Bonjour Sylvieg,

voilà ce à quoi je pensais



ce qui conduit à



après quelques calculs je trouve

Bonjour

Qui sont z et z' ?

Imod

Très bonne question !
Je voulais mettre du z et z' partout ; mais j'ai oublié
Je redonne avec a et b car Pirho a déjà répondu avec a et b.

Soient a et b deux complexes de module 1 qui vérifient |a+b| = 3.
Déterminer |a-b|.

Géométriquement ( en considérant des parallélogrammes ) |a-b| peut prendre n'importe quelle valeur .

J'illustrerai si ce n'est pas clair .

Imod

Oups , mauvais départ mais l'idée est la bonne .

|a+b| et |a-b| sont les demi diagonales d'un losange de côté 1 donc avec Pythagore : |a+b|²+|a-b|²=4 .

Imod

Bonjour,

 Cliquez pour afficher

J'avais vu un losange constitué de deux triangles équilatéraux de côtés 1 ayant un côté commun.
Sa grande diagonale vaut   et sa petite diagonale (le côté commun) vaut

@Pirho,
C'est à priori le plus simple pour un élève de terminale.

@Imod,
C'est la solution qui a ma préférence.

@lake,
Je pense que ta réponse revient à celle de Imod.
Je me trompe ?

Non Sylvieg, tu  ne te trompes pas : c'est la même chose

Bonjour,

Amis de la poésie et de l'esthétisme en mathématique, passez votre chemin.
Je me permets une méthode naive, sans poésie mais qui peut sauver les moins audacieux.
Aprés plusieurs années à aider des élèves en difficulté, je me dis qu'une bouée moche mais qui flotte a tout de même son utilité.

Il existe x, y, x', y' reels tels que

a=x+iy
b=x'+iy'

et

et



d'où





Merci

Le côté rassurant du bon gros calcul et son pendant : il n'explique rien

Imod

Bon ben en voilà un autre

Pour tous



De même, .

Donc pour tous ,

On peut aussi partir de la relation générale pour tout couple de   nombres complexes et :

  

On peut remarquer que la relation de Lake n'est rien d'autre que l'identité du parallélogramme : la somme des carrés des diagonales est égale à la somme des carrés des côtés .

Imod

Bonjour Imod,

... ou la traduction en complexes du théorème de la médiane (ce qui revient au même)

Bonjour,

En cherchant dans le plan...
on obtient deux demi-droites  symétriques qui se coupent à y=0.679
quand  a=0.9

Si ça peut servir

Bonjour,

Une variante de ce qui a été déjà dit :

Soit le point diamétralement opposé à sur le cercle unité (donc d'affixe )







Et Pythagore donne immédiatement

Superbe !

Bravo pour l'explication géométrique .
Je n'ai pas saisi l'énoncé et j'ai traité tous les cas ...en faisant
varier a.
Qui pourra m'expliquer pourquoi  quand a =0.9 et |a+b|=3--->|a-b| est minimum ( 0.06749...)

La valeur exacte de ce minimum est 1,8 - 3

0,9 + b = (3)e^it
Chercher le minimum de |0,9 - b|² avec
0,9 - b = 1,8 - (3)e^it = 1,8 - (3)cost - (3)i sint.

Merci , je vieilli

Bonjour à tous,

Dans un premier temps, je n'ai rien compris aux messages de dpi à 12h26 et 15h31. Et puis il y a eu 8h10 et le commentaire de Sylvieg et j'ai fini par voir une petite lumière.
Ce qui me plaît avec les complexes, c'est leur interprétation géométrique.  Voici donc une figure qui tente d'expliquer géométriquement la démarche de dpi :

  

est fixé d'affixe réel .
Le point d'affixe décrit le cercle de centre et de rayon .
Le quadrilatère est un parallélogramme en sorte que, lorsque varie sur son cercle, décrit le cercle bleu de centre 'd'affixe   image du cercle de dans la translation de vecteur

La longueur est minimale lorsque est en c'est-à-dire lorsque est en
On peut vérifier que

Merci  lake
Je suis venu sur le site il y a une quinzaine d'année  pour  faire fonctionner mes neurones .
Mon niveau n'est pas très  haut mais ma curiosité  est grande....
Parfois je suis a coté et parfois j'inspire des variantes.
Exemple  dans "moyenne affichée de Imod

Bonsoir dpi,
C'est toujours un plaisir d'échanger avec toi