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Une somme à simplifier

Posté par
elhor_abdelali Correcteur
15-07-25 à 01:50

Bonsoir

Pour n\in\mathbb N^* simplifier la somme \Large\boxed{\sum_{k=1}^n(-1)^k~C_n^k~\left(1+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{k}\right)}

Posté par
jandri Correcteur
re : Une somme à simplifier 15-07-25 à 11:19

Bonjour,

merci pour cet exercice qui n'est pas difficile avec une petite indication :

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Posté par
elhor_abdelali Correcteur
re : Une somme à simplifier 15-07-25 à 19:50

Bravo jandri

Posté par
elhor_abdelali Correcteur
re : Une somme à simplifier 15-07-25 à 20:07

Je développe :

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Posté par
elhor_abdelali Correcteur
re : Une somme à simplifier 25-07-25 à 21:20

Pour donner suite à ce topic

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Posté par
jandri Correcteur
re : Une somme à simplifier 26-07-25 à 16:51

Bonjour elhor_abdelali,

je suis d'accord, il y a seulement une petite coquille dans l'avant-dernier cadre : c'est k! à la place de n! (c'est facile à deviner puisqu'il n'y a pas de n dans le premier membre).

Posté par
elhor_abdelali Correcteur
re : Une somme à simplifier 27-07-25 à 02:26

Tout à fait jandri merci de le signaler !

Je corrige \blue\Large\boxed{\forall k\in\mathbb N^*~,~\int_0^{+\infty}t^k\ln(t)e^{-t}dt=k!\left(-\gamma+1+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{k}\right)}.


La famille des polynômes de Laguerre \Large\boxed{\left(L_n\right)_{n\in\mathbb N}} étant en fait une base hilbertienne de \Large\boxed{\mathbb L^2\left(\mathbb R_+~,~e^{-x}dx\right)},

on a par Parseval \Large\boxed{||\ln||^2=\int_0^{+\infty}\ln^2(t)e^{-t}dt=\gamma^2+\frac{\pi^2}{6}} et on a aussi que la suite de polynômes

\Large\boxed{\left(P_n=\sum_{k=0}^n<\ln|L_k>L_k\right)_{n\geqslant0}} converge dans \Large\boxed{\mathbb L^2\left(\mathbb R_+~,~e^{-x}dx\right)} vers la fonction \Large\boxed{\ln}.


On peut se demander (ne serait-ce que par curiosité !) s'il existe des réels t de ]0,+\infty[ pour lesquels il y a convergence ponctuelle

c'est à dire pour lesquels on a, \red\Large\boxed{\ln(t)=-\gamma-\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{L_n(t)}{n}}

Posté par
dpi
re : Une somme à simplifier 27-07-25 à 07:53

Bonjour à vous deux,

Je suis impressionné  par vos calculs mais  si je peux me permettre ...
ces exercices devraient être en "supérieur " car les (relativement) modestes  participants de "détente" sont  largués .

Posté par
elhor_abdelali Correcteur
re : Une somme à simplifier 27-07-25 à 14:21

Toutes mes excuses dpi

J'ai voulu juste partager avec jandri le contexte de la somme à simplifier proposée.

J'aurais peut-être dû proposer cette somme dans la rubrique "Espace Profs"

Posté par
dpi
re : Une somme à simplifier 27-07-25 à 14:49

Ta réaction est sympathique  ,je ne voulais pas vexer .
Il me semble que tu as raison .

Posté par
jandri Correcteur
re : Une somme à simplifier 27-07-25 à 19:46

Je réponds à la dernière question posée par elhor_abdelali.

On a \ln(t)=-\gamma-\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{L_n(t)}{n} pour tout t>0.

Pour le démontrer on utilise la série génératrice : 
 \\ \sum _{n=0}^{\infty }L_{n}(t)x^{n}=\dfrac {{\rm {e}}^{-xt/(1-x)}}{1-x}}

On en déduit \sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{L_n(t)}{n}=\int_0^1\left(\dfrac {{\rm {e}}^{-xt/(1-x)}}{1-x}}-1\right)\dfrac{dx}x=\int_0^{+\infty}\left({\rm {e}}^{-xu}-\dfrac1{1+u}\right)\dfrac{du}u

Pour conclure on a aussi besoin de la formule \gamma=\int_0^1\dfrac{1-e^{-x}}xdx-\int_1^{\infty}\dfrac{e^{-x}}xdx

Posté par
elhor_abdelali Correcteur
re : Une somme à simplifier 28-07-25 à 02:22

Grand merci jandri de poursuivre !


Une petite coquille \Large\boxed{\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{L_n(t)}{n}=\int_0^1\left(\frac{e^{-\frac{xt}{1-x}}}{1-x}-1\right)\frac{dx}{x}=\int_0^{+\infty}\left(e^{-\red{tu}}-\frac{1}{1+u}\right)\frac{du}{u}}

Je suppose que tu as effectué le changement de variable \Large\boxed{u=\frac{x}{1-x}}.


On obtient ainsi \blue\Large\boxed{\gamma=-\sum_{n=2}^{+\infty}\frac{L_n(1)}{n}~~,~~L_n(1)=\sum_{k=0}^n\frac{(-1)^kC_n^k}{k!}}


et donc une série de nombres rationnels de somme la fameuse constante d'Euler-Mascheroni.

Posté par
jandri Correcteur
re : Une somme à simplifier 28-07-25 à 10:55

Merci elhor_abdelali pour la correction de la coquille (j'avais échangé le x et le t dans mes calculs et j'ai laissé passer la coquille en me relisant).
Pour le changement de variable j'ai même posé directement u=\dfrac{tx}{1-x} pour faire apparaitre l'expression de \gamma comme différence de deux intégrales.

Pour t=1 on obtient effectivement une somme de série de nombres rationnels égale à \gamma.
Il existe une autre série de nombres rationnels dont la somme est \gamma :

\gamma=1-\sum_{n=1}^{\infty}\sum_{k=2^{n-1}}^{2^n-1}\dfrac n{(2k+1)(2k+2)}

C'est lié à l'expression que tu as donnée dans le fil Somme de restes

Posté par
Imod
re : Une somme à simplifier 28-07-25 à 11:27

@Dpi , à chacun sa détente , parfois ça monte un peu haut mais pourquoi pas , on n'est pas obligé de s'enfermer dans un cadre strict
Imod

Posté par
elhor_abdelali Correcteur
re : Une somme à simplifier 28-07-25 à 20:23

Imod , à chacun sa détente

Jandri , merci pour l'intérêt !

Oui il y a d'autres suites de rationnels convergentes vers \gamma

y compris celle que tu as mentionnée et qui effectivement a un lien avec Somme de restes

L'intérêt de telles suites réside à mon avis dans le fait qu'elles peuvent renseigner

sur la nature (rationnelle ou irrationnelle) de \gamma (problème toujours ouvert à ma connaissance)

Mais c'est surtout la rapidité de convergence qui très souvent aide à trancher sur une telle nature

comme c'est le cas pour le nombre e par exemple.

Ceci dit je ne prétends point que la preuve de l'irrationalité ou pas de \gamma doit passer par de telles suites

mais seulement qu'une telle approche reste quand même une piste envisageable.



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