Niveau exercices

Une équation à trois inconnues dans Z

Posté par
Sylvieg 24-07-21 à 14:55

Bonjour,
C'est un sujet ancien qui n'est pas résolu : Resoudre dans Z
Trouver les triplets d'entiers relatifs (x,y,z) tels que
1/x + 2/y - 3/z = 1

Je ne vois pas par quel bout le prendre pour trouver toutes les solutions.
J'ai traité plusieurs cas particuliers :
a) x=1 donne (1, 2k, 3k).
b) y = 2 donne (x, 2, 3x).
c) z =-3 donne (x, -2x, -3).
d) x = y donne 6 triplets dont (12, 12, -4) et (-6, -6, -2).

Posté par re : Une équation à trois inconnues dans Z 24-07-21 à 19:36

Bonjour

A priori la question est bizarre car si on est dans $\mathbb{Z}$ , pourquoi le moins devant 3/z ? A mon avis la question se pose avant tout dans $\mathbb{N}$ .

Imod

Posté par re : Une équation à trois inconnues dans Z 24-07-21 à 20:45

Oui, je m'étais fait aussi la remarque.
Dans , on peut séparer en plusieurs cas selon les valeurs de x.
1/x + 2/y > 1 donne x = 1 ou y < 2 + 2/(x-1)

Les cas :
x = 1 (je l'ai déjà fait).
x =2 avec y = 1 ou 2 ou 3.
x 3 avec y = 1 ou 2.
A affiner sans doute.