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Un jardin particulier

Posté par
littleguy
15-01-17 à 09:14

Bonjour,

Comme j'aime bien jardiner je me suis réservé un coin avec des petites allées et des surfaces pour planter fleurs et légumes. Et comme j'aime aussi les figures géométriques j'ai voulu donner à l'ensemble des formes bien particulières. Voyez vous-même le plan que j'avais imaginé :
Un jardin particulier
Je vous explique : le coin en question est délimité par le pentagone ABCDE,  tous les segments tracés sont des «allées», M est sur l'allée [AE], N sur l'allée [EC], BCDM est un carré, CEM est un triangle rectangle en E, L'angle CAN est égal à l'angle EAN, et l'angle ACM  est égal à l'angle ECM.

Sur mon plan, l'allée [AN] devait mesurer exactement 9m et l'aire du carré BCDM devait être exactement 64m².

Bien sûr lors de la réalisation toutes ces mesures ne furent pas exactement celles-là.
J'ai mesuré par curiosité l'allée [AC], mais en considérant le plan que j'avais imaginé j'aimerais connaître sa valeur théorique exacte.

Pouvez-vous me la donner ?

Posté par
dpi
re : Un jardin particulier 15-01-17 à 14:01

gagnéBonjour

Le rythme revient...

Sauf erreur notre diamètre AC mesure 180= 13.416108   m

Posté par
lake
re : Un jardin particulier 15-01-17 à 14:12

gagnéBonjour littleguy,

J' obtiens AC=6\sqrt{5}

Posté par
derny
re : Un jardin particulier 15-01-17 à 14:15

gagnéBonjour
x=6V5

Posté par
trapangle
re : Un jardin particulier 15-01-17 à 14:27

gagnéBonjour,

Je propose :
[AC] = 6\sqrt{5} m \approx 13,416 m

Merci littleguy, bon dimanche

Posté par
rschoon
re : Un jardin particulier 15-01-17 à 20:34

gagnéBonjour à tous.

Je propose : 6\sqrt5

Merci pour l'énigme

Posté par
torio
re : Un jardin particulier 15-01-17 à 21:04

gagné(180) m                                                ( racine de 180)

A+
Torio

Posté par
trapangle
re : Un jardin particulier 15-01-17 à 22:30

gagnéAvec la géométrie je n'ai pas trouvé, donc j'ai commencé à chercher avec la géométrie analytique, les calculs devenaient compliqués quand j'ai vu que AN est parallèle à MD, ce qui simplifie les choses.

Pour prouver que AN est parallèle à MD : soit l'angle DCE, alors ECM = ACM = 45- et BCA vaut aussi.
Si AN est parallèle à BC, alors (angles alternes-internes) CAN vaut , et aussi (rotation des deux côtés de 90°), EAN a la même valeur que DCE, soit . AN partage EAC en deux angles égaux, donc AN est la bissectrice d'EAC. Si AN n'était pas parallèle à MD, dans les deux angles EAN et CAN, l'un grandirait pendant que l'autre diminuerait, donc AN ne serait pas la bissectrice d'EAC.

Pour la suite, je me place dans un repère orthonormé d'origine D avec C sur l'axe des x et M sur l'axe des y.

D a pour coordonnées (0,0)
C a pour coordonnées (8,0)
M a pour coordonnées (0,8)
E a pour coordonnées (a,b) et se situe sur le demi-cercle MDC (de centre (4,4)), entre M et D.
Je calcule ensuite :
* l'équation de la droite EM qui passe par (a,b) et (0,8) : ay = (b-8)x + 8a
* l'équation de la droite CE qui passe par (a,b) et (8,0) : (a-8)y = bx - 8b
* les coordonnées de E', symétrique de E par rapport à CM : (8-b, 8-a)
* l'équation de la droite CE', qui passe par (8,0) et (8-b,8-a) : by = (a-8)x + 64 - 8a
* les coordonnées de A, intersection de EM et CE' : (\frac{8a(a+b-8)}{a(a-8)-b(b-8)},\frac{8(a-8)(a+b-8)}{a(a-8)-b(b-8)})
* les coordonnées de N, intersection de CE et de la parallèle à l'axe des ordonnées passant par A, en remplaçant l'abscisse de A dans l'équation de CE : (\frac{8a(a+b-8)}{a(a-8)-b(b-8)},\frac{8b}{a-8} . \frac{b²-8b+ab}{a(a-8)-b(b-8)})

La différence des ordonnées yA et yN doit valoir 9, ça nous donne une première équation avec a et b comme inconnues. Une deuxième équation vient du fait que E se trouve sur un cercle de centre (4,4) et de rayon 32 : (a-4)² + (b-4)² = 32. En résolvant ce système à deux équations et deux inconnues, on trouve pour (a,b) : (\frac{-8}{5},\frac{24}{5})

En remplaçant a et b, on voit que A a pour coordonnées (2,12), on peut calculer la distance entre A et C, qui vaut 180, soit 65.

Je me doute qu'il devait y avoir une solution géométrique plus simple que ça...

Posté par
trapangle
re : Un jardin particulier 15-01-17 à 22:41

gagnéDeuxième essai pour insérer l'image...

Un jardin particulier

Posté par
LittleFox
re : Un jardin particulier 16-01-17 à 03:15

gagné
Merci pour cette énigme

La longueur théorique de l'allée [AC] est \sqrt{6^2+12^2}=\sqrt{180}=6\sqrt{5} mètres.

Soit à peu près 13,42m.

Posté par
Imod
re : Un jardin particulier 16-01-17 à 06:59

gagnéUn peu de Pythagore et des triangles semblables : AC=6\sqrt{5}

Imod

Posté par
royannais
re : Un jardin particulier 17-01-17 à 07:38

gagnéBonjour

AC = 6\sqrt{5}

Posté par
mathafou
re : Un jardin particulier 17-01-17 à 16:46

gagnéBonjour,

AC = \sqrt{180} = 6\sqrt{5}

quelques manips sur Géogebra donnent une
Conjecture : A est sur l'hyperbole équilatère d'asymptotes les médiatrices du carré et de sommets M et C
donc d'équation y = -16/x

Un jardin particulier

démonstration :
soit A' le symétrique de A par rapport à (MC)
un petit calcul vectoriel montre que \vec{AM}.\vec{CA'} = 0 et donc le point E comme intersection de (AM) et (CA') est "OK"
par construction (A' symétrique de A) CM est bien la bissectrice de ACE
les pentes de (AM) et (AC) étant opposées (le calculer), la bissectrice de MAC est verticale
le point N intersection de cette bissectrice et de (CA') a donc même abscisse que A,

la figure ainsi construite à partir d'un point A de l'hyperbole est donc "en ordre" (satisfait aux contraintes d'un "jardin de Littleguy")

on calcule l'ordonnée v de N en fonction de x
et "il suffit" de résoudre y-v = 9 pour avoir l'abscisse de A et donc le calcul de AC
on aboutit à une équation de degré 4 ... mais qui possède une solution évidente ... et qui convient (entre -4 et 0) : x = -2
d'où y = 8 et AC = \sqrt{(4+2)^2 + (8+4)^2} = \sqrt{180}

on pourrait aussi partir d'un point E sur le cercle circonscrit au carré (car E est trivialement sur le cercle de diamètre CM) en calculant des symétries (pour assure les bissectrices) etc pour aboutir au point A, puis N, mais ça me semble "moins simple".
les équations de symétriques de droites m'ont fait renoncer à cette démarche "directe" pour mon chemin "détourné" via l'hyperbole,
les calculs sont ici assez longs mais somme toute assez directs.

une autre idée est d'utiliser les formules donnant la longueur d'une bissectrice mais ça semble encore plus horrible comme expressions.

Posté par
pondy
re : Un jardin particulier 20-01-17 à 20:26

gagnésalut
je trouve AC =  6\sqrt{5} m

Posté par
Pirho
re : Un jardin particulier 22-01-17 à 22:33

gagnéBonsoir,

AC=6\sqrt{5}

Posté par
franz
re : Un jardin particulier 24-01-17 à 15:20

gagnéL'allée AC mesure en théorie \red 6\sqrt 5 \,m.

Posté par
pondy
re : Un jardin particulier 25-01-17 à 16:36

gagnéune façon de faire:
On pose a=angle(AE,AN)
angle (CM,CE)=pi/4 - a

MB=8  et MC=8\sqrt{2}
AE=9cos(a)  (égalité 1)
EC=8\sqrt{2}cos(pi/4 - a)=8(cos(a)+sin(a)  (égalité 2)
tan(2a)=EC/AE  (égalité 3)
(1) et (3) donnent :
EC=tan(2a)*9*cos(a) (égalité 4)
(4) et (2) donnent:
9cos(a)*tan(2a)=8(cos(a)+sin(a))
soit
9tan(2a)=8(1+tan(a))
on pose t=tan(a)
et on trouve t=1/2
puis
tan(a)=1/2
tan(2a)=4/3
cos(a)=2\sqrt{5}/5
EC=25\sqrt{5}/5
AE=18\sqrt{5}/5
et avec Pythagore:
Ac=6\sqrt{5}

Posté par
verdurin
re : Un jardin particulier 27-01-17 à 11:00

gagnéSalut,
il me semble que AC=6\sqrt5

Posté par
albatros44
re : Un jardin particulier 01-02-17 à 16:28

gagnéBonjour

Longueur de AC =6*5

Posté par
Cpierre60
re : Un jardin particulier 01-02-17 à 17:21

perduBonjour,
Merci pour cette énigme.
Je propose :
AC = 13,416 mètres

Perplexe sur le nombre de chiffres significatifs à donner, mais l'énoncé donnait "9m et 64 m² exactement ", alors.....

Posté par
Chatof
re : Un jardin particulier 02-02-17 à 21:45

gagnéAC=6\times \sqrt{5} m

Bonjour,

L'aire du carré BCDM = 64m² donc MB=BC=8


 \\ MC=BC*\sqrt{2 } \newline 
 \\  \cos \alpha =\frac{EC}{MC} \newline 
 \\ \cos 2\alpha =\frac{EC}{AC} 
 \\ \sin  2\alpha =\frac{EA}{AC}\newline 
 \\ cos (\frac{\frac{\pi}{2}-2\alpha }{2}   )=\frac{\cos \alpha +\sin \alpha }{\sqrt{2}}=\frac{EA}{AN}\newline 
 \\ AC=\frac{EA}{\sin 2\alpha }=\frac{AN\times (\cos \alpha +\sin \alpha )}{\sqrt{2 }\times \sin 2\alpha}\newline
 \\ AC=\frac{MC\times \cos \alpha}{\cos 2\alpha}\newline
 \\ AN\times (1 +\tan \alpha )-BC*\sqrt{2 }\times \sqrt{2 }\times \tan (2\alpha)=0\newline
 \\ AN\times (1 +t )-BC\times 2 \times \frac{2t}{1-t^2}=0
 \\ \newline
 \\ AN\times (1 +t )\times (1-t^2)-BC\times 2\times 2t=0\newline
 \\ \text{AN=9  BC=8}\newline
 \\ (1 +t )\times (1-t^2)-\frac{32}{9}\times t=0\newline
 \\ t^3+t^2+\frac{23}{9}t-1=0\newline
 \\ t=\frac{1}{3}\newline
 \\ \cos \alpha =\frac{3}{\sqrt{10}}\newline
 \\ \sin  \alpha =\frac{1}{\sqrt{10}}\newline
 \\ \cos 2\alpha =\frac{1-t^2}{1+t^2}=\frac{4}{5}\newline
 \\ AC=\frac{8\sqrt{2}\times 3\times 5}{\sqrt{10}\times 4}=6\times \sqrt{5}

Un grand merci Littleguy

Posté par
littleguy
re : Un jardin particulier 05-02-17 à 21:42

Des chemins variés pour parvenir au résultat. Dommage pour Cpierre60 qui a donné une valeur toute proche du résultat attendu.

Bravo à tous !

Challenge (énigme mathématique) terminé .
Nombre de participations : 17
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