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Urgence a rendre le 5 janvier 2004, ex sur les dérivation
Deux sources lumineuses sont placées aux extrémités d'un segment
[ab] de longueur 5m.
La source placé eb A posède une puissancede 8U et celle placée en B
une puissance de 27U.
Un point M du segment [ab] reçoit un éclairement proportionnel à la
puissance de la lampe et
inversement proportionnel au caré de la distance qui le sépar de la lampe.
1° Om pose AM= x
Montrer que l' éclairement du point M est proportionnel à :
f(x) = 8 \ x² + 27 \ (5-x)²
2° 2tudier les varitions de la fonction f sur l'intervalle ] 0
; 5 [ .
en déduire la position du point M pour que son éclairement soit
optimal. 
Un peu tard pour penser à son devoir, non ?
1°)
AB = 5
AM = x
BM = AB - AM = 5 - x
-----
L'éclairement en M dû à la source placée en A = 8/x²
L'éclairement en M dû à la source placée en B = 27/(5-x)²
L'éclairement total f(x) en M = (8/x²) + [27/(5-x)²]
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2°)
f(x) = (8/x²) + [27/(5-x)²]
f '(x) = -(16/x³) + 27.[2(5-x) /(5-x)^4]
f '(x) = -(16/x³) + [54 /(5-x)³]
f '(x) = [-16(5-x)³ + 54x³]/[x³(5-x)³]
f '(x) = (-16.(125 - 75x + 15x² - x³) + 54x³)/[x³(5-x)³]
f '(x) = (70x³ - 240x² + 1200x - 2000)/[x³(5-x)³]
x³(5-x)³ > 0 dans ]0 ; 5[ -> f '(x) a le signe de (70x³ - 240x² + 1200x
- 2000)
f '(x) = 0 pour x = 2.
f '(x) < 0 pour x dans ]0 ; 2[ -> f(x) décroissante.
f '(x) = 0 pour x = 2
f '(x) > 0 pour x dans ]2 ; 5[ -> f(x) croissante.
Il y a un minimum de f(x) pour x = 2. (et donc l'éclairement est
minimum pour |AM| = 2m)
lim(x-> 0+) f(x) = oo
lim(x-> 5-) f(x) = oo
C'est quoi l'éclairement optimal ?
Si c'est un max il faut approcher le point M le plus près possible
d'une des sources.
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Sauf distraction.
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