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Utilisation du théorème de Pythagore : comment rédiger ?
Bonjour,
petite question au sujet du théorème de Pythagore, lorsqu'on l'utilise pour démontrer qu'un triangle n'est pas rectangle.
Je voulais donc savoir comment présenter ça de manière rigoureuse et efficace aux élèves ?
En effet, en 4ème, on apprend ces 2 théorèmes, mais je dirais plutôt propriétés (j'abrège leurs formulations) :
Théorème de Pythagore : "Si ABC rectangle en C, alors AC²+CB²=AB²".
Réciproque su TdP : "Si AC²+CB²=AB², alors ABC rectangle en C".
Le problème apparait lorsqu'on l'utilise pour démontrer qu'un triangle n'est pas rectangle. On distingue deux méthodes :
Méthode 1 : par l'absurde, en supposant qu'il est rectangle, on montre que l'égalité ne marche pas, et donc il n'est pas rectangle.
Méthode 2 : on constate que l'égalité ne fonctionne pas, puis on conclut par "d'après la contraposée du théorème de Pythagore, ..."
Mais que ce soit la méthode 1 ou la 2, je doute fortement que beaucoup d'élèves comprennent ce qu'on fait vraiment.
Une démonstration par l'absurde ? Je serais curieux de savoir combien d'élèves de TS en comprennent bien le principe et savent en faire une de manière rigoureuse.
Utiliser la contraposée ? Là aussi, je me demande si beaucoup font la différence entre une propriété et sa réciproque ! Alors la contraposée ... !
Bref, quel est votre avis sur la question ? Avez-vous une préférence ? Utilisez-vous donc une méthode plus compréhensible tout en étant rigoureuse ?
Parce qu'à partir d'un certain niveau, il faut avouer que le théorème de Pythagore s'énonce :
"AC²+CB²=AB² <==> ABC rectangle en C".
Et à partir de cette formulation, on ne se casse plus la tête : ce TdP contient le sens direct, l réciproque, et la contraposée ! 
Bonjour
Personnelement en 3ème notre prof nous imposait une rédaction assez particulière pour chaque question mais globalement on utilisait un raisonnement par contraposée.
En clair on faisait comme ça:
On donnait les hypothèses.
On énonçait la réciproque.
On montrait que l'égalité n'était pas vérifiée et on concluait.
On donnait les hypothèses.
On énonçait la réciproque.
On montrait que l'égalité n'était pas vérifiée et on concluait.
Oui, mais si on fait ça, c'est faux ! Car ce n'est pas la réciproque qui prouve que le triangle n'est pas rectangle.
jamo > On peut peut-être expliquer la contraposée aux élèves avec des phrases :
« A implique B » ("s'il pleut, alors le sol est mouillé")
est
« non-B implique non-A ». ("si le sol n'est pas mouillé, alors il ne pleut pas")
Oui, on peut toujours, mais ça demanderait un travail assez long, et dint finalement peu retiendraient ... et peu aussi qui verraient le lien avec le théorème ensuite.
Ne pas oublier qu'il faut que "l'élève moyen" puisse comprendre, et pas uniquement les 4 ou 5 qui sont trés forts.
Je ne pense pas que la question que je pose à une réponse, donc ce qui m'embete, c'est qu'on fait utiliser un schéma de raisonnemment que tout le monde ne comprend trop.
Ne pas oublier qu'il faut que "l'élève moyen" puisse comprendre, et pas uniquement les 4 ou 5 qui sont trés forts.
Oui bon m'enfin, sans vouloir digresser, faut pas non plus prendre l'élève moyen pour un crétin incapable de comprendre un raisonnement par contraposée!
Il n'y a nullement besoin d'utiliser tout le jargon de "contraposée" "absurde" et tout ce qui va avec, mais l'idée est accessible par tout le monde. Si "A==>B" et qu'au final on a pas B c'est qu'au début on avait pas A non plus. Ya pas besoin d'avoir fait math sup pour comprendre ça.
En 3ème j'étais loin d'être dans une classe de sourdoués, pour autant, à part ceux qui avaient de réelles difficultés à peu près partout, tout le monde arrivait à dire:
On sait que:
AB=3; BC=4; AC=4,5.
Théorème
Si un triangle est rectangle alors le carré de la longueur du plus grand côté est égale à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés.
(Je vous jure qu'on était obligé d'écrire ça à chaque fois qu'on utilisait ledit théorème)
Conclusion
AB²+BC²=25
AC² n'est pas égale à 25.
Donc ABC n'est pas rectangle.
Oui bon m'enfin, sans vouloir digresser, faut pas non plus prendre l'élève moyen pour un crétin incapable de comprendre un raisonnement par contraposée!
Je ne prends personne pour des crétins, je constate juste la réalité !
J'ai lu derniérement un article où l'auteur avait fait un sondage dans une classe de 1S. La question était : "qu'est ce que la proportionnalité ?"
Parmi les réponses, une bonne moitié de complétement faux, un quart de trés approximatif, ... bref, seulement 3 ou 4 élèves saveient définir cette notion trés simple.
Je maintiens que les notions de sens direct, réciproque, équivalence et contraposée ne sont vraiment maitrisées que par assez peu d'élèves.
Je ne dis pas que ce sont des crétins, c'est juste que ce n'est pas si évident pour le commun des mortels.
Ne pas oublier que sur l'ile des maths, beaucoup de membres ne font pas partie du commun des mortels, mais de ceux qui "comprennent les maths" !
Je partageais seulement mon expérience de la 3ème. A mon grand regret ma classe n'est pas spécialement représentatif de la réalité. Dommage...
Bonjour
Quand j'avais des troisièmes, je leur expliquais : on n'a pas AB² + BC² = AC², donc le triangle n'est pas rectangle en B, car s'il l'était, le th de P. donnerait l'égalité.
pas de grands mots, du bon sens, rien que du bon sens : ils en ont tous reçu une dose à la naissance, même si trop souvent ils oublient d'en faire usage 
moi je pense que si ton problème c'est qu'on doit pas dépasser trop la 4ème avec l'equivalence et tout, pourquoi être si rigoureux. On peut pas tout avoir.
Notre prof nous faisait rédiger ça :
AC² = 3² = 9
AB² = 4² = 16
BC² = 6² = 36
AC² + AB² = 9 + 16 = 25
AC² + AB² 
BC²
Donc d'après la réciproque de Pythagore, le triangle ABC n'est pas rectangle.
mais oui, mais c'est pas la réciproque qu'il faut utiliser c'est la contraposé, c'est justement ce qu'on dit.
dommage, ce n'est pas la réciproque ! la réciproque ne sert que pour montrer que des triangles sont rectangles
bonsoir
on peut utiliser le cas d'égalité des triangles qui ont les trois côté égaux chacun à chacun
soit le triangle ABC où BC² = AB² + AC²
soit le triangle A'B'C' rectangle en A, dont A'B' = AB et A'C' = AC
BC³ = A'B'² + A'C'² = AB² + AC² = BC²
les triangles ABC et A'B'C' ont les trois côtés égaux chacun à chacun et sont égaux entre eux; leurs angles en A et en A', opposés respectivement à leurs côtés égaux BC et B'C', sont égaux, c'est-à-dire droits
donc le triangle ABC est rectangle en A
bonsoir Infophile
la contraposée d'une proposition du type si A alors B n'est autre que sa redite; la contraposée est vraie ou fausse selon que la proposition originale est vraie ou fausse
par contre, on ne peut rien conclure a priori de la réciproque si B alors A
proposition originale : s'il pleut, le sol est mouillé
contraposée : si le sol n'est pas mouillé, c'est qu'il ne pleut pas
réciproque : si le sol est mouillé, c'est qu'il pleut
cela peut ne pas être vrai : le sol peut être mouillé du fait d'un arrosage
salut
si on note P et Q les propositions "le triangle ABC est rectangle en A" et "BC²=AB² + AC²" alors P
Q donc 
PQ donc
pour le sens direct : <P donc d'après le T de P Q> puis je remplace et calcule la longueur manquante et je conclus
pour la réciproque je dois comparer : je précise quel est le plus grand côté et je calcule son carré, je calcule la somme des carrés des 2 autres côtés, je compare <et d'après la R du T de P> je comclus (P ou P suivant que j'ai eu Q ou Q)(en précisant toujours où)
REM: ce qui est entre <> est écrit tel quel;
je précise quel est le plus grand côté car c'est le seul client potentiel pour hypotènuse (car l'hypotènuse est le plus grand côté d'un triangle rectangle(implicite))
j'accorde beaucoup d'importance à la rédaction pour essayer de leur montrer l'articulation d'un raisonnement (aussi sommaire soit-il)en particulier en utilisant les conjonctions de coordination donc, et, ou, or, ni mais pas le car car on "doit" toujours justifier avant de conclure, ainsi que le si..alors
quant à la rédaction "si le triangle ABC est rectangle alors .... or..." pour répondre à l'injonction "démontrer que le triangle... est rectangle" je reponds "on ne vous demande pas de faire une hypothèse mais de démontrer une proposition" ou pour répondre à la question "le triangle .. est-il rcetangle?" je réponds "si le triangle .. est rectangle alors il est rectangle donc il est rectangle" ce qui me permet de répondre à la question, d'avoir raison (si le triangle est effectivement rectangle) et de n'avoir pas travailler
enfin tout ça pour dire que cette rédaction est à proscrire puisque vous avez la réciproque!!!!!!!
bonjour
une fois qu'on a démontré le théorème de Pythagore, on n'a pas encore acquis le fait que sa réciproque soit vraie !
à ce stade, on peut très bien supposer que si le carré d'un côté est la somme des carrés des deux autres, l'angle qui lui est opposé est aigu ou obtus
les exercices qui utilisent le théorème de Pythagore et sa réciproque sous-entendent que les deux ont été établis pour vrais
salut
tout à fait d'accord mais à ce moment là tu n'utilises que la réciproque de la même façon car tu as Q
P ou QP puisqu'elle sont équivalentes
bonjour Carpediem
QP et QP ne sont pas équivalentes
les paires d'implications équivalentes sont
PQ et QP
et
QP et PQ
d'ailleurs quand on donne la réciproque (sans la nommer et déconnecter du sens direct) on en oublie la moitié, une formulation complète serait: si Q alors P et si Q alors P
puisque on construit différents triangles on vérifie l'égalité ou non et on vérifie l'angle droit ou non puis on énonce la réciproque
dsl j'avais pas vu ton post avant celui là (enfin le précédent) mais j'ai raison car P et Q sont équivalentes (si elles ne l'étaiant tu aurais évidamment raison)
le "elles" du post de 17h06 c'est P et Q
effectivement QP et QP ne sont pas équivalentes mais ce que je voulais dire c'est que (P
Q)(QP) car PQ ainsi qu'en remplaçant P et Q par leur négation
c'est se qu'on appelle des métamathématiques 
mais pour en revenir à ton problème de rédaction je pense que le pb est l'implicite du fait que l'on ne dit que la moitié des choses: quand on énonce le T de P on dit tj: si P alors Q mais on ne dit pas "et si P alors Q" qui est sous entendu et idem pour la réciproque car on (le prof) sait qu'il y a équivalence
Personnelement, je trouve que le post de lafol (que je salue) répond entièrement au problème.
Encore une fois, inutile de leur expliquer le raisonnement proprement dit. Leur bon sens suffit amplement.
rebonjour Carpediem
"si P alors Q" ne sous-entend pas "si non P alors non Q", mais bien "si non Q alors non P"
par exemple dans l'univers des entiers supérieurs à 2
P : "le nombre est premier"
Q : "le nombre se termine par un chiffre impair"
"si P alors Q" se traduit par : "tout nombre premier se termine par un nombre impair"
"si non P alors non Q" se traduit par : "tout nombre composé se termine par un nombre pair", proposition fausse, montrant qu'une réciproque n'est pas toujours vraie
il ne faut pas laisser les élèves s'habituer à ce genre de sophisme, qui peut avoir des conséquences graves (préjugés, impossibilité d'envisager des solutions sortant du modèle - ici ne pas envisager autre chose que P pour aboutir à Q - etc)
Bonjour,
Je me suis longtemps posé cette question. Comment etre le plus rigoureux possible tout en restant comprehensible pour les élèves...et en accord avec le programme. Le raisonnement par l'absurde ou la contraposée ne doit pas etre cité dans une copie de 4iéme ou de 3iéme.
Pour ma part, je contourne le probléme de la façon suivante:
- on calcul AB²
- on calcul AC²+BC²
- Ces deux résultats ne sont pas égaux ; l'inégalité de Pythagore n'est pas vérifiée donc le triangle n'est pas un triangle rectangle
Ainsi je ne parle ni de théorème, ni de réciproque, ni de contraposée (ou tout autre nom barbare à leurs oreilles).
J'insiste beaucoup sur le pourquoi de cette rédaction et sur l'erreur que l'on commettrait en citant le théorème ou sa réciproque. Les meilleurs en saisissent le fond du probléme ; pour les plus faibles, la rédaction exigées n'est pas trop complexe.
Ca rejoint ce que disais lafol: 
Utilisation du théorème de Pythagore : comment rédiger ?.
salut.j'ai deja rencontré ce genre de petit "soucis" de rédaction.alors pour ma part voila comment je ferais.
par exemple si AB=3 BC=4 AC=6.
" ON a AC^2=36
si le triangle ABC etait rectangle en B on aurait d apres le théoreme de pythagore:AB^2+BC^2=36.
or AB^2+BC^2=9+16=25
donc ABC n'est pas rectangle en B."
voila.bonne journée a tous
Bonjour
La question de Jamo est une VRAIE question. Elle met en lumière d'où vient, pour les élèves, la légitimité (et donc la compréhension) de la démonstration. D'après moi, elle n'est pas localisée au même endroit que ce que pensent (ou espèrent) les professeurs.
Pour répondre à Schumi,
faut pas non plus prendre l'élève moyen pour un crétin incapable de comprendre un raisonnement par contraposée!
C'est cette expérience personnelle qui me fait toujours hésiter à dire que mes élèves ont compris.
Pour Pythagore, il y a une espèce de volonté de rigueur mathématique aigüe et massive (deux théorèmes différents, plus les contraposées...) alors que les élèves viennent à peine de découvrir ce qu'est une démonstration! Ca me semble excessif.
Pour moi, Pythagore est intéressant du point de vue de l'évolution (selon les classes) de la méthode de justification du triangle rectangle:
- à vue
- à l'equerre
- au symbole (le carré)
- par un calcul, qui jugera de manière définitive , surpassant les apparences et l'equerre.
Alors, je ne sais pas si c'est une question de génération, mais je suis d'accord avec lafol: c'est "le bon sens" qui doit fonctionner, car c'est le moteur de tout raisonnement mathématique.
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