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Un jardin particulier
Bonjour,
Comme j'aime bien jardiner je me suis réservé un coin avec des petites allées et des surfaces pour planter fleurs et légumes. Et comme j'aime aussi les figures géométriques j'ai voulu donner à l'ensemble des formes bien particulières. Voyez vous-même le plan que j'avais imaginé :
Je vous explique : le coin en question est délimité par le pentagone ABCDE, tous les segments tracés sont des «allées», M est sur l'allée [AE], N sur l'allée [EC], BCDM est un carré, CEM est un triangle rectangle en E, L'angle CAN est égal à l'angle EAN, et l'angle ACM est égal à l'angle ECM.
Sur mon plan, l'allée [AN] devait mesurer exactement 9m et l'aire du carré BCDM devait être exactement 64m².
Bien sûr lors de la réalisation toutes ces mesures ne furent pas exactement celles-là.
J'ai mesuré par curiosité l'allée [AC], mais en considérant le plan que j'avais imaginé j'aimerais connaître sa valeur théorique exacte.
Pouvez-vous me la donner ?
Avec la géométrie je n'ai pas trouvé, donc j'ai commencé à chercher avec la géométrie analytique, les calculs devenaient compliqués quand j'ai vu que AN est parallèle à MD, ce qui simplifie les choses.
Pour prouver que AN est parallèle à MD : soit 
l'angle DCE, alors ECM = ACM = 45- et BCA vaut aussi.
Si AN est parallèle à BC, alors (angles alternes-internes) CAN vaut , et aussi (rotation des deux côtés de 90°), EAN a la même valeur que DCE, soit . AN partage EAC en deux angles égaux, donc AN est la bissectrice d'EAC. Si AN n'était pas parallèle à MD, dans les deux angles EAN et CAN, l'un grandirait pendant que l'autre diminuerait, donc AN ne serait pas la bissectrice d'EAC.
Pour la suite, je me place dans un repère orthonormé d'origine D avec C sur l'axe des x et M sur l'axe des y.
D a pour coordonnées (0,0)
C a pour coordonnées (8,0)
M a pour coordonnées (0,8)
E a pour coordonnées (a,b) et se situe sur le demi-cercle MDC (de centre (4,4)), entre M et D.
Je calcule ensuite :
* l'équation de la droite EM qui passe par (a,b) et (0,8) : ay = (b-8)x + 8a
* l'équation de la droite CE qui passe par (a,b) et (8,0) : (a-8)y = bx - 8b
* les coordonnées de E', symétrique de E par rapport à CM : (8-b, 8-a)
* l'équation de la droite CE', qui passe par (8,0) et (8-b,8-a) : by = (a-8)x + 64 - 8a
* les coordonnées de A, intersection de EM et CE' :
* les coordonnées de N, intersection de CE et de la parallèle à l'axe des ordonnées passant par A, en remplaçant l'abscisse de A dans l'équation de CE :
La différence des ordonnées yA et yN doit valoir 9, ça nous donne une première équation avec a et b comme inconnues. Une deuxième équation vient du fait que E se trouve sur un cercle de centre (4,4) et de rayon 
32 : (a-4)² + (b-4)² = 32. En résolvant ce système à deux équations et deux inconnues, on trouve pour (a,b) :
En remplaçant a et b, on voit que A a pour coordonnées (2,12), on peut calculer la distance entre A et C, qui vaut 180, soit 65.
Je me doute qu'il devait y avoir une solution géométrique plus simple que ça...
Bonjour,
quelques manips sur Géogebra donnent une
Conjecture : A est sur l'hyperbole équilatère d'asymptotes les médiatrices du carré et de sommets M et C
donc d'équation y = -16/x
démonstration :
soit A' le symétrique de A par rapport à (MC)
un petit calcul vectoriel montre que et donc le point E comme intersection de (AM) et (CA') est "OK"
par construction (A' symétrique de A) CM est bien la bissectrice de ACE
les pentes de (AM) et (AC) étant opposées (le calculer), la bissectrice de MAC est verticale
le point N intersection de cette bissectrice et de (CA') a donc même abscisse que A,
la figure ainsi construite à partir d'un point A de l'hyperbole est donc "en ordre" (satisfait aux contraintes d'un "jardin de Littleguy")
on calcule l'ordonnée v de N en fonction de x
et "il suffit" de résoudre y-v = 9 pour avoir l'abscisse de A et donc le calcul de AC
on aboutit à une équation de degré 4 ... mais qui possède une solution évidente ... et qui convient (entre -4 et 0) : x = -2
d'où y = 8 et
on pourrait aussi partir d'un point E sur le cercle circonscrit au carré (car E est trivialement sur le cercle de diamètre CM) en calculant des symétries (pour assure les bissectrices) etc pour aboutir au point A, puis N, mais ça me semble "moins simple".
les équations de symétriques de droites m'ont fait renoncer à cette démarche "directe" pour mon chemin "détourné" via l'hyperbole,
les calculs sont ici assez longs mais somme toute assez directs.
une autre idée est d'utiliser les formules donnant la longueur d'une bissectrice mais ça semble encore plus horrible comme expressions.
une façon de faire:
On pose a=angle(AE,AN)
angle (CM,CE)=pi/4 - a
MB=8 et MC=
AE=9cos(a) (égalité 1)
EC=8cos(pi/4 - a)=8(cos(a)+sin(a) (égalité 2)
tan(2a)=EC/AE (égalité 3)
(1) et (3) donnent :
EC=tan(2a)*9*cos(a) (égalité 4)
(4) et (2) donnent:
9cos(a)*tan(2a)=8(cos(a)+sin(a))
soit
9tan(2a)=8(1+tan(a))
on pose t=tan(a)
et on trouve t=1/2
puis
tan(a)=1/2
tan(2a)=4/3
cos(a)=2/5
EC=25/5
AE=18/5
et avec Pythagore:
Ac=6
Bonjour,
Merci pour cette énigme.
Je propose :
AC = 13,416 mètres
Perplexe sur le nombre de chiffres significatifs à donner, mais l'énoncé donnait "9m et 64 m² exactement ", alors.....
Nombre de participations : 17
94,12 %5,88 %
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