Bonjour,
je trouve un seul couple :

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Bonjour,

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Une liste de racines positives de tous les carrés:
,0  1  4  9   16  25  36 ---n²

Bonjour,

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P(x) = (x+1)^4 + (a-4).x + (b-1)

P(x) doit être réel pour tout x et donc il faut a et b soient des réels

Le graphe de P(x) est la somme du graphe de (x+1)^4 qui est partout > 0 avec un minimum valant 0 en x = -1 et d'un graphe de droite d'équation : y = (a-4).x + (b-1)

Il est donc impossible que le graphe de P(x) coupe plus de 2 fois l'axe des abscisses, on ne peut donc pas avoir plus de 2 racines réelles distinctes pour P(x). Pour avoir 4 racines réelles, il faut soit que les 4 racines soient confondues, ce qui impose que (a-4).x + (b-1) = 0 pour tout x et donc que a = 4 et b = 1

On pourrait aussi avoir 2 fois des racines réelles doubles, mais cela est impossible dans le cas de l'exercice.

Pour moi, il y a une seule solution : (a,b) = (4,1)

Il y a sûrement une méthode plus "classique" pour y arriver.

Bonjour à tous

En effet la solution est unique et les quatre racines sont

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égales à -1 .

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les polynômes symétriques des racines .

Le problème revient à se demander si une droite peut avoir quatre points réels communs avec la courbe . Ça ne peut être que pour la tangente au sommet.

Ce que je voulais dire c'est qu'avec a=4 et b=1 le polynôme  donne
ces valeurs :

@GBZM : entièrement d'accord si on n'a repéré le développement de . Mais pourquoi la solution ne peut-elle pas être ailleurs ? Il me manque un argument .
Imod

Parce que la droite doit être une tangente à la courbe (sinon, seulement 0 ou 2 intersections réelles) et c'est le seul endroit où le contact est d'ordre 4.

D'accord , j'ai compris
Il ne pas y avoir non plus deux racines doubles car il faudrait alors qu'il y ait une tangente commune en deux points de la courbe .
Imod

Bonjour à tous

Je donne ma solution qui elle aussi demande une intuition de la solution :

On note   et les racines possiblement confondues de l'équation et les polynômes symétriques élémentaires des racines de .

On a :






D'autre part .

Alors : donc
Ensuite le calcul de et est évident : et .

Imod

Bonjour,
Élégante, ta démonstration Imod !
Il manque un terme à S₂ ; mais tout le monde aura compris.

Merci Sylvieg

Je suis étourdi de nature et la petite fenêtre qui nous est proposée pour écrire nos message est tellement étroite que je suis heureux quand je découvre que le LaTeX est passé correctement avec les indices et les exposants à la bonne place et je vérifie pas toujours le reste .
Tant qu'on arrive à se comprendre
Imod

Bonjour,
j'ai une autre démonstration qui utilise la propriété, conséquence du théorème de Rolle :
si P est un polynôme de degré n qui possède n racines réelles (comptées avec multiplicités) alors son polynôme dérivé P' possède n-1 racines réelles (comptées avec multiplicités).

Dans le cas de l'exercice, possède 4 racines réelles donc possède 3 racines réelles, ce qui entraine immédiatement .
Mais alors possède 4 racines réelles, d'où .

Oui , ça marche bien aussi . En fait le plus difficile dans l'exercice est de repérer que le début du polynôme n'est rien d'autre que le développement de .

Imod

Bonsoir,
@Imod,

En effet , je n'avais pas repéré le petit triangle en bas à droite . Merci , je vais perdre un peu moins de temps à faire défiler mes messages pour les relire
Imod

Pour les relire, le bouton "Aperçu", c'est quand même ce qu'il y a de mieux