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une transformation à décomposer

Posté par amethyste 15-03-18 à 03:36

Bonjour

un truc sympa
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Soit $(ABC)$ un un repère barycentrique du plan affine usuel et selon
$A=(1:0:0)$
$B=(0:1:0)$
$C=(0:0:1)$
posons $a=BC$ , $b=AC$ , $c=AB$
$\alpha$ l'angle géométrique issu de $A$ du triangle $ABC$
$\beta$ l'angle  géométrique issu de $B$ du triangle $ABC$
$\gamma$ l'angle  géométrique issu de $C$ du triangle $ABC$

pour tout point $P$ du plan on notera $(i_P:j_P:k_P)$ ses coordonnées barycentrique normalisées par rapport à $(ABC)$

_________
Soit la transformation du plan que l'on notera $\mathcal {T}$ définie selon :

Soit un point quelconque $P$ du plan alors selon   $Q=\mathcal {T}(P)$

$i_Q=0$

$j_Q=1-cos^2\left(\beta\right)+\frac {cos\left(\alpha\right)cos\left(\beta\right)}{2ab}.$
$\left(\left(c.j_P+b.k_P\right)^2-\left(a.j_P+b.i_P\right)^2-b^2+2.b.c.j_P.k_P.\left( cos\left(\alpha\right)-1\right)-2.a.b.i_P.j_P.\left( cos\left(\gamma\right)-1\right) \right)$

$k_Q=1-j_Q$

on remarquera que $D$ est l'unique point fixe de $\mathcal {T}$ et selon
$i_D=0$
$j_D= \frac {1-cos^2\left(\beta\right)}{1+cos\left(\alpha\right)cos\left(\beta\right)cos\left(\gamma\right)}$
$k_D= 1-jD$
et donc   $D=\mathcal {T}(D)$ et de plus ce point est unique

_________
question

trouver trois transformations du plan $\mathcal {P}$ , $\mathcal {Q}$ , $\mathcal {R}$ et distinctes deux à deux telles que

$\mathcal {T}=\mathcal {R}o\mathcal {Q}o\mathcal {P}$

Posté par re : une transformation à décomposer 15-03-18 à 10:08

ça m'étonne que personne ne trouve...

Posté par re : une transformation à décomposer 15-03-18 à 10:20

Bonjour amethyste.

amethyste @ 15-03-2018 à 10:08

ça m'étonne que personne ne trouve...

Et moi ça m'étonne que t'ai pas déjà résolu ça :

Les 5 travaux des nombres premiers (5)

Moins de gaz, laisse nous prendre notre kawa !

Posté par re : une transformation à décomposer 15-03-18 à 12:36

bon alors un bon son qui aide entre deux problèmes de géométrie
Näd Mika - Not Allowed

Posté par re : une transformation à décomposer 16-03-18 à 14:36

Bonjour
donc à la question
trouver trois transformations du plan $\mathcal {P}$ , $\mathcal {Q}$ , $\mathcal {R}$ et distinctes deux à deux telles que

$\mathcal {T}=\mathcal {R}o\mathcal {Q}o\mathcal {P}$

on peut tout simplement poser(et vérifier)

$\mathcal {P}$ donne la projection orthogonale d'un point sur la droite $(AC)$

$\mathcal {Q}$ donne la projection orthogonale d'un point sur la droite $(AB)$

$\mathcal {R}$ donne la projection orthogonale d'un point sur la droite $(BC)$

et donc $\mathcal {T}(P)=\mathcal {R}\left(\mathcal {Q}\left(\mathcal {P}\left(P\right)\right)\right)$