Bonjour,

Sans calculs.

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Les fonctions sous les radicaux sont croissantes pour x1.
Il en résulte que la fonction somme des deux radicaux, à gauche du signe , est concave.
Ce qui implique que la droite y=x coupe sa courbe représentative en au plus 2 points.
Or on a vu que ces 2 points sont confondus. Il y a donc tangence et la courbe est nécessairement en dessous de la droite.

Bonjour larrech,
Je ne comprends pas cette phrase :

Citation :
Il en résulte que la fonction somme des deux radicaux, à gauche du signe , est concave.

BonjourSylvieg,

Tu as raison, je me doutais bien qu'il devait y avoir un contre exemple sournois. Je voulais utiliser le fait que la droite est tangente à la courbe, mais sans faire de calculs..
Au temps pour moi.

J'ai exploité le fait que la droite est tangente à la courbe :
En cherchant à trouver que le signe de la différence entre les deux membres était le signe d'un carré pas trop compliqué.

Bonjour Sylvieg,

merci pour ce prolongement.

La belle démonstration que tu as donnée pour le cas d'égalité démontre également l'inégalité.

salut

une solution partielle :

si alors :

(niveau 3e .. il fut un temps ... lycée de maintenant ... ??)

si alors : ... il faut travailler plus finement !!

Bonsoir carpediem,
Un petit soucis avec :
3 2, mais n'est pas inférieur à 3

ha damned !!

alors pour puisque !!

merci

Bonjour,

Une preuve :

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On remarque que



Donc on écrit le terme de gauche ainsi :



On multiplie en haut et en bas par



pour obtenir :



Il faut montrer que le terme qui multiplie x est inférieur à 1, ou de façon équivalente, que son carré est inférieur est inférieur à 1. On pose :

,

puis on élève au carré pour faire disparaître les racines. Ainsi, on soustrait numérateur et dénominateur et on veut montrer que :



On notera que X>2, et que X=(1+5)/2 implique x=(1+5)/2. On dérive cette expression pour localiser les extrema:



Connaissant le cas d'égalité (nombre d'or), on constate que X=(1+5)/2 est une racine de ce polynôme, ce qui est nécessaire puisque si l'inégalité à démontrer est vraie, le cas d'égalité (x=(1+5)/2) doit forcément correspondre à un extremum. Par ailleurs on trouve que les autres racines sont toutes inférieures à 2 donc seule (1+5)/2 donne un extremum dans le domaine d'étude. Cet extremum est un maximum puisque f(X) tend vers -oo lorsque X tend vers +oo.
Puis on calcule f((1+5)/2) qui vaut 0. On a donc montré que le numérateur était toujours plus petit que le dénominateur, et que donc :



ce qui prouve l'inégalité initiale.

Juste une précision sur mon message ci-dessus car je réalise qu'une étape n'est pas expliquée :

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Ensuite seulement on pose X²=x, puis on élève le tout au carré pour obtenir :



À partir de là on cherche à montrer que le numérateur est toujours plus petit que le dénominateur.

... et une coquille dans ma précision (décidément ...). Une parenthèse ouvrante mal placée au dénominateur du membre de droite de l'égalité (le sqrt(x) est en facteur).

Oui mais la démonstration de Sylvieg est nettement plus simple :

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Puisque on a donc

Je suis tout à fait d'accord. Et je pense que l'objectif de l'autrice en créant un nouveau fil est probablement de laisser émerger des méthodes diverses (sinon quel intérêt de créer le fil puisque sa propre démo existe (quasiment) déjà sur le même forum ?). C'est comme ça que je l'ai interprété.

Bon appétit

@thetapinch27,

je suis d'accord.

Moi aussi je suis d'accord
C'est à partir d'une solution de LittleFox que j'ai trouvé une solution plus simple pour l'équation.
Bref, plus on est de fous et plus on rit
Je donne une rédaction sans écrire d'équivalence pour l'inégalité :

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Soit et
On veut démontrer que est positif ou nul.
donc et a le même signe que .


D'où