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un autre exercice d'ensemble sur les suites
alors voici un autre exercice sur les suites dans son ensemnble mais qui pour moi est un peu plus compliqué...et la je pense vraiment que j'ai fait une erreur quelque part car je n'arrive pas à répondre aux 2 derières questions...est ce que vous pourriez me dire où est la faute et m'expliquer pourquoi j'ai fait faut? merci d'avance
Voici l'exercice
Soit (Un) la suite définie par U0= -2 et Un+1=(-Un+n)/4
1. Soit (Vn) la suite définie par Vn= Un+1 - Un
a-Montrer que la suite (Vn) vérifie la relation de récurrence Vn+1= -1/4Vn + 1/4 (à cette question je n'arrive pas a trouver ce résultat mais -5/4 Vn + 1/4)
b- Exprimer Vn en fonction de n (j'ai trouvé Vn= (1/4)^n)
2- En remarquant que Un= Vn-1 + Vn-2 + ...+v0+u0 déterminer l'expression de Unen fonction de n (la je ne sais vraiment pas du tout)
3- En déduire la limite de la suite (Un) (comme je n'ai pas réussi a répondre à la question précédente je ne peux pas faire celle la)
ce serait vraiment gentil de votre part si vous m'aidiez!
oooh snif personne ne veut m'aider ?
1.
Vn+1 = Un+2 - Un+1
Vn+1 = (-Un+1 + n + 1)/4 - (-Un + n)/4
Vn+1 = (-Un+1 + n + 1 + Un - n)/4
Vn+1 = (-Un+1 + Un + 1)/4
Vn+1 = (-Vn + 1)/4
Vn+1 = -1/4Vn + 1/4
a moi je n'avais vraiment fait comme sa...mais maintenant j'ai compris ma faute merci
alors je t'écris exactement ce que j'ai fait...
Vn+1= Un+1-a
= (-Un+n)/4 -a = -1/4Un + 1/4n -4a
= -1/4(Un+1+4a)
Donc Un-a = Un+1+4a
D'ou a= -1/5
Vn= Un-(1/5); Vn+1= 1/4Vn + 1/4 donc Vn= V0 (1/4)^n
= 1*(1/4)^n
= (1/4)^n
mais y'a donc une faute quelque part c'est ca?
parce qu'en faite je l'ai pas précisé dans l'exercice, mais on m'a dit d'utiliser la méthode de l'exercice précédent...pourquoi il y a une méthode plus pratique?
et l'exercice précédent c'est celui que tu m'as corrigé avant
Vn+1 = -1/4Vn + 1/4
Dans l'exercice d'avant on avait une suite Un définit par Un+1 = 3/5Un + 1 et on définissait une suite Vn = Un - a on a déterminer a pour que Vn soit géo et on a pu en deduire une expression de Un en fonction de n on va faire pareil ici.
On définit une suite Wn définit par Wn = Vn - a.
Déterminons a pour que Wn soit géométrique.
Wn+1 = Vn+1 - a
Wn+1 = -1/4Vn + 1/4 - a
Wn+1 = -1/4(Wn + a) + 1/4 - a
Wn+1 = Vn+1 - a
Wn+1 = -1/4Vn + 1/4 - a or Vn = Wn + a
Wn+1 = -1/4(Wn + a) + 1/4 - a
Wn+1 = -1/4Ww - 1/4a + 1/4 - a
Wn est géo si - 1/4a + 1/4 - a = 0 soit a = 1/5
Wn est géo si a = 1/5.
Donc wn = w0(1/5)^n avec W0 = V0 - 1/5 = U0 - U1 - 1/5 = 5/2 - 1/5 = 23/10
Donc Vn = Wn + a = Wn + 1/5 = (23/10)(1/5)^n + 1/5
véérifie bien les calculs au cas d'une erreur de calcul
d'accord ok je suis en train de vérifier
mais tu es ur que a ton avt dernière ligne Wn= W0 (1/5)^n et on pas W0(1/4)^n ?
Donc wn = w0(-1/4)^n avec W0 = V0 - 1/5 = U1 - U0 - 1/5 = 5/2 - 1/5 = 23/10
Donc Vn = Wn + a = Wn + 1/5 = (23/10)(-1/4)^n + 1/5
Voila corrigé
oh ouic'est même très lourd!! dsl de te faire partager ma souffrance!!!
a ok je culpabilise moins du coup lool, mais quand tu me dis que tu as vu pire ça me fait peur pour les années à venir!!!
question 2
Tu ecris que
Vn-1 = Un - Un-1
Vn-2 = Un-1 - Un-2
.
.
.
V1 = U2 - U1
V0 = U1 - U0
En faisant la somme :
Vn-1 + Vn-2 + ... + V1 + V0 = Un - U0
Soit Un = Vn-1 + Vn-2 + ...+v0 + U0
tu as vu pire ça me fait peur pour les années à venir!!!
Faut pas paniquer !!! et puis c'est les suites
oua c'est vrai que ça c'est des suites, un des cours les plus faciles!
- En remarquant que Un= Vn-1 + Vn-2 + ...+v0+u0 déterminer l'expression de Unen fonction de n (la je ne sais vraiment pas du tout)
suite question 2.
Un = Vn-1 + Vn-2 + ...+v0 + U0
Un = (23/10)(-1/4)^n-1 + 1/5 +(23/10)(-1/4)^n-2 + 1/5 + ... + (23/10)(-1/4)^0 + 1/5 + U0
Un = (23/10)[(-1/4)^n-1 + (-1/4)^n-2 + ... + (-1/4)^0] + 1/5(n) + U0
[(-1/4)^n-1 + (-1/4)^n-2 + ... + (-1/4)^0] est la somme des n premier terme d'une suite géométrique de raison (-1/4) et de premier terme (-1/4)^0 = -1/4
Donc [(-1/4)^n-1 + (-1/4)^n-2 + ... + (-1/4)^0] = (-1/4)*[ (1 -(-1/4)^n/1)/(1 - (-1/4)]
Soit [(-1/4)^n-1 + (-1/4)^n-2 + ... + (-1/4)^0] = (-1/5) * (1 -(-1/4)^n/1)
Soit Un = (-1/5) * (1 -(-1/4)^n/1) + 1/5n - 2
ok c'est ce que je suis en train de faire
oui sa c'est sur mais pas tout de uite vu que je vérifie encore tes opérations lol! mais apes je pourrais faire un bon dodo!
à la suite de ta question 2 je comprends pas la relation qu'l y a entre l'avant dernire et la dernière ligne...
t'inquiète pour sa je te tiendrai courant y'a pas de soucis!!! mais je crois qu'ici on peut juste laisser des problemes a résoudre nan?
Un = (23/10)(-1/4)^n-1 + 1/5 +(23/10)(-1/4)^n-2 + 1/5 + ... + (23/10)(-1/4)^0 + 1/5 + U0
Un = (23/10)[(-1/4)^n-1 + (-1/4)^n-2 + ... + (-1/4)^0] + 1/5(n) + U0
ah nan c bon j'ai comprs! j'ai mal vu en faite lol surement la fatigue!
j'ai mis (23/10) en facteur d'où (23/10)[(-1/4)^n-1 + (-1/4)^n-2 + ... + (-1/4)^0]
comme on a 1/5 qui se répéte n fois, d'où 1/5(n)
Donc [(-1/4)^n-1 + (-1/4)^n-2 + ... + (-1/4)^0] = (-1/4)*[ (1 -(-1/4)^n/1)/(1 - (-1/4)]
Soit [(-1/4)^n-1 + (-1/4)^n-2 + ... + (-1/4)^0] = (-1/5) * (1 -(-1/4)^n/1)
je rois qu'entre ces 2 résultats t'a fait une faute de frappe vu qu'a un moment tu met 1/4 et à l'autre résultat tu met 1/5...à moins que ce soit moi qui soit trop fatigué pour comprenre!
Je détaille plus d'ailleur il ya un /1 en trop dans )^n/1)/
Donc [(-1/4)^n-1 + (-1/4)^n-2 + ... + (-1/4)^0] = (-1/4)*[ (1 -(-1/4)^n/1)/(1 - (-1/4)]
= (-1/4)*[ (1 -(-1/4)^n/1)/(1 - (-1/4)] = (-1/4)*)*[ (1 -(-1/4)^n)/(1 + 1/4)]
= (-1/4)*)*[ (1 -(-1/4)^n)/(5/4)]
(-1/4)*(4/5) * (1 -(-1/4)^n) diviser par une fraction c'est multiplier par l'inverse
j'ai enfin fini de vérifier lol je pense que c'est enfin bon...au pire je vais encore te casser la tête demain lol! en tout merci beaucoup d'être resté jusqu'a 1h du matin pour m'expliquer tous ces maths!
allez courage tu pourras y arriver...quand on veut on peut nan lol? en tout cas je te conseille d'aller vite te coucher car c'est ce que je vais faire...et merci encore de t'être privé de beaucoup de ton dodo pour m'aider!
bonne nuit !
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