Bonjour,
merci pour cet exercice qui n'est pas difficile avec une petite indication :
Bonjour elhor_abdelali,
je suis d'accord, il y a seulement une petite coquille dans l'avant-dernier cadre : c'est k! à la place de n! (c'est facile à deviner puisqu'il n'y a pas de n dans le premier membre).
Tout à fait jandri merci de le signaler !
Je corrige .
La famille des polynômes de Laguerre étant en fait une base hilbertienne de
,
on a par Parseval et on a aussi que la suite de polynômes
converge dans
vers la fonction
.
On peut se demander (ne serait-ce que par curiosité !) s'il existe des réels de
pour lesquels il y a convergence ponctuelle
c'est à dire pour lesquels on a,
Bonjour à vous deux,
Je suis impressionné par vos calculs mais si je peux me permettre ...
ces exercices devraient être en "supérieur " car les (relativement) modestes participants de "détente" sont largués .
Toutes mes excuses dpi
J'ai voulu juste partager avec jandri le contexte de la somme à simplifier proposée.
J'aurais peut-être dû proposer cette somme dans la rubrique "Espace Profs"
Je réponds à la dernière question posée par elhor_abdelali.
On a pour tout
.
Pour le démontrer on utilise la série génératrice :
On en déduit
Pour conclure on a aussi besoin de la formule
Grand merci jandri de poursuivre !
Une petite coquille
Je suppose que tu as effectué le changement de variable .
On obtient ainsi
et donc une série de nombres rationnels de somme la fameuse constante d'Euler-Mascheroni.
Merci elhor_abdelali pour la correction de la coquille (j'avais échangé le x et le t dans mes calculs et j'ai laissé passer la coquille en me relisant).
Pour le changement de variable j'ai même posé directement pour faire apparaitre l'expression de
comme différence de deux intégrales.
Pour on obtient effectivement une somme de série de nombres rationnels égale à
.
Il existe une autre série de nombres rationnels dont la somme est :
C'est lié à l'expression que tu as donnée dans le fil Somme de restes
@Dpi , à chacun sa détente , parfois ça monte un peu haut mais pourquoi pas , on n'est pas obligé de s'enfermer dans un cadre strict
Imod
Imod , à chacun sa détente
Jandri , merci pour l'intérêt !
Oui il y a d'autres suites de rationnels convergentes vers
y compris celle que tu as mentionnée et qui effectivement a un lien avec Somme de restes
L'intérêt de telles suites réside à mon avis dans le fait qu'elles peuvent renseigner
sur la nature (rationnelle ou irrationnelle) de (problème toujours ouvert à ma connaissance)
Mais c'est surtout la rapidité de convergence qui très souvent aide à trancher sur une telle nature
comme c'est le cas pour le nombre par exemple.
Ceci dit je ne prétends point que la preuve de l'irrationalité ou pas de doit passer par de telles suites
mais seulement qu'une telle approche reste quand même une piste envisageable.
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