Je suis désolé de poster ce message, j'ai vu qu l'on y avait répondu mais pour moi, les réponses ont été plus que médiocres.

Je reprends donc le sujet :

1)a Déterminer un polynôme P du 2nd degré tel que pour tout x:
                           P(x+1)-P(x)=x

P est donc de la forme  P(x)=ax²+bx+c

Donc        a(x+1)²+b(x+1)+c-(ax²+bx+c)=x         (A)
(A) <=>     a(x²+2x+1)+bx+b+c-ax²-bx-c=x
(A) <=>     ax²+2ax+a+bx+b+c-ax²-bx-c=x
           ----       --- ---------
(A) <=>     2ax+a+b=x

Je reprends l'idée du forum :

(A) <=>     (2a)x+(a+b)=(1)x+0
D'où       2a=1 et a+b=1
Donc a= 1/2 et b=-a
Donc a= 1/2 et b=-1/2

Donc P(x)=x+1/2-1/2
En gros P(x)=x

Mais alors P(x+1)-(Px)=x+1-x=1 !
Et non pas x !
J'ai fait quoi comme erreur !
Merci de m'aider et désolé pour ce long message !