Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Niveau exercices
Partager :

Un système original

Posté par
Sylvieg Moderateur
13-01-25 à 07:35

Bonjour,
Il s'agit de ce système :

x(y + z) + 1 = 3x
y(z + x) + 1 = 3y
z(x + y) + 1 = 3z

Il a été posté dans le forum supérieur : système
Mais le demandeur a laissé tomber.
Dommage car je le trouve original.
Saurez-vous le résoudre avec élégance ?
Je précise qu'on travaille dans .

Posté par
jandri Correcteur
re : Un système original 13-01-25 à 09:39

Bonjour Sylvieg,

merci de proposer ce système original.
J'ai trouvé une solution très courte avec peu de calculs.
Je vais peut-être attendre un peu avant de la donner.
Il y a trois solutions différentes à l'ordre près (5 triplets au total).

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Un système original 13-01-25 à 10:08

Le nombre de solutions est bon

Posté par
dpi
re : Un système original 13-01-25 à 11:03

Bonjour,

 Cliquez pour afficher

Posté par
Imod
re : Un système original 13-01-25 à 11:11

Bonjour

On peut écrire les 3 égalités suivantes :

 Cliquez pour afficher

Le reste est facile

Imod

Posté par
Leile
re : Un système original 13-01-25 à 11:29

bonjour,

 Cliquez pour afficher

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Un système original 13-01-25 à 11:32

@dpi,
Il y a une autre solution analogue encore plus simple

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Un système original 13-01-25 à 11:33

C'est tout bon Leile

Posté par
dpi
re : Un système original 13-01-25 à 11:42

Bravo Leile

Posté par
Pirho
re : Un système original 13-01-25 à 16:57

Bonjour à tous,

j'avais trouvé les 5 triplets aussi quand j'avais répondu à smir sur l'autre post mais la solution de jandri est certainement meilleure !

Posté par
verdurin
re : Un système original 13-01-25 à 18:15

Bonsoir,
je trouve aussi que c'est un joli système.
Pour le résoudre j'ai vu la solution (1;1;1) comme presque évidente.
Ce qui m'a conduit à la solution de Leile (en sens inverse ) qui est aussi celle suggérée par Pirho.

Posté par
jandri Correcteur
re : Un système original 13-01-25 à 22:23

bonsoir,

j'ai une solution différente avec peu de calculs :

 Cliquez pour afficher

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Un système original 14-01-25 à 08:27

Intéressante la méthode de jandri qui commence par démontrer qu'il n'y a pas de triplet solution avec des termes distincts.
Je me permets de la détailler un peu plus pour m'assurer de l'avoir bien comprise :

 Cliquez pour afficher

Conclusion de tous vos messages :
On ne peut pas éviter une équation du second degré.

Posté par
Imod
re : Un système original 14-01-25 à 09:20

Je me permets deux petites remarques

1°) La solution proposée par Leile ne fait que suivre le fil tendu dans le message précédent .

2°) Dans la méthode de Jandri , il y quelque chose qui me chiffonne ou une subtilité qui m'échappe : S n'est pas une constante , elle dépend de x .

Imod

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Un système original 14-01-25 à 11:04

@Imod,
L'intérêt du blankage est de pouvoir participer sans regarder ce qui précède.

Pour ton "chiffonnage", je ne vois pas comment expliquer mieux.
Si (a,b,c) est un triplet solution alors les réels a, b et c vérifient tous les trois t2 - 3(a+b+c)t -1 = 0.

Posté par
Imod
re : Un système original 14-01-25 à 11:15

Je reste chiffonné car a+b+c n'est pas une constante du problème et bien sûr personne ne regarde les blankés

Imod

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Un système original 14-01-25 à 14:20

Toujours pour Imod,
Soit le système de quatre inconnues réelles x, y, z, u
x(y + z) + 1 = 3x
y(z + x) + 1 = 3y
z(x + y) + 1 = 3z
x+y+z-u = 0
Peuton avoir (a,b,c,d) solution avec a, b et c distincts ?

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Un système original 14-01-25 à 16:49

Peut-on

Posté par
Imod
re : Un système original 14-01-25 à 17:16

La réponse est non bien sûr car la dernière équation ajoute simplement une nouvelle variable ( inutile ) . Vu comme ça u est un simple paramètre et on a le résultat , c'est tout de même un peu capillotracté mais pourquoi pas

Imod

Posté par
jandri Correcteur
re : Un système original 14-01-25 à 21:51

Pour Imod :

si (x,y,z) est un triplet solution du système on peut poser s=x+y+z et remarquer que x,y,z sont solutions d'une même équation du second degré (avec le paramètre s), donc ils ne peuvent pas être distincts deux à deux.

Posté par
Imod
re : Un système original 15-01-25 à 15:01

En effet c'est plus simple vu comme ça et il est assez naturel d'utiliser les fonctions symétriques dans ce type d'exercices .

Imod



Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :


Rester sur la page

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !