Un peu de tout ^^

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Un peu de tout ^^
Posté par 
olive_68  28-04-10 à 20:46
Salut 

Voilà quelques exercices que j'ai eus ces 2 dernière khôlles ( sauf le 6 ^^ ) :

         Comparer   et    au voisinage de zéro .  ( Terminale )

         Calculer   ( Première )

         Soit  et  la suite définie par   . 

                           Limite en .    ( Terminale ) 

                           Equivalent en .     ( + )

         Calculer   c'est une partie entière   ( Faisable si on sait comment fonctionne la partie entière )

         Trouver toutes les fonctions  continue en 0 telles que : 

         Etudier la continuité sur  de .  

         Soient  et  une fonction strictement croissante telles que  . 

               Montrer que     ( Première )

Voilà ^^ Merci de blanquer 
 Posté par 
Eurotruckre : Un peu de tout ^^  28-04-10 à 21:02
Bonjour olive,

Comme mes exercices défis 
 Posté par 
Jun_Milanre : Un peu de tout ^^  28-04-10 à 21:51
Bonsoir,

Merci d'avoir pensé a indiquer le niveau en gros ...

J'essairai tout ca demain 

Bonne soiree 
 Posté par 
olive_68re : Un peu de tout ^^  29-04-10 à 00:32
Salut,

La où c'est pas indiqué je ne sais pas quel niveau mettre..

Le 5 est techniquement faisable en première mais quand on a jamais vu comment faire c'est peut-être dur ^^

Le 6 c'est comme pour le 4, il faut savoir comment fonctionne une partie entière.

( " (sauf le 6) ", en fait c'est le 4, je l'ai trouvé sur le forum celui ci )
 Posté par 
olive_68re : Un peu de tout ^^  29-04-10 à 16:22
Alors, personne se lance ? 
 Posté par 
Jun_Milanre : Un peu de tout ^^  29-04-10 à 18:20
Pour ma part, je remets tout ca pour le week-end 

Sinon, que signigie le symbole [] (pour le 6) ?

En premiere lecture, je croyais que c'etait une valeur absolue mais maintenant je ne sais plus ...

 Posté par 
infophilere : Un peu de tout ^^  29-04-10 à 19:20
Bonjour 

Allez j'ouvre la marche :

 Cliquez pour afficher
3. On a immédiatement 

Puis en remarquant que  on a un produit télescopique :

 qui tend vers  quand .

Sauf erreur.
 Posté par 
infophilere : Un peu de tout ^^  29-04-10 à 19:29
Bon allez un deuxième avant de manger :

 Cliquez pour afficher
3. (Je laisse la limite pour les Terminales). On peut même expliciter  si je ne me trompe pas :

En passant au log on a .

Définissons , on a alors .

D'où  (pour ), donc l'équivalent recherché est .

Sauf erreur 
 Posté par 
infophilere : Un peu de tout ^^  29-04-10 à 21:58
Oups j'avais lu  au lieu de  !

 Cliquez pour afficher
Qu'à cela ne tienne, en passant au log 

On a donc l'équivalent .

 Posté par 
numero10re : Un peu de tout ^^  29-04-10 à 23:13
Salut,

**
 Cliquez pour afficher
2)Je me demande comment montrer cette limite avec des outils de première car on a besoin d'un DL à l'ordre 2 sinon on trouve 1/2 j'ai pas le courage d'écrire la démo il est un peu tard désolé je verrais les autres éxo une autre fois
 Posté par 
infophilere : Un peu de tout ^^  29-04-10 à 23:34
numero10 >

 Cliquez pour afficher

Pour la limite de  tu multiplies haut et bas par  :

.

Sachant (en première) que  on en déduit que 

 Posté par 
olive_68re : Un peu de tout ^^  01-05-10 à 13:05
Salut à tous 

Faute de frappe : 

Kévin >> 
 Cliquez pour afficher
Alors comment ça ce passe ces concours ? Tu t'en sors comment jusque là ? 

Bien vu pour les exercices que tu as traité  J'ai aussi définie la suite explicitement pour trouvé l'équivalent.

Il doit y avoir une autre méthode ( la khôlleuse à fait autrement mais j'ai pas demandé comment elle a fait ).

numero10 >>  Cliquez pour afficher
On pouvait aussi utiliser  mais je préfère la méthode donnée par Kévin ( que je connaissais pas d'ailleurs ) , ça évite de se tromper dans les formules.
 Posté par 
olive_68re : Un peu de tout ^^  01-05-10 à 13:07
Jun >> La partie entier de x ( [x] ) est le plus grand entier relatif inférieur ou égale à x, tu peux regarder sur wiki si ça t'interresse .
 Posté par 
Jun_Milanre : Un peu de tout ^^  01-05-10 à 15:23
> olive_68:

 Cliquez pour afficher
Merci pour le lien; et oui ca m'interesse puisque je ne connais pas cette notation !

Pour l'exercice 2, franchement j'ai beau essayé mais je n'arrive pas a calculer la limite en 0 (je sais, d'apres une conjecture sur la calculatrice que la reponse est 1/2 mais je n'arrive pas a la demontrer, je n'obtiens que des cas de FI )

Mais je n'abandonne pas ... Au cas ou je reste bloqué, je demanderai peut-etre un petit indice (pas trop fort) , on verra 

Pour l'exercice 7:

Je ne sais pas si j'ai loupé quelque chose, mais a mon avis f(x) peut avoir plusieurs valeurs ...

E  , mais cela ne signifie pas que E= mais que E est un intervalle de  

Je donne quelques exemples (pas forcement tous):

. f1(x)=x puisque f1of1=f1(x)=x (ici, E peut etre tout intervalle de )

. f2(x)=-1/x puisque f2of2(x)=-1/f2(x)=-1/(-1/x)=x (ici E  ]-;0[  ou E  ]0;+[  , mais E ne peut pas etre = -{0} par exemple car f2(x)=-1/x n'est pas stricement croissante pour tout x appartenant a l'intervalle dernier)

J'attends ta confirmation (ou non-confirmation) pour resoudre cet exercice !

Merci 
 Posté par 
olive_68re : Un peu de tout ^^  01-05-10 à 15:41
Jun >

 Cliquez pour afficher
Ex 2 : Eh oui, c'est le cube au dénominateur qui corse la chose ^^

Ex 7:  Ben là je l'ai posté tel qu'il ma été donnée en khôlle ..

Au début j'avais pensé que si on prend l'intervalle des réels strictements positifs et la fonction que tu as donné on a bien une solution, mais le problème c'est qu'elle vérifie la relation elle est même strictement croissante sur E mais pas sur IR donc ça marche pas ^^

Si tu as besoin d'indication n'hésite pas, même si c'est techniquement faisable en première on peut pas dire que ce soit évident non plus à ce niveau.

Pour l'exercice 7, j'ai oublié de dire que f est définie de IR dans IR.
 Posté par 
infophilere : Un peu de tout ^^  01-05-10 à 17:25
 Cliquez pour afficher
Bof bof les concours, je suis assez déçu de ce que j'ai fait aux Mines, à Centrale j'ai fait de mon mieux mais je ne suis pas assez rapide...

Tu es sûr qu'il ne manque pas encore quelque chose pour l'exo 7 ? Car on peut très bien construire une fonction f qui soit strictement croissante sur ]-oo,1] telle que f(1)=-1, puis prendre f(x)=-1/x sur [1,2] par exemple et enfin f strictement croissante sur [2,+oo[ (avec f(2)=-1/2). On a donc construit f involutive sur E=[1,2] strictement croissante sur R et différente de l'identité.

Par contre si E=R f définie de R dans R là c'est vrai, car si x < f(x) (par exemple) alors par stricte croissance f(x) < f(f(x)) = x, d'où f(x) = x.

PS : Pour Jun, on écrit  et non 

 Posté par 
olive_68re : Un peu de tout ^^  01-05-10 à 18:24
Kévin > 
 Cliquez pour afficher
Ah merde .. , et les ENS c'est pas encore passé ? Tu ne penses pas être admissible (pour les concours que tu as déjà passé) ? 

Tu es sûr de la strict croissance de la fonction que tu proposes ? 
 Posté par 
infophilere : Un peu de tout ^^  01-05-10 à 18:33
 Cliquez pour afficher
Les ENS c'est tout à la fin. Les Mines non j'ai pas fait grand chose de bon donc je ne pense pas être admissible, c'est con l'an dernier j'étais pas passé loin (barre littéraire qui m'a foutu dedans). Peut-être quelques écoles Centrale mais pas les parisiennes. M'enfin je sais ce que je veux faire donc après si je n'y arrive pas par la voie royale (ENS) j'emprunterai un autre chemin, toutes les routes mènent à Rome 

Tu es d'accord x -> -1/x est strictement croissante sur [1,2] ? Bon et bien il suffit de raccorder à gauche et à droite par des fonctions strictements croissantes pour que le tout soit strictement croissant.

 Posté par 
olive_68re : Un peu de tout ^^  01-05-10 à 19:02
 Cliquez pour afficher
Oui avec 11 et 13 en maths j'étais surpris que tu n'ai pas été admissible, mais bon, le francais ... 

Bon courage pour les ENS 

J'avais mal lu ([-1,2]), ce que tu proposes marche donc il faut supposer que E = IR ^^

Bon cette fois si c'est pas de ma faute, il faut supposer que E = IR sinon ça ne marche pas (J'ai reporté l'exercice tel qu'on me la donné)
 Posté par 
infophilere : Un peu de tout ^^  01-05-10 à 19:12
 Cliquez pour afficher
Oui, et j'étais d'autant plus deg d'avoir eu 8 en français (coeff 8 comme les maths) que j'étais 3ème à l'année 

Merci olive !  si t'as msn tu peux m'ajouter.

Du coup l'exo est faisable en première.
 Posté par 
LeFoure : Un peu de tout ^^  02-05-10 à 14:41
 Cliquez pour afficher
Pour le 7, ce n'est peut-être pas du niveau de première, mais puisque la fonction est strictement croissante, elle est donc bijective.

On peut appliquer  à l'égalité et obtenir 

Soit  non ?
 Posté par 
olive_68re : Un peu de tout ^^  02-05-10 à 14:58
Kévin >> 
 Cliquez pour afficher
^^ Un peu la loterie le français .. 

LeFou >>  Cliquez pour afficher
J'ai précisé nul part que la fonction est continue, tout ce que tu peux en déduire c'est l'injectivité de la fonction.

(Au cas ou j'ai rajouté des hypothèses que j'avais oublié ou sans lesquels c'est érronés : * f est de IR dans IR et E = IR.)

Merci de participer ^^

 Posté par 
LeFoure : Un peu de tout ^^  02-05-10 à 17:04
 Cliquez pour afficher
Je me disais aussi qu'il me manquait une hypothèse 
 Posté par 
LeFoure : Un peu de tout ^^  02-05-10 à 17:36
 Cliquez pour afficher
Alors voici :

Mq 

Posons X=f(x).

Alors f(X)=f(f(x))=x

Supposons que 

Alors par croissante stricte de f,

f(x)>f(X)=x

C'est absurde donc X=x i.e f(x)=x.

 Posté par 
Jun_Milanre : Un peu de tout ^^  02-05-10 à 18:44
Re,

 Cliquez pour afficher
J'ai essayé tout ce qui me venait comme idée pour l'exercice 2 (remplacer tan (x) par sin(x)/cos(x); ou mettre 1/x^3 a part et travailler sur la parenthese; ou multiplier le num. et le denom. par cos (x) ou sin(x) en esperant que ca soit utile quelque part ... ou remplacer x par 2a pour utiliser les formules de duplication; ou meme une etude de limite en utilisant les derivées etc. mais sans resultats ... Je n'obtients que des FI  

Dans ce cas ou je ne sais plus quoi faire, je demande donc un petit indice, mais vraiment qu'il ne soit pas trop fort si tu peux ... 

Merci 

Sinon, c'est noté pour l'exercice 7 que E=R ... Cet exercice semble plus facile que le dernier:

J'ai deja demontré que si f(x)=x, donc fof(x)=x (evident en tout cas)

Il reste a demontrer la reciproque que je n'ai pas essayé encore 

 Posté par 
LeFoure : Un peu de tout ^^  02-05-10 à 18:57
>> Jun_Milan  Bonjour, pour le 2) Pense à des beaux taux d'accroissement.
 Posté par 
numero10re : Un peu de tout ^^  02-05-10 à 21:12
3000,

 Cliquez pour afficher

Or, 

Comme f est continue en 0 ,

Je dirais alors que les fonctions qui conviennent sont de la forme:

où k est une constante.

 Posté par 
olive_68re : Un peu de tout ^^  02-05-10 à 21:33
LeFou >> 
 Cliquez pour afficher
Pour faire la démonstration en entier il faut aussi faire la même chose pour  mais bravo sinon ^^

Jun >> Cliquez pour afficher
Pour le 2. un indice t'a été donné, et dans ton dernier message, tu as dis quelque chose qui te permettrait d'en fabriquer un. En tout, tu dois avoir entre 1 et 3 taux d'accroissement vu l'exposant du dénominateur.

J'en dis pas plus pour le moment  

numero10 >> Cliquez pour afficher
Tu as fais l'analyse, en faisant la synthèse tu aurais vu que cette fonction ne convient pas ^^ 

J'ai l'impression que tu as voulu "décaller" l'égalité de n rang ( ecrire que  etc n fois) mais le problème c'est que ça marche pas, il y a un cosinus qui apparaît à chaque fois (on remplace la fonction par  mais pas  )

A part ça je trouve que c'était une bonne idée ^^ !

 Posté par 
numero10re : Un peu de tout ^^  02-05-10 à 21:54
 Cliquez pour afficher

Effectivement je n'ai pas vérifié,

lol , en fait j'avais quelque peu oublié le cosinus dans mon raisonnement je l'ai rajouté en toute fin en ne voyant pas la grossière erreur.

J'y réflechirais de nouveau une autre fois j'ai du boulot.

Sinon :

f(2x)=f(x)cos(x)=f(x/2)cos(x/2)cos(x)=f(x/4)cos(x/4)cos(x/2)cos(x)=f(x/(2^n))cos(x/(2^n))...cos(x)

Sauf erreurs encore une fois

Bon j'arrete je reprendrai plus tard surtout que je ne suis pas sûr d'être sur la bonne piste.

 Posté par 
Jun_Milanre : Un peu de tout ^^  02-05-10 à 22:20
Merci pour votre aide LeFou et olive ...

> olive:

 Cliquez pour afficher
Citation :
Tu as dis quelque chose qui te permettrait d'en fabriquer un. En tout, tu dois avoir entre 1 et 3 taux d'accroissement vu l'exposant du dénominateur.

Puisqu'on parle du taux d'accroissement, je pense que c'est l'etude de limite en utilisant les derivees ...

J'ai eu une idée concernant la resolution de cette exercice, et que je developperai demain (ou apres demain) car ca commence a faire tard 
(en esperant que ca soit la bonne avec tous ces indices ...)

Merci encore pour ces exercices tres tres interessants, 

Et bonne soiree tout le monde 
 Posté par 
Jun_Milanre : Un peu de tout ^^  02-05-10 à 22:22
 Cliquez pour afficher
cet* exercice
 Posté par 
olive_68re : Un peu de tout ^^  04-05-10 à 15:38
Jun > 
 Cliquez pour afficher
Les dérivées interviendront en effet puisque la limite d'un taux de variation en un point est la dérivée en ce même point 

Et je t'en prie pour les exercices ^^, merci à toi de t'y intéresser 

 Et sinon, personne n'attaque le 1. ( "très" simple ), le 4. ou  le 6. ? ^^
 Posté par 
Jun_Milanre : Un peu de tout ^^  05-05-10 à 16:05
Malheureusement, je n'arrive toujours pas  

Bon, je vais pour un autre indice ... 

Apparemment, je ne vais jamais oublier cette limite sur laquelle j'ai passe plusieurs jours ... 

 Posté par 
olive_68re : Un peu de tout ^^  06-05-10 à 17:39
Salut 

Jun > 
 Cliquez pour afficher
La formule  peut servir, ou peut-être qu'une "quantitée conjuguée" aussi ^^ (Les deux marchent bien mais il faudra en utiliser qu'une pour aboutir, en gros on a deux méthodes différentes )

^^ On dirait bien 

 Posté par 
olive_68re : Un peu de tout ^^  06-05-10 à 22:38
(Dommage que la limite du 4. n'ait pas plus de succès, je trouve le résultat sympa moi ^^)
 Posté par 
LeFoure : Un peu de tout ^^  07-05-10 à 15:56
Olive >

 Cliquez pour afficher
Exact, la flemme, enfin surtout c'est que je suis jamais très doué niveau rédaction je me suis aperçu juste après avoir posté qu'il me manquait une partie 
 Posté par 
LeFoure : Un peu de tout ^^  07-05-10 à 16:30
Citation :
Tu aurais une piste pour le 4).

Pour le cas où , c'est évident 

Mais pour le reste, avec la définition de la partie entière je vois trop comment le faire.

J'ai l'impression que c'est toujours 0, mais je pense pas que ce soit ça.
 Posté par 
olive_68re : Un peu de tout ^^  07-05-10 à 18:53
LeFou >> 
 Cliquez pour afficher
Ben en fait là, si je donne une piste l'exercice est fini, il suffit d'observer ^^

En tout cas, j'ai l'impression que t'es bien parti. 

Citation :
 Pour le cas où , c'est évident 

Citation :
J'ai l'impression que c'est toujours 0, mais je pense pas que ce soit ça.

Tu te contredis là non ? ^^

 Posté par 
LeFoure : Un peu de tout ^^  07-05-10 à 22:04
 Cliquez pour afficher
Oups! oui en effet je voulais dire 1  

Mais juste tu peux pas me dire si la définition de la partie entière suffit?

Et puis après en prenant  privé de , je vois pas quoi faire ;(
 Posté par 
Drysssre : Un peu de tout ^^  07-05-10 à 22:20
 Cliquez pour afficher
Pour la 4, si x est dans Q, ca fait 1.

Sinon, franchement je pense que l'énoncé est mal posé. 

Je suis quasiment sur que sur quelques(si ce n'est toutes) valeurs de R-Q, la suite va osciller entre 0 et -1 et donc que ca va pas admettre de limites.

Je connais l'énoncé Déterminer lim n->oo lim m->oo cos(2n! x)m et celui-là m'a l'air d'être une adaptation manquée.
 Posté par 
Drysssre : Un peu de tout ^^  07-05-10 à 22:26
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D'ailleurs j'ai oublié les valeurs absolues dans mon enoncé, peut-être as tu fait le même oubli? 
 Posté par 
Stef-re : Un peu de tout ^^  07-05-10 à 22:28
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4. pour tout x rationnel la limite vaut 1 puisque si x=p/q, q se simplifie avec un terme de la factorielle il reste cos(2k.Pi)=1... après je crois qu'on peut conclure avec la continuité de cos + le fait que IQ soit dense dans IR pour conclure que la limite vaut 1 pour tout x réel (mais ce serait bizarre puisque la partie entière serait inutile alors que tu dis bien "faisable si on sait comment fonctionne la partie entière"  et je sais pas vraiment si on peut utiliser ce que j'ai dit à cause du n! qui tend vers l'infini)
 Posté par 
Drysssre : Un peu de tout ^^  07-05-10 à 22:31
Stef-
 Cliquez pour afficher

on n'utilise la densité de Q que pour les fonctions continues.

Une limite de partie entiere est une fonction à priori hautement discontinue.
 Posté par 
numero10re : Un peu de tout ^^  07-05-10 à 23:15
Salut

 Cliquez pour afficher
La fonction nulle convient,

Même si j'ai un peu survollée la question ce soir je ne vois que la fonction nulle comme solution.

Evaluons l'égalité en pi

Alors =

De là je dirais par continuité que f(0)=0

Et il faut trouver des fonctions qui s'annulent une infinitée de fois.

Au passage aussi 
 Posté par 
olive_68re : Un peu de tout ^^  07-05-10 à 23:34
Salut,

Drysss >> 
 Cliquez pour afficher
Ah ouais t'a raison, je suis sur pourtant de l'avoir vu sous cette forme sur le forum .. Hier par contre je l'ai vu avec un exposant 2n et sans partie entière .

A part ça, bien joué !, je m'attendais pas à avoir des valeurs négatives. La réponse que j'attendais était  ( fonction indicatrice de Q ) mais bon, ça à loupé ..

Bon pour le 4. , j'avais pas pensé que la fonction allait prendre aussi des valeurs négatives (), il faudrait donc rajouter des valeurs absolues .. ou alors enlever les parties entières et mettre le tout à la puissance 2n..

Désolé pour toutes ces fautes d'énoncé ..

LeFou Cliquez pour afficher
>> Désolé de t'avoir fait réfléchir sur ça alors que je m'étais trompé sur l'énoncé ( je l'avais vu tel quel sur le forum mais j'ai pas pensé à vérifier ensuite si c'était juste ou pas, le résultat me plaisait bien )

Pour la partie entière, il faut pas de connaissance vraiment, juste savoir que c'est le plus grand entier relatif inférieur ou égale au nombre dont on cherche la partie entière.

Je pense (vu la manière dont tu as procédé ) que tu devrais trouver tout de suite avec cette énoncé un peu changé.

Stef- >>  Cliquez pour afficher
Ca va ? comment ça se passe la prépa ?

Ben comme ta vu j'ai fait le moche avec l'énoncé, maintenant qu'il est changé tu devrais trouver directement la réponse 

numero10 >>  Cliquez pour afficher
Dommage, tu étais parti sur la bonne voie au début (dans ton premier poste), là tu t'en éloigne un peu ( mais tu verras que les fonctions solutions vérifient ce que tu dis )

Merci à tous de votre participation malgré les fautes de recopillage 
 Posté par 
olive_68re : Un peu de tout ^^  08-05-10 à 06:31
Bon je mets un corrigé de ceux qui ne sont pas traité en se moment.

Exercice 1 :

 Cliquez pour afficher
On va faire le rapport des deux fonctions, .

On fait le changement de variable , ça nous donne  et là on utilise la croissance comparée.

( J'ai du le faire à la terminale en khôlle donc j'ai montrer encore que ce truc est majoré en valeur absolue par  pour  et là j'ai utilisée la croissance comparée )

Comme  , alors .

Donc  est très petite devant  au voisinage de zéro ( en restant positif ), et si on est dans le supérieur alors  est négligeable devant  au voisinage de zéro ( .. )

Exercice 3 :

 Cliquez pour afficher
J'ai fais comme infophile dans son poste le 29-04-10 à 19:29 , pour changer un (tout petit) peu : si on appelle  la suite définie par  on a , en passant au , 

Donc la limite est .

Pour l'équivalent, comme  on en déduit que 

Exercice 6 :

 Cliquez pour afficher
La continuité ne pose pas problème sur , on veut montrer la continuité de la fonction sur .

On remarque que , donc si la fonction est continue en un par exemple alors elle est continue en tout point de .

Continuité en un : pour ,  de limite 1 en 1.

                           pour ,  de limite 1 en 1.

Donc la fonction est continue en 1, par conséquent elle l'est aussi sur  et donc sur .

Exercice 7 :

 Cliquez pour afficher
Supposons que  soit différentes de .

Il existe  tel que  ou tel que .

En composant par  (qui est strictement croissante) il vient,  ou .

Ce qui est absurde.

Donc 

 Posté par 
Stef-re : Un peu de tout ^^  08-05-10 à 11:15
Dryss> oui en effet j'avoue que la partie entière c'est en général pas vraiment continu. j'avais réfléchi en enlevant cette partie entière en fait, avec simplement cos(2.Pi.n!.x), là on aurait pu utiliser la continuité ou pas? (je pense que oui, mais le n! qui tend vers l'infini me met un doute)

olive> ça va ça se passe pas trop mal je tiens bien en maths mais en physique c'est plus dur. (enfin ça doit venir du fait que je la bosse pas aussi) les notes baissent un peu avec la fin de l'année mais point positif je deviens presque bon en anglais  et toi?
 Posté par 
olive_68re : Un peu de tout ^^  08-05-10 à 15:26
Stef- >> C'est encore pire sans les parties entières, tu as une infinité de valeurs d'adhérences ( tout [-1,1] ) alors que avec les parties entières tu en as que 3..

Ah cool ! Ouais j'avoue c'est chaud la physique, tu es en quoi en fait ? MPSI et tu fais MP l'année prochaine ?

Moi je travail pas vraiment. A part en maths, j'étais meilleur en terminale que cette année mais bon je le cherche aussi ^^
 Posté par 
Stef-re : Un peu de tout ^^  08-05-10 à 18:26
je comprend pas le coup des valeurs d'adhérence  et oui MPSI-MP l'année prochaine, et je te comprends, travailler c'est pas évident du tout  
  Posté par 
olive_68re : Un peu de tout ^^  12-05-10 à 16:53
Salut,

Exercice 2 :

 Cliquez pour afficher

On utilise soit, le fait que  ou bien version infophile ^^ : .

Dans tout les cas on a des taux de variations (  ) qui tendent vers 1 en 0.

Et on en déduit facilement que .

Exercice 4 :

 Cliquez pour afficher
Déjà fallait avoir le bon énoncé ..  on va donc considérer que c'est la limite de  qu'on cherche.

Si x est rationnel, on peut l'écrire sous la forme  où p est un entier relatif,q un entier naturel non nul.

Comme n tend vers l'infini ( à partir du rang q ) n! est divisible par q et donc l'argument du cosinus est un multiple de  donc la bête tend vers 1

Si x est irrationnel, l'argument du cosinus n'est pas multiple de  et donc le tout tend vers 0.

Ainsi      ( indicatrice de IQ )

Exercice 5 :

 Cliquez pour afficher
Là, on utilise beaucoup de fois la relation .

Ce qui donne le poste de infophile du 29-04-10 à 19:20.

On vérifie la réciproque et c'est bon.

Merci d'avoir participé