Niveau Oraux, olympiades...

Triangles Tousavecunx bis

Posté par
Sylvieg 14-02-26 à 13:29

Bonjour,
Ce sujet fait suite à celui-ci Triangles Tousavecunix
Il y s'agit au départ de cet énoncé d'olympiade :
"On a partitionné un triangle équilatéral en un nombre fini de triangles ayant tous un angle x . Quelles sont les valeurs de x qui conviennent ?"
En degré, la réponse qui a été démontrée est 0 < x 120.
Elle y est aussi démontrée pour un triangle d'angles a, b et c avec a b c 120.

Je vous propose de vous pencher sur un cas non élucidé : c = 130 et x = 125.
Autrement dit :
Un triangle a un angle de mesure 130°. Est-il possible ou non de le partitionner avec un nombre fini de triangles ayant tous un angle mesure 125° ?

Posté par re : Triangles Tousavecunx bis 14-02-26 à 18:57

J'ajouterai au message de Sylvieg qu'il n'est pas facile d'entrer dans le problème mais qu'un résultat obtenu dans le fil précédent nous dit que si la partition est possible il y aura nécessairement un angle de sommet C mesurant 125° .
Imod

Posté par re : Triangles Tousavecunx bis 15-02-26 à 12:13

Je crois de moins en moins à l'existence d'une partition vérifiant ces conditions . Peut-être une récurrence sur le nombre de points rouges ( voir le fil précédent ) .
Imod

Posté par re : Triangles Tousavecunx bis 18-02-26 à 11:48

Dans ce genre d'exercices il est clair qu'il faut accepter de se lancer dans le vide sans savoir où l'on va tomber . Sans certitude je crois de plus en plus qu'il est impossible de partitionner un triangle avec des triangles d'angle x strictement supérieur à 120° , sauf si cet angle est un angle du triangle initial . L'exemple proposé par Sylvieg peut être utile pour ceux qui croient le contraire .
On peut aussi essayer de voir ce qu'il se passe s'il n'y a pas de point rouge ou bleu ou un seul et voir ce qui se passe .
Imod

Posté par re : Triangles Tousavecunx bis 27-02-26 à 12:30

Je relance le problème que j'ai laissé reposer , même si on n'intervient pas ici ni ailleurs , j'aimerais donner un petit résumé et quelques idées .

On dit qu'un triangle $T \in P(x)$ avec $x \in ]0 ; 180 [$ , s'il existe une partition de T en triangles ayant tous un angle x .

Résultat obtenu : Tout triangle n'ayant pas d'angle strictement supérieur à 120° appartient à P(x) si et seulement si $x \in ]0 ;120]$ .
Question en suspens : Existe-t-il un triangle $T \in P(x)$ avec x qui n'est pas un angle de T et $x \in ]120 ; 180 [$ ?

Remarques à propos de la question en suspens , en supposant qu'une partition existe :

Il y a exactement un angle x sur le sommet du triangle initial supérieur à 120° et au moins un autre angle .
Il y a exactement un angle x sur chaque sommet rouge et au moins deux autres angles .
Il y a exactement deux angles x sur chaque sommet bleu et au moins trois autres angles .

Pour la dernière remarque , s'il était prouvé qu'il y avait au moins quatre angles différents de x sur chaque sommet bleu , l'inexistence d'une partition serait établie . Une conséquence , la partition est impossible s'il n'y a pas de point bleu .
Imod

Posté par re : Triangles Tousavecunx bis 02-03-26 à 20:53

Bonsoir,
Pour clarifier le message précédent, je poste la figure qui permet de comprendre ce que sont les sommets rouges et bleus.

Triangles Tousavecunx bis