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Un segment "entier"

Posté par
littleguy
20-02-16 à 14:00

Bonjour

Dans le triangle ABC obtusangle et isocèle en A,  H est le pied de la hauteur issue de C, et dans le triangle BHC, K est le pied de la hauteur issue de H.
On sait que AB = AC = BK = x.

Proposez une valeur de x telle que BH soit un nombre entier.

Un segment  entier

Posté par
masab
re : Un segment 20-02-16 à 14:36

gagnéBonjour littleguy,

La plus petite valeur de x telle que  BH soit un nombre entier est x = \frac{1}{\sqrt[3]{2}} .

Merci pour cette énigme géométrique !

Posté par
benmagnol
re : Un segment 20-02-16 à 14:39

perduBonjour
Interessant...
x vaut 8
BH vaut 10
Bon week end !

Posté par
Nofutur2
re : Un segment 20-02-16 à 17:36

perduOn a BH2=x2+HK2=x2+HC2-KC2.
Prenons =angle(ABC).
KC=BC-x=2*x*cos()-x=x*(2*cos()-1)
HC=KC/sin()
Donc BH2=x2*(1+((2*cos()-1)/tan())2)
Il faut prendre <pi/4 pour respecter la configuration proposée.
Prenons =pi/6 par exemple.
On doit donc avoir x=BH/(1+3*(3-1)2).
Si on veut que BH=2 par exemple, il faut choisir  pour =pi/6
x=2/((1+3*(3-1)2)).

Posté par
rschoon
re : Un segment 20-02-16 à 17:45

gagnéBonjour à tous.

x peut prendre les valeurs de la forme \frac{n}{\sqrt[3]{2}} où n est un entier quelconque. Par exemple, pour n=2, x prend la valeur \frac{2}{\sqrt[3]{2}}, soit 2^{\frac{2}{3}}.

Merci pour l'énigme

Posté par
trapangle
re : Un segment 20-02-16 à 17:56

gagnéBonjour,

Pour que BH soit un entier, il faut que x soit le quotient d'un entier et de la racine cubique de 2.
Par exemple:

x = \frac{10}{\sqrt[3]{2}} \simeq 7,93701

Merci, bonne soirée

Posté par
pondy
re : Un segment 20-02-16 à 19:35

gagnésalut
ma réponse x=\sqrt[3]{\frac{1}{2}}
et BH est alors égal à 1.

Merci pour l'énigme

Un segment

Posté par
benmagnol
re : Un segment 20-02-16 à 20:38

perduBon j'ai mérité mon poisson.
Par fierté je propose quand même une solution que j'espère juste et élaborée...

Je propose, k étant un entier positif non nul :
x=k x ( racine cubique(1/2))
et BH vaudra k

J'ai d'abord trouvé que il n'y a qu'une seule position relative du point A permettant que H se projette orthogonalement sur K.
Pour cela il faut que l'angle de sommet B soit de 37,46......°

J'ai ensuite fait naviguer sur Geogebra mon x en faisant le constat qu'il y avait potentiellement une infinité de valeurs entières de BH.
J'ai donc calculé pour BH=9 puis 8 puis 7 puis 6
J'ai trouvé les écarts pour mes valeurs de x, qui étaient égaux à racine cubique(1/2)

J'ai enfin compris que pour tout x multiplié par cette valeur, je trouvais un nombre entier pour BH.

C'est pas très élégant comme solution, mais ça m'a l'air propre...

Merci encore pour cette énigme et pour le bon poisson...

Posté par
torio
re : Un segment 21-02-16 à 08:19

gagnéSi      x = (1/2)^(1/3)  = racine cubique de 1/2 0.793700526

alors BH = 1

Posté par
royannais
re : Un segment "entier" 21-02-16 à 10:02

gagnéx doit être multiple de racine cubique de 1/2

x = k * (1/2)^(1/3) ; avec k entier naturel non nul

Posté par
cath3112
re : Un segment "entier" 21-02-16 à 22:30

gagnéBonsoir,
Je propose x=0,5(1/3)  ce qui donne alors BH=1. En effet :
Soit l'angle CBA (en radian).  Comme le triangle ABC est obtusangle, est compris entre 0 et /4.
Comme le triangle ABC est isocèle en A, l'angle BAC vaut -2* donc CAH vaut 2*.
Dans le triangle BHK rectangle  en K : cos=x/BH   d'où BH=x/cos
Dans le triangle AHC rectangle  en H : cos(2*)=AH/x  d'où
AH=x*cos(2*)
De plus BH=x+AH donc BH=x+x*cos(2*)=x*2*cos²
On a donc x*2*cos²=x/cos d'où x étant non nul :
cos3=0,5 et cos=0,5(1/3).
Or x=BH*cos donc en choisissant BH=1, on a x=0,5(1/3).
Les autres valeurs possibles sont les réels de la forme x=n*0,5(1/3) où n=BH est un entier naturel.
Merci beaucoup pour l'énigme qui m'a bien plu.
Cordialement
Catherine

Posté par
Recomic35
re : Un segment "entier" 22-02-16 à 10:00

gagnéEn posant a=BC, b=CH, c=BH et en utilisant Pythagore dans plusieurs triangles rectangles et un moyen déloyal (Sage) :

Un segment  entier

on trouve c=\sqrt[3]{2}\,x. Les x qui conviennent sont de la forme un entier divisé par \sqrt[3]{2}.

Remarque : il est donc impossible de construire la figure à la règle et au compas.

Posté par
LittleFox
re : Un segment "entier" 22-02-16 à 11:09

gagné
Lorsque x vaut \frac{1}{\sqrt[3]{2}}, BH est de longueur 1 qui est entière.

Soit BH = y, on a :

HK2 = y2 - x2
CH  = y/x*HK
AH = y-x
AH2 + CH2 = x2

=> (y-x)2 + (y/x)2(y2-x2) = x2
=> y4 = 2x3y
=> y = 0 ou y = 21/3x

Donc pour que y = BH soit entier, il faut x = y/21/3 avec y

Posté par
LEGMATH
re : Un segment "entier" 22-02-16 à 17:54

perduBonsoir littleguy ,

x = 4  pour BH=5

Merci.

Posté par
manitoba
re : Un segment "entier" 22-02-16 à 20:19

gagnéBonsoir,

x=k/racine cubique de 2 et k entier (=1 par ex)
Merci pour l'énigme.

Posté par
geo3
re : Un segment "entier" 22-02-16 à 20:26

gagnéBonsoir
x = un multiple de 1/(racine cubique (2)) =

x = \Large \frac{k}{\sqrt[3]{2}}

avec   k   
A+

Posté par
derny
re : Un segment "entier" 22-02-16 à 23:16

perduBonsoir,
puisque l'on ne demande qu'une valeur je réponds 4.

Posté par
franz
re : Un segment "entier" 23-02-16 à 09:04

gagnéOn montre que l'angle \widehat{ABC}  vaut :
\alpha = \widehat{ABC} = \arccos(\frac 1{\sqrt[3]{2}}) et donc

x=BH \cos(\alpha)=\frac n{\sqrt[3]{2}}    avec    n\in\N

la première valeur strictement positive est \red x= \frac 1{\sqrt[3]{2}}\approx 0,7937

Posté par
dpi
re : Un segment "entier" 23-02-16 à 10:32

gagnéBonjour

Nombreux plantage avant de trouver l'astuce.
Tout dépend de la précision que l'on  donne à \sqrt[3]{2 }
et donc à 1/\sqrt[3]{2}.

Dans ce cas BH=n si x =n/\sqrt[3]{2}

Posté par
castoriginal
re : Un segment "entier" 23-02-16 à 12:50

perduBonjour,

voici ma solution : considérons la  figure ci-dessous

Un segment  entier

on a les relations suivantes :
1- dans un triangle rectangle, le carré d'un petit côté est égal au produit de sa projection sur l'hypothénuse fois l'hypothénuse soit,  BH2=BK1*BC = x*(x+y)
BH2/x = (x+y)

2- dans le triangle BAK2   cos= BK2/BA=((x+y)/2)*(1/x) = (x+y)/(2*x)

3- dans le triangle BHK1   cos= x/BH

des relations 2 et 3  on a  x/BH = (x+y)/(2*x)    BH = 2* x2/(x+y)
reporté dans 1 on a BH = (2*x2* x) /BH2  ou BH3= 2*x3   ou  encore  BH = racine cubique de 2* x3

voici un exemple de valeurs de BH en fonction de x :
Un segment  entier

Posté par
plilvor
re : Un segment "entier" 24-02-16 à 18:29

gagnéSoit  y la longueur BH
Soit r le rayon du cercle circonscrit au triangle rectangle BHC, on a
        - x^3 = 2 r^3
        - y =( x^2 )/ r
d'où  y = (2^1/3 ) x
pour avoir y  mesuré par un nombre  il faut avoir  x de la forme  x = N /(2^1/3)
(avec N entier)

Posté par
Alexique
re : Un segment "entier" 25-02-16 à 22:41

gagnéBonjour,

je propose x=2^{\frac23} = (\sqrt[3]{2})^2=\sqrt[3]{4}

En notant \alpha l'angle \widehat{BAC}, on a BH=x(1-\cos(\alpha))=\dfrac{x}{\sin(\frac{\alpha}{2})} (en utilisant le fait que le triangle ABC est isocèle en A donc \widehat{ABC} = \dfrac{\pi-\alpha}{2} et un peu de trigonométrie dans les triangles rectangles BKH et AHC). On déduit  1-cos(\alpha)=\dfrac{1}{\sin(\frac{\alpha}{2})} que 1-\cos(\alpha)= \sqrt[3]{2} d'où BH=x \times \sqrt[3]{2} et x=2^{\frac23} convient puisqu'on a alors BH=2.

Merci pour l'énigme (pas facile si on n'introduit pas d'angle en tout cas) !

Posté par
Alexique
re : Un segment "entier" 26-02-16 à 15:28

gagnéAutre méthode tout compte fait mais moins élégante (sans angle) :
On pose y= BH, on a HC²=x²-(y-x)² ,  HK²=y²-x² ,  KC²=2x²-y²-(y-x)² par des Pythagore.
On calcule de deux manières l'aire de BHC comme la moitié de BH x HC = BC x KH ce qui fait une équation en x et en y homogène. On pose t=y/x pour obtenir après de grosses simplifications de racines t^8-4t^5+4t²=t²(t^6-4t^3+4) = 0 soit t=0 ou en posant T=t^3,\ T^2-4T+4=(T-2)²=0 d'ou T=2 soit t = \sqrt[3]{2}. C'est juste plus lourd, plus pénible, moins joli...mais on y arrive !

Posté par
vham
re : Un segment "entier" 27-02-16 à 22:41

gagnéBonjour

x=0.5^{1/3} entraine BH=1
La construction entraine BH3=2x3

Posté par
albatros44
re : Un segment "entier" 04-03-16 à 18:00

gagnéBonjour

Pour BH = 1

x = racine cubique(1/2)

Posté par
jugo
re : Un segment "entier" 07-03-16 à 07:23

gagnéBonjour,

Je propose x = 2-1/3, ce qui donne  BH = 1.

Merci.

Posté par
carita
re : Un segment "entier" 08-03-16 à 17:04

gagnébonjour Littleguy !.... et merci

relation:    BH = x\sqrt[3]{2}

pour par exemple BH=1   --- entier

 x =\dfrac{1}{ \sqrt[3]{2} }  

Posté par
littleguy
re : Un segment "entier" 13-03-16 à 13:41

Bravo à tous eux qui ont trouvé.

De gros regrets pour castoriginal qui ne donne pas explicitement une valeur exacte de x, la seule explicitement demandée. J'ai longtemps hésité...

Posté par
castoriginal
re : Un segment "entier" 13-03-16 à 14:12

perduBonjour,

je ne comprends pas bien mon résultat !
En effet, je pense que mon erreur est d'avoir donné la démonstration.
J'aurais eu bien plus de chance de balancer ma réponse sans explication; cette réponse étant identiquement celle de " vham".

Je n'ai pas bien compris l'esprit du site, donc je me retire.

Bonne continuation

Posté par
littleguy
re : Un segment "entier" 13-03-16 à 14:35

Mais non castoriginal, reste !

La question était

Citation :
Proposez une valeur de x telle que BH soit un nombre entier.
vham a proposé  x=0.5^(1/3).

Et dans ta réponse je n'ai hélas pas vu de valeur "exacte" de x (sinon des valeurs approchées dans ton tableau). En revanche tu as mis en évidence (en rouge)  BH.

Cela ne retire en rien ta compréhension évidente du sujet.

Mais il y n'y avait qu'une question...

Reste, castoriginal,  ce n'est qu'un jeu et tes réponses sont toujours intéressantes et appréciées.

Posté par
geo3
re : Un segment "entier" 13-03-16 à 16:14

gagnéBonjour
casoriginal :
tu  ne peux pas nous faire cela  alors que depuis 7.5ans  on apprécie tes démonstrations claires et limpides
De plus il n'y a que très peu de belges sur le site.
cordialement
A+

Posté par
dpi
re : Un segment "entier" 13-03-16 à 17:00

gagnéBonjour

Historiquement, il y a deux types de réponses :
1/les réponses détaillées et au bout le résultat
2/le résultat seul

En rouge la réponse de castoriginal est bonne, je plaide donc pour
sa "réhabilitation".

Posté par
littleguy
re : Un segment "entier" 13-03-16 à 18:21

Citation :
En rouge la réponse de castoriginal est bonne

Bien sûr elle est bonne, mais elle ne répond pas à la question posée.

Entre l'esprit et la lettre c'est vrai qu'on peut hésiter (ce que j'ai fait comme dit précédemment. D'ailleurs j'ai longtemps laissé sa réponse sans attribution). Ça ne me gènerait pas d'illuminer un poisson.

Mais bon, je ne vais organiser un referendum . Cependant d'autres avis, même par mail, seront bienvenus.

Cette fonction ne correspond pas à ma personnalité, j'en suis conscient.  Re

Posté par
trapangle
re : Un segment "entier" 13-03-16 à 18:39

gagnéPersonnellement (mais je ne suis qu'un petit nouveau ici...), je suis plutôt de l'avis de littleguy : "Dura lex, sed lex". Je trouve même que littleguy est trop gentil d'habitude, par exemple pour l'énigme "Ça c'est du billard" Ça c'est du billard ! où j'ai eu un smiley alors que je pensais mériter un poisson pour avoir oublié l'unité de mesure dans ma réponse...

Posté par
louisaThomas
re : Un segment "entier" 13-03-16 à 18:59

Posté par
geo3
re : Un segment "entier" 13-03-16 à 19:31

gagnéBonsoir
La question était ""Proposez une valeur de x telle que BH soit un nombre entier ""
Il n'est pas dit qu'il fallait donner la valeur exacte  de x comme c'est parfois demandé dans d'autres énigmes
Il n'est pas dit qu'on ne pouvait pas donner une valeur approchée
donc je plaide en faveur de castoriginal
Cordialement
A+

Posté par
littleguy
re : Un segment "entier" 15-03-16 à 13:37

Bonjour,

J'ai pris le temps de la réflexion et je maintiens ma première décision. Je m'explique :

La question est : « Proposez une valeur de x telle que BH soit un nombre entier. »

Dans la réponse de Castoriginal il n'y a pas de réponse explicite à cette question précise.

Il y a - écrite en rouge - une réponse donnant la valeur de BH en fonction de x, qui permet certes de conclure mais la conclusion n'y est pas, et le tableau final est présenté ainsi : « voici un exemple de valeurs de BH en fonction de x », avec des valeurs approchées de x, comme si l'objectif avait été de trouver BH.

L'argument « Il n'est pas dit qu'il fallait donner la valeur exacte  de x comme c'est parfois demandé dans d'autres énigmes. Il n'est pas dit qu'on ne pouvait pas donner une valeur approchée» ne me paraît pas recevable ici car seule une valeur exacte de x permet d'obtenir un BH entier.

Ceci n'enlève bien sûr rien au mérite de Castoriginal qui a bien cerné la situation mais hélas « oublié » de répondre de façon claire à la seule question posée. Je comprends tout à fait son désappointement  mais accepter sa réponse créerait un précédent,  porte ouverte à l'acceptation de réponses bien échafaudées  mais incomplètes  se terminant  implicitement ou explicitement par  « et la réponse coule de source », ou très proches de la bonne réponse mais pas « pile-poil ».

Rassurez-vous, je ne suis ici qu'en simple intérimaire et les personnes qui prendront la suite pourront à leur gré changer les règles si celles leur paraissent trop abruptes.  

Posté par
littleguy
re : Un segment "entier" 15-03-16 à 13:46

Dernière ligne lire "celles-ci" et non "celles". Poisson mérité pour moi...  

Posté par
castoriginal
re : Un segment "entier" 15-03-16 à 14:54

perdubonjour,

merci pour tous vos commentaires positifs.

J'étais particulièrement désappointé parce que j'avais trouvé une démonstration intéressante de la relation entre BH et x. Cette démonstration a d'ailleurs permis à un autre membre de corriger une  erreur de raisonnement.

Il est évident que voyant l'infinité de solutions possibles,   mon attention ne s'est pas portée sur la simplicité enfantine de la relation  BH= 1 =2*x 3  ou x = racine cubique de 1/2

je constate donc qu'avec l'âge mes facultés d'attention déclinent : il est donc temps  d'arrêter.

Amitiés

Posté par
littleguy
re : Un segment "entier" 15-03-16 à 16:11

Très mauvaise idée d'arrêter. Tu as toujours au contraire une grande clarté d'analyse et, je le répète, tes contributions sont toujours intéressantes et appréciées (tu as dû t'en rendre compte). Ce n'est pas un poisson d'inattention ponctuelle qui doit te faire abandonner.

Reste, s'il te plait.  

Challenge (énigme mathématique) terminé .
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Temps de réponse moyen : 88:01:54.
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