semblables par construction quelle que soit la position de M

"ça fonctionnera" si NP est parallèle à AB, assurant que les deux derniers triangles sont aussi semblables aux autres.

si j'appelle x = BM , dans un carré unité
AMB semblable à MBC donne MP = (1-x)/x
le rapport des aires de MBC et NCD est dans le carré du rapport de leurs hypoténuse
et donc la hauteur NH = x/(1+x²)

la condition s'écrit donc
(1-x)/x + x/(1+x²) = 1
équation du 3ème degré (irréductible) dont l'unique solution réelle est x₁ 0.6478

la forme des triangles est différentes des familles précédentes
(x₀ 0.56984)

C'est donc une nouvelle classe, une de plus.
Chez-moi l'image tient facilement dans l'écran

pour info, la famille des "bandes inégales" (Imod), alias derny 27-06-22 à 11:18, se calculait de façon semblable :



la condition est MP parallèle à AD
soit x/(1+x²) = 1-x, et une équation du 3ème degré différente.

cette famille est aussi décrite par : "la découpe d"un carré en 3 rectangles semblables" : les rectangles BCNM, AMPH et DHPN
ce qui étend les possibilités de cette famille par rapport à la seule figure de derny

De cette nouvelle classe on peut en tirer une nouvelle figure en mettant 6 triangles entre les 2 // obliques.

Faute de frappe, c'est 4 triangles entre les 2 // obliques.

la "nouvelle classe" comporte déja à la base 6 triangles
on ne peut pas remplacer 3 d'entre eux par 4 (ça ferait 7 triangles)

image

Ce n'est pas le même angle

tangente = 2/3

croquis qu'on peut multiplier

par contre on peut fusionner des triangles pour en rajouter ensuite par découpe de la zone fusionnée

cette famille comporte ainsi pour l'instant 3 membres :

(réduits car partie de la grande planche de toutes celles trouvées)

ce que tu donnes entre temps est donc une nouvelle classe totalement différente (la classe 2/3) effectivement très féconde

enfin, pas tant que ça

avec les derniers ajouts on en est à 77 en tout

79 en réorganisant une redécoupe de la "27-06-22 à 10:24"

et même 81

Je sais que je ne suis pas très productif mais dans le but de borner les recherches , on peut remarquer que chaque découpage est issu d'un pavage du carré en rectangles homothétiques .

Imod

c'est parfois assez artificiel !
dans chaque famille il y a effectivement des représentants dans lesquels certains de ces rectangles apparaissent (coupés en deux triangles , et éventuellement recollés sans plus faire intervenir les rectangles)



le problème est surtout de trouver tous les éléments d'une famille
éléments qui ne font pas intervenir de tels pavages !
mais seulement un lot de triangles semblables dont la forme avait été défini par le pavage...

comment paver ça avec des rectangles ??



seul un autre avatar de cette famille le permet :


(si si c'est la même famille = 0.6478...)

La figure non pavable que tu montres est pavable avec quatre rectangles . Tu prolonges le trait bleu vertical , la partie droite est un rectangle et on a trois rectangles homothétiques à gauche . C'est un peu artificiel mais ça donne un cadre .

Imod