Merci pour toutes ces méthodes c'est trés intéressant. J'en proposerai une autre qui serait de le résoudre avec les expressions complexes des transformations (niveau TS spé maths).
En se placant dans le repère orthonormé direct (A,(AB)/AB,
(AD)/AD) (désolée pour la présentation je ne manipule pas bien ces choses là ^^), en considérant les affixes des sommets, les rotations de centre A et d'angle
/3, de centre C et d'angle
/3, de centre A et d'angle
/2 et la similitude de centre A d'angle
/4 et de rapport
(2), on arrive au final à exprimer les affixes de
(EF) et de
(DE) et à montrer qu'ils sont colinéaires.
bonjour
je n'est pas compris comment on trouve les coordonnées des points E,F et H
pourriez vous m'éclairer ?
@ thalia,
En se plaçant dans la base de jamo,
Pour avoir les coordonnées du point F,
1) il est évident que sa hauteur est dans la base choisie.
2) Pour l'abscisse il faut trouver la hauteur du triangle équilatéral à droite et lui ajouter 1.
Pour cela: On utilise Pythagore dans ce fameux triangle en l'ayant découpé en 2 triangles rectangles.
Jumo, magnifique travail
excusez moi mais moi dans mon exercice j'ai réussit mon calul pour la hauteur ( les points non pas les m^mes noms, et ils me disent : en déduire les coordonnées de E, c'est bête mais jsais pas quoi répondre =S
Re, désolé çà fait un moment que jme casse la tête la dessus & jcomprends pas pourquoi je n'y arrive pas, qqun pourrait m'aider svp ?
j'ai calculé : AE(1/2 (3 -2)/2))
& AF ( 2+3 -2)/2 ; 1/2)
1 jdois prouver que A,F,E sont alignés mais je fais le produits en croix et çà ne mache pas,
=S
Merci
Quel Miracle ! J'ai tapé l'énoncé de mon DM sur google. Et paf, je tombe sur cette merveille . Encore merci jamo. On te remerciera jamo assez. :p
je mexplique DE a pour coordonnées (xe_xd;ye-yd) donc (1/2-0;v3/2-1) alors que toi tu as marqué racine de 2 moins 2 de méme pour EF qui a pour coordonnées (xf-xe;yf-ye) donc (2+v3/2-1/2;1/2-v3/2) ce n'est pas ceux que tu as marqués
Bonjour poliglote
Pour DE, jamo a mis au même dénominateur la deuxième coordonnée, et n'a jamais parlé de EF mais de DF. Pas d'erreur.
bonjour j'ai cette exercice a faire mais je doit trouvé les coordonnées de E et F on utilisant la méthode 10
tu peut m'aider?
Bonjour,
J'ai un petit soucis... J'ai un exercice avec la même figure mais pas les même questions... Mais question sont:
a/ En utilisant les propriétés des triangles équilatéraux, calculer les coordonnées exactes (xI;yI) et (xL;yL) des points I et L.
b/ Calculer les coordonnées exactes des vecteurs AI et AL.
c/ Conclure sur l'alignement des points A, I et L.
Voilà les questions qui me sont poser et au quel je n'arrive pas a répondre... J'ai pourtant chercher plusieurs heure en utilisant plusieurs méthode mais rien de sérieux.
Merci de votre aide au plus vite.
Cordialement,
Rafael.
bonsoir y'a t'il quelqu'un pour m'aider
je ne comprend pas comment vous avez trouvé les coordonnées du point B
Juste bluffant ... ^^
Bonjour, pourrais tu m'expliquer dans la méthode 11 comment tu passes de la première ligne au reste ?? STP
Pourrais tu m'expliquer aussi comment tu fais pour calculer sa, enfin surtout comment tu fais pour arriver a ce resultat
merci
Bonjour,
Ligne 1 :
Ligne 2 : On simplifie la racine carrée avec l'exposant
Ligne 3 : et pour l'autre partie,
Ligne 4 : On développe et
Ligne 5 : donc
Ligne 6 : ..
bonsoir;
Dans votre méthode 13 je ne comprends pas comment vous passez de la ligne 5 à la ligne 6 pour chercher m.
merci de votre aide.
la seconde date pour la maman que je suis.
Merci de votre aide.
Bonsoir,
Parmi les nombreuses méthodes proposées quelle est celle
qui à votre avis s'appuie le plus sur les particularités du problème
posé?
Je pense que le problèmiste travaille souvent à partir
d'une situation particulière (symétrie,changement de variable...)
Alain
Bonjour jamo,
Etude intéressante et riche.
Je n'ai pas lu les messages qui suivent tes méthodes.
J'espère ne pas repéter des choses déjà dites.
Dans la méthode 5 :
pour calculer EF, il me semble plus intéressant d'utiliser le triangle EBF qui est rectangle isocèle en B. De ce fait, le calcul de EF est très allégé.
On pourrait aussi d'abord montrer que:
racine(2-racine(3))=(racine(6)-racine(2))/4
racine(2+racine(3))=(racine(6)+racine(2))/4 ( c'est du "kif !" )
ce qui faciliterait ensuite DE + EF = DF .
Pour la question posée au sujet des droites (AF) et (EC).
On peut évidemment utiliser les coordonnées ou un calcul vectoriel en décomposant par exemple vecteur(AF) et vecteur(EC)en fonction de vecteur(AB) et vecteur(AD).
On obtient vecteur(AF) = ( 2 + racine(3)) vecteur(EC),
tout comme on avait vecteur(DF) = ( 2 + racine(3)) vecteur(DE),
On peut aussi utiliser des angles car (EC) coupe (BC) selon un angle de 75° et il est assez facile de montrer que (AF) coupe (BC) selon un angle de 75°.
J'imagine qu'on peut montrer avec des angles orientés que :
(vecteur (AF),vecteur(CE))= 0( modulo 2p i ).
Je n'ai pas cherché d'autres pistes !
Au passage, le quadrilatère AFCE est un joli trapèze isocèle.
Cordialement.
NB
Désolé pour l'écriture mais je suis un vieux prof qui connaît très peu le LateX !
Et sans doute trop vieux et trop fatigué pour s'y mettre !!
bonsoi,
bravo pour toute les methodes
pour la methode 10 je ne trouve pas la meme chose au noveau des coordonnes des vecteur DE et DF
mon resonnement :
Pour le vecteur DE :
xE - xD yE - yD
1/2-0 V3/2-1
donc le vecteur DE ( 1/2; V3/2-1 )
pour le vecteur DF:
xF - xD yF-yD
1+V3/2 -1 1/2-1
Bonjour, dans la méthode 7, pour calculer Aire(CDF) tu as supposé que D, E et F sont alignés non ? Sinon beau travail !
Bonjour,
pour bien comprendre ce qu'on calcule dans chacune des méthodes il vaut mieux partir d'une figure volontairement fausse :
la méthode 7 consiste à calculer
l'aire du polygone ABFED (en rouge)
et l'aire de ABFD
c'est à dire à prouver (puisqu'elles sont égales) que le triangle DEF a une aire nulle.
la rédaction est effectivement "un peu douteuse"" à partir du moment où il est écrit qu'on calcule chaque fois l'aire de ABFD
il vaut mieux mettre les points sur les i en exhibant une figure fausse comme ici.
et du coup il n'y a plus d'ambiguité sur ce qu'on calcule en guise de polygone d'aire (ABE) + (ADE) + (BEF) : ce n'est clairement pas ABFD
Pour moi la méthode la plus simple est la suivante :
1. Calcul de l'angle AÊB
AEB triangle équilatéral :
2. Calcul de l'angle DÊA
DAE triangle isocèle :
3. Calcul de BÊF
Par symétrie dans le carré ABCD,
CBF triangle équilatéral :
EBF triangle isocèle :
4. Conclusion
Ce qui prouve bien que D, E et F sont alignés.
Bonjour Alishisap
visiblement tu n'as pas tout lu : Un exercice et 14 méthodes
Je propose une petite extension à ce problème, si quelqu'un a envie de trouver un maximum de méthode pour y répondre : à partir de la même figure donné au début, démontrer que les droites (AF) et (EC) sont parallèles.
Bonjour, Jamo tout d'abord j'aimerais te félicité pour ton travail et juste dans la première méthode avec les angles j'aimerais juste savoir comment tu sais que AD=AE, est ce que sa ce déduit comme ça ou bien on te la donné dans l'énoncé ?
Bonjour,
par définition un triangle équilatéral a ses côtés égaux : AE = AB
et un carré aussi : AD = AB
cela peut être considéré comme "évident", ou nécessiter de l'écrire explicitement selon le niveau de rédaction où on se place.
Bonsoir à tous,
JAMO:
J'avoue ne pas y avoir beaucoup réfléchi, mais je pense qu'il existe pas mal de méthodes aussi pour démontrer que les droites (AF) et (EC) sont parallèles.
Au niveau collège, si on prend les deux triangles ABE et BCF, comme ils sont équilatéraux avec les mêmes dimensions, on peut considérer qu'il existe une symétrie axiale qui transforme l'un en l'autre.
L'axe de cette symétrie passe forcément par B, et ensuite si on dit que E et C sont symétriques, ainsi que A et F, alors les droites (EC) et (AF) sont perpendiculaires à l'axe de symétrie, et donc parallèles entre elles.
Sinon, autre méthode : en considérant les triangles BCE et ABF isocèles en B, on en déduit que les médiatrices de [EC] et [AF] passent par B. Je pense que ça doit être faisable de montrer que c'est la même médiatrice.
Autre idée : en prolongeant (AE) et (CF), je pense qu'avec Thalès, il doit être faisable de montrer qu'on a des droites parallèles.
Autre idée : on montre facilement que les angles AEC et FCE sont égaux. Les longueurs AE et CF étant égales, je pense qu'on peut montrer que AECF est un trapèze isocèle. De plus, il est facile de montrer que les diagonales de AECF ont la même longueur, ce qui doit bien nous amener quelques part ...
Autre idée : il est possible qu'on puisse trouver des angles alternes-internes ou correspondants égaux quelque part, ce qui entraine que des droites sont parallèles.
Voilà, je n'ai pas beaucoup creusé, mais en mettant tout ça en ordre, j'ai l'impression qu'on a quelques méthodes au niveau collège.
Bonjour,
l'exo Montrer que trois points sont alignés a renouvelé le pb en ajoutant à la figure un triangle équilatéral BDG
la question soulevéé sur ce triangle équilatéral là (alignement de ACG) est assez triviale et "de peu d'intérêt" hors pédagogique.
Mais cette idée de triangle BDG devient plus intéressante si on le construit dans l'autre sens : A extérieur à ce triangle
En considérant le point N symétrique de D par rapport à C (ou de façon équivallente le carré CDMN) une question pas triviale est : prouver l'alignement de F,G,N
on peut obtenir une démonstration expéditive avec les arcs suggérés dans la figure.
d'autres démonstrations aussi bien entendu.
bonjour,
en réfléchissant à des méthodes générales de raisonnement par rotations, et donc en cherchant des exemples d'utilisation, j'ai une nouvelle solution pas dans la liste précédente. ou alors je ne l'y ai pas vue.
(pour le problème d'origine)
une figure volontairement déformée pour ne pas confondre les droites dont on parle.
appliquons une rotation de centre B et d'angle 90°
alors les images des points deviennent "prime" sur la figure
par conséquent (DE) perpendiculaire à (D'E') = (D'F)
d'autre part CD = CF = CD', donc le triangle DFD' est rectangle en F (F est sur le demi-cercle de diamètre DD')
mais il n'y a qu'une seule perpendiculaire à (FD') issue de D
les droites (DE) et (DF) sont donc une seule et même droite
CQFD.
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