bonjour à toi aussi.

qu'as tu fait de ton côté ?

je sais donc que B a pour coordonnées (x;0) puis j'ai calculé les coordonnées du milieu du segment [AB] en fonction des coordonnées de B et A, qui donne : (a+2/2;-1/2), dois-je calculer les coordonnées du vecteur AB ?

"je sais donc que B a pour coordonnées (x;0)"  ==>  ???    
B appartient à la droite d'équation y=x,     ses coordonnées ne sont pas (x ; 0)..
rectifie.

les coordonnées du milieu de AB : c'est une bonne idée, mais comme les coordonnées de B sont fausses, celles du milieu sont fausses. de plus dans  (a+2/2;-1/2)  que représente a ?

Les coordonnées du vecteur AB ne te donneront rien de plus.
rectifie les coordonnées de B, puis exprime à nouveau celles du milieu I de AB.
montre moi.

D'accord, ainsi :
B(x;y), a représente l'abscisse de B. Le milieu du segment [AB] est appelé I et a pour coordonnées (3+a/2;-1+y/2)

B(xB ; yB) : vrai..      il appartient à la droite y=x     donc  yB = xB    ainsi
B(xB ; xB)  ou, si tu appelles a l'abscisse de B ==> B( a; a)

ensuite pour xI =  (3+a)/2      OK, avec les parenthèses !
et yI  =   (-1 + yB) / 2      =    (-1 + a) / 2

ensuite, tu sais que I appartient à la droite d'équation x - 2y = 0  
(qui peut s'écrire aussi y = x/2)
que peux tu en déduire pour yI en fonction de xI ?

I x - 2y = 0
Remplaçons x et y par les coordonnées de I :
(3+a)/2 - 2((a-1)/2) = 0
(a+3)/2 - (2a+2)/2 = 0
2((3+a)/2) -2((2a+2)/2) = 2*0
3+a -(2a+2) = 0
3+a -2a-2 = 0
1-a=0
-a=-1
a=1
Donc B a pour coordonnées (1;1) ?

non, tu fais une erreur de signe  dans ton calcul..

(3+a) / 2    -    2 (a-1)/2   = 0  
==>

(   (3+a)   -   2(a-1)    ) / 2   = 0
une fraction est nulle quand son numérateur est nul
==>    (3+a)   -   2(a-1)  = 0
termine..

(3+a)-2(a-1)=0
3+a-2a+2=0
5-a=0
-a=-5
a=5
B(5;5)  
Merci !

OK !
tu peux vérifier ta réponse en faisant la figure...
BON WE