Bonjour Sylvieg,

merci de proposer ce système original.
J'ai trouvé une solution très courte avec peu de calculs.
Je vais peut-être attendre un peu avant de la donner.
Il y a trois solutions différentes à l'ordre près (5 triplets au total).

Le nombre de solutions est bon

Bonjour,

 Cliquez pour afficher

x=y=z=0.5

Bonjour

On peut écrire les 3 égalités suivantes :

 Cliquez pour afficher

(x-3)(y-z)=(y-3)(x-z)=(z-3)(x-y)=0 .

bonjour,

 Cliquez pour afficher

je trouve 5 triplets (x , y z)
3 , 3 , -1/3
3, -1/3, 3
-1/3 , 3 , 3
1, 1, 1
1/2 , 1/2, 1/2


(EQ2) - (EQ3)   donne y=z   OU  x=3
quand x=3, (EQ1) donne z=3  et y=-1/3
on trouve les 3 premiers triplets par rotation.

pour x=y=z,   (EQ1) devient  2x² - 3x +1 = 0
soit x=1  ou  x=1/2

@dpi,
Il y a une autre solution analogue encore plus simple

C'est tout bon Leile

Bravo Leile

Bonjour à tous,

j'avais trouvé les 5 triplets aussi quand j'avais répondu à smir sur l'autre post mais la solution de jandri est certainement meilleure !

Bonsoir,
je trouve aussi que c'est un joli système.
Pour le résoudre j'ai vu la solution (1;1;1) comme presque évidente.
Ce qui m'a conduit à la solution de Leile (en sens inverse ) qui est aussi celle suggérée par Pirho.

bonsoir,

j'ai une solution différente avec peu de calculs :

 Cliquez pour afficher

je pose : en remplaçant par exemple par dans la première équation on obtient que sont solutions de l'équation d'inconnue .
Comme c'est une équation du second degré il y a au moins deux inconnues égales parmi .
Par suite il y a deux cas :
1) qui donne dans l'équation (1) dont une racine évidente est 1 l'autre étant alors
2) par exemple d'où qui donne dans l'équation (1) d'où puisque .
Cela donne le triplet et les deux qui s'en déduisent par permutation.

Intéressante la méthode de jandri qui commence par démontrer qu'il n'y a pas de triplet solution avec des termes distincts.
Je me permets de la détailler un peu plus pour m'assurer de l'avoir bien comprise :

 Cliquez pour afficher

Je pose .
En remplaçant par dans la première équation on obtient solution de l'équation (1) d'inconnue .
Idem pour y et z avec les deux autres équations.
Comme c'est une équation du second degré il y a au moins deux inconnues égales parmi .
Par suite il y a deux cas :
1) qui donne dans l'équation (1) dont une racine évidente est 1 l'autre étant alors
2) Par exemple d'où car x et z sont solutions de (1).
On a alors s = 2x -1/x ; qui donne dans l'équation (1) d'où puisque .
Cela donne le triplet et les deux qui s'en déduisent par permutation.

Je me permets deux petites remarques

1°) La solution proposée par Leile ne fait que suivre le fil tendu dans le message précédent .

2°) Dans la méthode de Jandri , il y quelque chose qui me chiffonne ou une subtilité qui m'échappe : S n'est pas une constante , elle dépend de x .

Imod

@Imod,
L'intérêt du blankage est de pouvoir participer sans regarder ce qui précède.

Pour ton "chiffonnage", je ne vois pas comment expliquer mieux.
Si (a,b,c) est un triplet solution alors les réels a, b et c vérifient tous les trois t² - 3(a+b+c)t -1 = 0.

Je reste chiffonné car a+b+c n'est pas une constante du problème et bien sûr personne ne regarde les blankés

Imod

Toujours pour Imod,
Soit le système de quatre inconnues réelles x, y, z, u
x(y + z) + 1 = 3x
y(z + x) + 1 = 3y
z(x + y) + 1 = 3z
x+y+z-u = 0
Peuton avoir (a,b,c,d) solution avec a, b et c distincts ?

Peut-on

La réponse est non bien sûr car la dernière équation ajoute simplement une nouvelle variable ( inutile ) . Vu comme ça u est un simple paramètre et on a le résultat , c'est tout de même un peu capillotracté mais pourquoi pas

Imod

Pour Imod :

si (x,y,z) est un triplet solution du système on peut poser s=x+y+z et remarquer que x,y,z sont solutions d'une même équation du second degré (avec le paramètre s), donc ils ne peuvent pas être distincts deux à deux.

En effet c'est plus simple vu comme ça et il est assez naturel d'utiliser les fonctions symétriques dans ce type d'exercices .

Imod