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un theoreme d euler arithmetique
Posté par gunsouci
me voilà coincée sur des exos d arithmetique,
on considere un entier x>1et k nombres premiers :p1,...pk
on note E(x) l ensemble de tous les entiers n tels que 1
n x
et tels que n n a pas d autres diviseurs premiers que p1,...,pk
si n appartient à E(x), je dois montrer que l on peut ecrire n=m²p1^(a1)...pk^(ak) avec m un entier different de 0 et ai
{0,1}
tout ca c est du charabia pour moi!! et encore, ce n est que le debut!
est ce que quelqu un peut m aider?
salut,
on prend un élément n de E(x),
par hypothèse, il existe k entiers naturels b1,...,bk tel que
n = p1^b1 X p2^b2 X ... X pk^bk,
ensuite pour tout i=1..n, on fait la division euclidienne de bi par 2,
on a alors: bi = 2 X ci + ai avec ai dans {0,1},
et je te laisse finir...
ah oui:
du coup n= p1^(2c1) x p1^(a1)....pk^(2ck) x pk^(ak)
= m² x p1^(a1) x ... x pk^(ak)
c est génial ca amrche !!!
merci bien!
je dois maintenant montrer que cardinal de E(x) 2^k 
x
suffit de majorer le nombre de m possibles et le nombre de a1,.,ak ................................................le but du jeu est de prouver la divergence de la série des inverses des nombres premiers (exercice dû à Erdös)
Je l'ai déjà vu c'te exo, enfin l'idée de la démo me semble la même. Maintenant c'est plutôt vieux. Je vais essayer de retrouver mais je veux pas te donner de faux espoirs.
Citation :
suffit de majorer le nombre de m possibles et le nombre de a1,.,ak ................................................
suffit de majorer le nombre de m possibles et le nombre de a1,.,ak ................................................
tu vois comment faut faire?
Ben il te suffit de compter combein il y a des cas possible. Pour chaque ai tu as deux chois 0 ou 1ca te fait donc 2^k possibilités pour m tu as au plus racine de x choix puique m² est inférieur ou égal à x.