Où en es-tu dans ta recherche ? Qu'as-tu essayé comme méthode ?
Que peut-on dire de matrices à coeff dans {0;1} telles que M²=0 ?
Voilà quelques questions auxquelles tu peux répondre pour que l'on puisse t'aider...

Pour le cas n=1,il y a une solution:la matrice nulle
Pour le cas n=2 j'ai trouvé 3 solutions:la matrice nulle,E12 et E21
Pour le cas général,j'ai commencé par écrire la matrice M=(mij) dans la base canonique de Mn() comme elle est à coefficients dans {0,1} on a:
M= Eij
(i,j)S
où S={(i,j){1,..,n}²/mij=1}
on sait alors que: M²= Eij*Ekl
(i,j),(k,l)S
ie: M²= jk*Eil
(i,j),(k,l)S
(ij désignant le symbole de Kronecker)
donc pour avoir M²=0 il faut et il suffit que:jk=0 pour tout (i,j) et (k,l) de S
On voit alors que le probléme revient à dénombrer l'ensemble des parties S de {1,..,n}² telles que X(S)Y(S)= (X et Y désignant les 2 projections de {1,..,n}²)

Je crois que le raisonnement suivant est juste:
soit A une partie de{1,..,n},dénombrons les parties S de {1,..,n}²
telles que: X(S)Y(S)= et Y(S)=A
si A= on a S= donc M=0 (1 solution)
sinon écrivons A={j1,..,jk} (il y a donc(k,n)façons de choisir A)
pour chaque jr (r=1..k) notons:
Xjr={i{1,..,n}/(i,jr)S}
il est clair que chaque Xjr doit etre une partie non vide de {1,..,n}\A et il y a donc 2^(n-k)-1 façons de choisir chaque Xjr soit donc
(2^(n-k)-1)^k choix possibles pour le k-uplet (Xj1,..,Xjk)qui lui détermine complétement S puisque S est la réunion des Xjr{jr} finalement on peut énoncer:
Le nombre de matrices M de Mn() à coefficients dans {0,1} telles que M²=0 est:
k=n
(k,n)*2^(n-k)-1)^k
k=0

Une parenthése a été oubliée