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Trouver tous les entiers x ; y et z

Posté par
Luca13 09-06-18 à 21:12

Bonsoir, Pourriez-vous m'aider s'il vous plaît, pour cette exercice.
Trouver tous les entiers x^{} ; y^{} ; z^{}   vérifiant   2x^{3} + 4x^{3} =z^{3}  

Je ne vois pas du tout comment m'y prendre, vos pistes d'aide sont les bienvenus.
En réalité, c'est un ami qui m'a donner cet exercice pour le résoudre. Mais malheureusement, je n'arrive pas à faire des liens avec mes chapitres.

Posté par
mathafou Moderateurre : Trouver tous les entiers x ; y et z 09-06-18 à 21:44

Bonjour,
z est pair, donc après simplification par 2, x est pair donc etc etc (on recommence cette "descente" jusqu'à plus soif)

Posté par
Luca13re : Trouver tous les entiers x ; y et z 09-06-18 à 21:58

J'ai pas vraiment compris votre démarche, pourriez-vous s'il vous plaît la représenter avec un calcul.

Posté par
mathafou Moderateurre : Trouver tous les entiers x ; y et z 09-06-18 à 22:06

2(x^3 + 2y^3)= z^3 est bien pair, donc z est pair et on peut poser z = 2w

2(x^3 + 2y^3) = (2w)^3 = 8w^3

donc x^3 + 2y^3 = 4w^3
donc x est pair x = 2u etc

et on continue ainsi jusqu'à ce qu'on ne puisse plus.

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Trouver tous les entiers x ; y et z 10-06-18 à 07:53

Bonjour,
Pour ne pas avoir à continuer "jusqu'à plus soif", on peut commencer par utiliser d le PGCD de x, y, z :
x = d , y = d et z = d , avec ,, premiers dans leur ensemble.

Est-ce du niveau première ?

Posté par
carpediemre : Trouver tous les entiers x ; y et z 10-06-18 à 09:32

salut

il n'y a pas de niveau pour la capacité à réfléchir !! il suffit simplement ... de réfléchir !!!

quant au pgcd il est vu au collège ...

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Trouver tous les entiers x ; y et z 10-06-18 à 10:03

Même pour plus de 2 entiers ?

Posté par
carpediemre : Trouver tous les entiers x ; y et z 10-06-18 à 10:43

on a le droit de penser ... et c'est même un devoir quand on va à l'école ...

Posté par
Luca13re : Trouver tous les entiers x ; y et z 10-06-18 à 11:46

Bonjour, c'est un ami à moi qui aimer particulièrement les maths, il me donne souvent des exercices d'un niveau supérieur à la premier. J'aimerai pouvoir lui montrer mes réponses pour l'exercice. En plus c'est plutôt un bon entrainement pour me faire m'améliorer en maths.

Grace à vos connaissance je pourrai pouvoir résoudre l'exercice tout seul.  

Posté par
Luca13re : Trouver tous les entiers x ; y et z 10-06-18 à 11:52

mathafou @ 09-06-2018 à 22:06

2(x^3 + 2y^3)= z^3 est bien pair, donc z est pair et on peut poser z = 2w

2(x^3 + 2y^3) = (2w)^3 = 8w^3

donc x^3 + 2y^3 = 4w^3
donc x est pair  x = 2u etc

et on continue ainsi jusqu'à ce qu'on ne puisse plus.


J'ai pas vraiment compris le calcul

Sylvieg @ 10-06-2018 à 07:53

Bonjour,
Pour ne pas avoir à continuer "jusqu'à plus soif", on peut commencer par utiliser  d  le PGCD  de x, y, z :
x = d  ,  y = d  et  z = d , avec  ,,  premiers dans leur ensemble.

Est-ce du niveau première ?


Je ne vois pas la façon d'utiliser votre calcul.

C'est pas tout à fait claire dans ma mémoire vos démarche de calcul.

Posté par
carpediemre : Trouver tous les entiers x ; y et z 10-06-18 à 11:56

il n'est pas question de mémoire mais de penser !!!

x, y et z sont des entiers !!!

si tu multiplies x^3 et y^3 par des multiples de 2 alors les résultats sont multiples de 2 et évidemment la somme aussi (par factorisation par 2)

Posté par
Luca13re : Trouver tous les entiers x ; y et z 10-06-18 à 12:09

Donc par exemple
2(x^{3} +y^{3})
2x^{3}+2y^{3}

Posté par
carpediemre : Trouver tous les entiers x ; y et z 10-06-18 à 12:21

Posté par
Luca13re : Trouver tous les entiers x ; y et z 10-06-18 à 12:39

Pourriez-vous me faire un exemple s'il vous plaît pour que je comprenne.

Posté par
carpediemre : Trouver tous les entiers x ; y et z 10-06-18 à 12:43

mathafou @ 09-06-2018 à 22:06

2(x^3 + 2y^3)= z^3 est bien pair, donc z est pair et on peut poser z = 2w

2(x^3 + 2y^3) = (2w)^3 = 8w^3

donc x^3 + 2y^3 = 4w^3
donc x est pair  x = 2u etc

et on continue ainsi jusqu'à ce qu'on ne puisse plus.

Posté par
Luca13re : Trouver tous les entiers x ; y et z 10-06-18 à 12:54

Je commence à comprendre
Mais du coup c'est pas plutôt :

2(x^3 + 2x^3)= z^3 est bien pair, donc z est pair et on peut poser z = 2w

2(x^3 + 2x^3) = (2w)^3 = 8w^3

donc x^3 + 2x^3 = 4w^3
donc x est pair  x = 2u etc

et on continue ainsi jusqu'à ce qu'on ne puisse plus.

Un x au lieu d'un y ?

Posté par
carpediemre : Trouver tous les entiers x ; y et z 10-06-18 à 13:04

c'est évidemment un y ...

sinon c'est cela ...


maintenant on peut faire mieux ...ou du moins un peu plus vite ...

si (x, y, z) est une solution alors :

1/ (dx, dy, dz) est aussi solution pour tout entier d

(donc s'il y a une solution (différente de (0, 0, 0) qui est évidemment solution) alors il y en a une infinité

2/ si d divise x, y et z (donc d non nul bien sur) donc s'il existe des entiers a, b et c tels que (x, y, z) = (da, db, dc) alors 2x^3 + 4y^3 = z^3 \iff d^3(2a^3 + 4b^3) = d^3 c^3 \iff 2a^3 + 4b^3 = c^3

donc (a, b, c) est une solution aussi

on applique cela à d = 2^k où k est le plus grand entier tel que d divise x, y et z ...

Posté par
Luca13re : Trouver tous les entiers x ; y et z 10-06-18 à 13:06

Effectivement je me suis trompé c'est bien   2x^{3} + 4y^{3} =z^{3}  .
Donc la démarche était bien celle de

mathafou @ 09-06-2018 à 22:06



Je ne comprend pas comment on fait alors pour passe du premier calcul au suivant:
x^3 + 2y^3 = 4w^3
donc x est pair  x = 2u etc

Posté par
carpediemre : Trouver tous les entiers x ; y et z 10-06-18 à 13:21

niveau collège ...

x^3 + 2y^4 = 4w^3 \iff x^3 = (2(2w^3 - y^3) donc x est pair ...

Posté par
Luca13re : Trouver tous les entiers x ; y et z 10-06-18 à 13:36

J'ai l'impression que le d ce simplifie à la dernière étape. Quelle est alors sont utilité ?

d^3(2a^3 + 4b^3) = d^3 c^3 \iff 2a^3 + 4b^3 = c^3

Posté par
carpediemre : Trouver tous les entiers x ; y et z 10-06-18 à 13:41

relire mon post de 13h04 ...

Posté par
Luca13re : Trouver tous les entiers x ; y et z 10-06-18 à 13:54

J'ai relu, voici une idée de résolution
On a  2x^3 + 4y^3 = z^3
avec d = 2^k
Donc, 2×2^k + 4×2^k = 2^k

Posté par
malou Webmasterre : Trouver tous les entiers x ; y et z 10-06-18 à 13:54

Luca13, peux-tu fermer ton ancien compte Minas s'il te plaît
merci
(modérateur)

Posté par
Luca13re : Trouver tous les entiers x ; y et z 10-06-18 à 14:02

malou @ 10-06-2018 à 13:54

Luca13, peux-tu fermer ton ancien compte  Minas s'il te plaît
merci
(modérateur)


C'est bon, merci de m'avoir rappelé.

Posté par
carpediemre : Trouver tous les entiers x ; y et z 10-06-18 à 16:03

soit d = 2^k la plus grande puissance de 2 divisant x, y et z où (x, y, z) est une solution de l'équation.

il existe donc des entiers a, b et c tels que x = 2^ka $ et $ y = 2^kb $ et $ z= 2^kc

et l'un (au moins) des entiers a, b et c est impair

2x^3 + 4y^3 = z^3 \iff... \iff 2a^3 + 4b^3 = c^3

si c est impair alors contradiction
si c est pair alors (voir post de mathafou) et a impair alors contradiction
si c est pair et a et pair alors (voir post de mathafou) et b impair alors contradiction

...

Posté par
Luca13re : Trouver tous les entiers x ; y et z 11-06-18 à 18:04

Pour le calcule je dois remplacer uniquement x, y et z par leur égalité.
J'ai pas trop compris
Montrez moi pour trouver z puis j'essaierai pour le reste.

Posté par
mathafou Moderateurre : Trouver tous les entiers x ; y et z 11-06-18 à 18:17

tu crois encore qu'il y a des "calculs" pour trouver quelque chose que ce soit z ou n'importe quoi ??
il y a avant tout de la réflexion et les "calculs" ont deja tous été fait explicitement ici.
il n'y a rien à ajouter comme calculs.

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Trouver tous les entiers x ; y et z 11-06-18 à 18:27

Bonsoir,
Tu cherches des solutions alors qu'il n'y en a pas beaucoup...

Quelques extraits des messages précédents pour essayer de t'aiguiller vers la bonne direction :

Citation :
donc s'il y a une solution (différente de (0, 0, 0) qui est évidemment solution)
Citation :
si c est impair alors contradiction
si c est pair alors (voir post de mathafou) et a impair alors contradiction
si c est pair et a et pair alors (voir post de mathafou) et b impair alors contradiction

Posté par
Luca13re : Trouver tous les entiers x ; y et z 11-06-18 à 18:43

C'est vrai, il n'y a pas de calcul, c'est effectivement une question de réflexion.
Merci pour votre aide, j'ai plutôt compris.

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Trouver tous les entiers x ; y et z 11-06-18 à 18:53

Di-nous ce que tu trouves

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Trouver tous les entiers x ; y et z 11-06-18 à 18:57

Dis-nous

Posté par
carpediemre : Trouver tous les entiers x ; y et z 11-06-18 à 19:45

une autre façon de faire ... plus fastidieuse :

il existe des entiers m, n et p et des entiers impairs a, b et c tels que :

x = 2^ma $ et $ y = 2^nb $ et $ z = 2^pc (cette écriture est unique)

2x^3 + 4y^3 = z^3 \iff 2^{1 + 3m}a^3 + 2^{2 + 3n}b^3 = 2^{3p}c^3  (1)


1/ l'égalité 1 + 3m = 2 + 3n est fausse (l'équation n'a pas de solution)


si 1 + 3m < 2 + 3n alors   m \le n   et   (1) \iff 2^{1 + 3m}[a^3 + 2^{1 + 3n - 3m}b^3] = 2^{3p}c^3
a/ or l'entier entre crochet est impair

2/ l'égalité 1 + 3m = 3p est fausse (l'équation n'a pas de solution)


si 1 + 3m > 2 + 3n alors   m > n   et   (1) \iff 2^{2 + 3n}[2^{3m - 3n - 1}a^3 + b^3] = 2^{3p}c^3

a/ or l'entier entre crochet est impair

3/ l'égalité 2 + 3n = 3p est fausse (l'équation n'a pas de solution)


justifier les propriétés a/, 1/, 2/ et 3/ et que tous les exposants de 2 sont positifs ...



en termes plus pédants si v(x) est la valuation de x en base 2 alors avec mes notations on a v(x) = m, v(y) = n et v(z) = p

alors l'ensemble {v(x), v(y), v(z)} est en bijection avec Z/3Z (ensemble des restes modulo 3)

or 2 est inversible dans Z/3Z (<=> x --> 2x est un isomorphisme)

donc l'équation n'a pas de solution



c'est ainsi qu'on peut démontrer que \sqrt 2 n'est pas rationnel ...

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Trouver tous les entiers x ; y et z 11-06-18 à 20:41

Citation :
donc l'équation n'a pas de solution
Citation :
(0, 0, 0) qui est évidemment solution
C'est aussi de toi, non ?

Posté par
carpediemre : Trouver tous les entiers x ; y et z 11-06-18 à 20:47

oui bien sur ... à part la solution triviale ...

mais ça reste cohérent : 0 ne s'écrit pas de façon unique comme produit d'un pair par un impair ...

cet oubli n'est qu'un léger impair ...

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Trouver tous les entiers x ; y et z 11-06-18 à 20:54

Quelle paire nous faisons

Bon, je trouve aussi simple d'utiliser d le PGCD des entiers x, y ,z comme indiqué dans mon 1er message :

Citation :
x = d , y = d et z = d , avec ,, premiers dans leur ensemble.
Si (x,y,z) est solution alors ,, sont tous les trois pairs...

Posté par
carpediemre : Trouver tous les entiers x ; y et z 11-06-18 à 22:01

oui bien sur ... c'est le même principe que ce que je fais à 16h03 : sans prendre le pgcd je prends quand même la plus grande puissance de 2 commune aux trois entiers ... et qui est suffisante


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