Bonsoir,

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. Ainsi à la limite tend vers 1.

bonjour dagwa

>>

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c'est super! bravo!

(moi je sais pas faire ça > expliciter une suite)

il n'y aurait pas une autre façon de démontrer la convergence ?

J'ai quelques autres idées pour répondre au problème. Je vais t'en exposer une. Je convie tout lecteur de ce message à venir participer.

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Une idée m'est venue en regardant ton dessin. A un certain rang (il n'est pas difficile d'y arriver sans outil informatique ou autre aide). A partir de ce rang, par récurrence, . On peut également montrer de la même façon . Ensuite . La limite de en découle.

...Alors je participe:

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dagwa :
Comment justifies tu ton u(n)/n ---> 0 ?

Pour Yzz,

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je montre qu'à partir d'un certain rang n . De plus donc . Le résultat suit. De ton côté, as-tu une proposition pour montrer que cette suite tend vers 1 ?

dagwa :
Effectivement. J'avais pas connecté avec le u(n)2. (Gros coup de fatigue...)
J'ai pas d'idées, mais je compte bien essayer de comprendre ta démarche précédente (ta première réponse, en fait !)

Bonjour,

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On montre d'abord que la suite est bornée... (je sais pas si c'est utile mais autant le faire, surtout que ça raccroche à la définition)
Par récurrence, pour tout n > 5, la suite est minorée par 0.
Par récurrence, pour tout n > 1, la suite est majorée par 2.

Ensuite, on utilise le théorème du point fixe et on pose Un = Un/n + 1 ; donc Un - Un/n = 1. Ainsi, Un = 1

Ainsi, la suite converge vers 1.

merci aux participants..!

c'était bien simple en fait!..

à la prochaine..

lucas>>

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Sauf que là, tu as plutôt montrer que si la suite converge, alors elle converge nécessairement vers 1 (le fait que la suite est bornée ne justifie en rien qu'elle converge, il y a encore un peu de travail).

Bonjour à tous,

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Bon je n'ai pas trop le courage de chercher et d'ailleurs je ne sais même pas si je trouverais mais si vous arrivez à montrer que cette suite décroit à partir d'un certain rang alors le tour est joué puisqu'il est facile de montrer qu'elle est minorée et que sa seule limite possible est 1 (d'ailleurs pour le montrer il n'y a pas besoin d'invoquer des choses intellectuelles).

numero10 bonsoir

  je voulais blanquer!

mdr_non

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Pourquoi ne pas utiliser le théorème du point fixe ?

lucas951

Une suite récurrente convergente

Ta fonction, en fait, c'est ta relation de récurrence. Comme tu le dis bien, Un+1 = f(Un) ; c'est-à-dire f(Un) = Un/n + 1

Oui, je me suis dit "pourquoi j'ai montré qu'elle était bornée ?" quelques minutes après avoir posté le message. J'ai tout simplement pensé sur le coup "toute suite bornée converge" et non pas "toute suite qui converge est bornée". Erreur élémentaire de ma part.

"toute suite bornée converge" effectivement un bon contre exemple est:

Pour tout n, u_n=(-1)^n

Mais il y a un autre problème penses tu que tu devrais arriver à:

u_n=1 ?

Bon je sais il n'y a pas de quantificateurs, mais elle n'a pas vraiment l'air constante cette suite.

Non, elle ne l'est pas.
Mais 1 est la solution de l'équation, donc la limite est égale à 1.
Après, ma rédaction laisse à désirer, mais ça, ça ne changera jamais

Oui effectivement , parce que pour le coup c'est moyen si tu cherches une limite donne lui un nom car bon finir par u_n=1 qui en plus ne dépend pas de n (bon ça peut arriver) ça peut choquer.

Bon rien de bien grave.

C'est vrai qu'il aurait été plus propre de ma part de dire que ...

Bonjour,

la méthode proposée par Lucas951 n'est pas bonne. Si l'on décide de poser f(U(n))=U(n)/n + 1 , que vaut f(x) ?

c'est bien la question que je me suis posé:

Une suite récurrente convergente
et
Une suite récurrente convergente

deux variables, U_n  et  n ...

Non, qu'une seule variable ( Un n'est pas une variable). Par contre, U(n+1) ne dépend pas que de U(n), c'est là le problème et ce qui empêche d'utiliser le théorème du point fixe comme le fait Lucas. Ca ne veut pas dire qu'on ne peut pas passer à la limite dans l'égalité de récurrence, il faut juste s'assurer au préalable que U(n) est bornée (pour pouvoir être sûr de dire que U(n)/n tend vers 0)

Salut à tous!

Il y a confusion... Ce N'EST PAS une suite de la forme ...

Néanmoins, si elle est bornée, alors tend vers 0 et alors tend vers 1. Donc la seule limite possible est 1 et il suffit de savoir qu'elle est bornée... ce que vous avez tous prouvé!

Salut Camélia

bonjour Camélia

^^ et bien ok .. merci!

Bonjour,

je peux dire un secret , je ne sais pas ce que c'est le théorème du point fixe c'est pour ça je n'ai rien dit. Du moins j'ai jamais dû lui donner de nom.

Tu fais bien de le souligner. Parmi tous les théorèmes qui portent le nom de "théorème du point fixe", celui dont il est fait question dans ce topic ne porte justement pas ce nom !

Sauf que, dans le cas échéant, on sait que n tend vers plus l'infini.
Comme j'ai montré que la suite était bornée (du moins, à partir de n=6), je pense qu'il est possible de dire que Un/n = 0 ; ou du moins, ça ne me paraît pas aberrant.

Sinon, je note pour le "théorème du point fixe" qui n'en est pas un

Salut Lucas,

pour moi, il y a de l'idée mais ce que tu avances est et a été peu clair :

Déjà je cite ton dernier message :

- "j'ai montré que la suite était bornée (du moins, à partir de n=6)" . Une suite bornée à partir d'un certain rang est bornée tout court !

- " il est possible de dire que U(n)/n = 0". Non ! ça tend vers 0, mais ce n'est pas égal à 0. J'aurais voulu croire que c'est un oubli de ta part, mais j'ai lu plus haut :
"Ensuite, on utilise le théorème du point fixe et on pose Un = Un/n + 1 ; donc Un - Un/n = 1. Ainsi, Un = 1".

Là c'est pareil, sans parler du fait qu'on ne puisse pas utiliser le théorème qui ne s'appelle pas du point fixe, dire ensuite que Un=Un/n + 1 je ne vois pas trop d'où ça sort, et le reste non plus, surtout que tu conclus que Un = 1 donc constante égal à un ce qui est bien entendu faux.

D'accord...
Si tu préfères, la limite de Un/n lorsque n tend vers plus l'infini tend vers 0. De même, je parlais en tant que limite (n tend vers plus l'infini) mais ça fait "lourd".
Je suis parfaitement d'accord sur le fait que c'était peu clair (je ne suis jamais arrivé à être clair, à exprimer de façon cohérente la résolution d'un problème) mais je ne comprends pas pourquoi on ne peut pas utiliser le théorème que j'ai utilisé dans ce cas-ci...

De quel théorème parles-tu ?

Pour moi, tu faisais référence au théorème qui dit, je cite :

Je parle bien de ce théorème (nommé "théorème du point fixe" dans mon cours).
Si l'on pose fn(x) = x/n + 1 ; je ne vois pas en quoi Un+1 fn(Un) ?
Etant donné que la limite de la suite est, si elle converge, la valeur de Un telle que Un = fn(Un). Sachant que n tend vers plus l'infini, on n'a pas pas ? (si l'écriture n'est pas abusive)

_{Content de te parler, sinon}

Il y a une différence entre U(n+1)=f(U(n)) = U(n+1)=fn(Un) ! Dans le théorème, jamais il n'est dit que f a le droit de dépendre de n !

"différence entre U(n+1)=f(U(n)) ET U(n+1)=f(U(n))"

Si je voulais être sarcastique, je dirais que jamais il n'est dit que f n'a pas le droit de dépendre de n...
Mais je comprends la chose, merci

Ce n'est pas dit explicitement, mais le fait qu'on introduise f comme une fonction continue de R dans R implique qu'elle ne dépende que d'une variable.

D'accord. Merci d'avoir remis de l'ordre dans mes idées (et ma tête), alors