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[Vacances Sup] ~~ Borne inférieure d'une intégrale
Bonjour à tous 
Un premier exercice de révision pour les élèves sortant de sup et rentrant en spé.
On définit
Calculer
de deux manières :
1. En introduisant un produit scalaire ;
2. En étudiant une fonction de deux variables.
Merci de blanker, pour que tous ceux qui le désirent puissent participer.
Bonne chance
Fractal
Salut tout le monde
Fréro >>
Wouh! Là je suis époustouflé! Comment est-ce-qu'on peut aligner autant de lignes de calculs sans avoir mal à la tête.
Généralement, quand je vois que ça va dépasser disons 6-7 lignes je passe à la question d'après ...
Salut Kev ! 
Bon, je vais commencer par la matrice hessienne, les notations de Monge ne sont rien qu'une interprétation du déterminant et de la trace.
Je vais me contenter de 2 variables x et y.
C'est la matrice de la forme :
Bon d'abord, on exprime cette matrice dans le point critique qu'on veut voir si c'est un max ou un min ou un point de selle.
Après: tu sais bien que le déterminant d'une matrice c'est le produit de ses valeurs propres, et la trace c'est la somme des valeurs propres.
Donc, on cherche le signe du déterminant et la trace, et on distingue les cas suivants:
cela veut dire que les vap sont de signes différents et donc c'est un point selle.
cela veut dire que les vap sont du même signe. Alors on regarde la trace pour vois s'ils sont positifs ou négatifs.
* la trace positive, donc elles sont de signe positif, ainsi c'est un minimum relatif
* la trace négative, donc elles sont de signe négatif, ainsi c'est un maximum relatif
, on ne peut rien dire et on doit voir le développement limités à des ordres supérieures.
EXPLICATION:
Le développement limité d'une fonction à deux variables f à l'ordre 2 au voisinage d'un point critique (le gradient est donc cul) est:
ainsi le signe de est celui de
et ce signe de ce machin là c'est le signe de la matrice c'est à dire le signe de ses vap, pourquoi?
On dit qu'une matrice symétrique S est définie positive ssi pour tout vecteur colonne X;
Une propriété de ces matrices, c'est qu'une matrice symétrique est positive ssi ses vap sont positifs, c'est cette propriété qu'on a utilisée...
J'espère avoir été clair ... 
Merci, très clair !
Mais quelques questions :
- Qu'est-ce qu'un point de selle ?
Après: tu sais bien que le déterminant d'une matrice c'est le produit de ses valeurs propres, et la trace c'est la somme des valeurs propres.
As-tu une démo ? Parce que les valeurs ne sont pas au programme de sup chez nous.
Une propriété de ces matrices, c'est qu'une matrice symétrique est positive ssi ses vap sont positifs, c'est cette propriété qu'on a utilisée...
Une démo aussi ?
(le gradient est donc cul)
Salut les gars
Kéké > Parce qu'on a cherché une base dans laquelle la matrice s'écrive (
valeurs propres)
et vu que la trace est invariante par changement de base..
Ensuite pour le déterminant on l'a facilement aussi non ?
Bêtises ? 
Matrice trigonalisable
gui_tou >> Je crois que tu n'es pas le seul à croire qu'on met qui on veut sur la diagonale.
oulà ! je vous assure que c'est une faut de frappe !
As-tu une démo ? Parce que les valeurs ne sont pas au programme de sup chez nous.
Bon pour le cas matrice 2x2, c'est très clair:
Soit
Le polynôme caractéristique de A est
Or, tu sais bien que les valeurs propres sont les racines du polynôme caractéristiques, donc en utilisant les relations de Newton des coefficients-racines, on a bien tr(A) la somme des vap, et det(A) leur produit.
Pour le cas général, on montre que le polynôme caractéristique s'écrit sous la forme:
Pour ton deuxième point :
Considérons un endomorphisme symétrique positif f (c-a-d sa matrice est symétrique positive),
On a
on a:
Or f est positif, c-à-d
Ainsi
kéké >> On le voit quand on démontre que "poly caractéristique scindé ==> trigonalisable". Les valeurs propres se mettent bien sagement sur la diagonale.
Guitou>> Avant de dire ça, il faut montrer que ta matrice est diagonalisable (ici il n'y a pas de problème puisque toute matrice symétrique réelle est diagonalisable, ça s'appelle le théorème spectral si je ne m'abuse), dons ce cas oui, la trace est bien une invariante de similitude.
Soit
On cherche et
(diagonale) tq
On suppose A diagonalisable
On suppose où D est diagonale avec des
sur la diagonale.
Soit tq
où
base de
.
Soit une nouvelle base de
tq P soit la matrice de passage de
vers
Donc si on traduit D, on a
(of course
)
non injectif
Les valeurs propres de A sont les lambda_i qu'on retrouve sur la diagonale de D.
Guillaume > pour m'excuser je vais chercher ton défi
monrow ->
Cliquez pour afficherKévin, Guitou, Ayoub -> Ya pas de problème pour le cours sur mon topic
Ça m'apprend des choses, en plus ^^
Mais je veux bien que vous cherchiez mon défi
:P
Fractal
Oui Ayoub, je l'ai rajouté après ^^
M'enfin je vois que je n'ai que de petits outils face à vos connaissances et théorèmes
Guillaume > une tite question : comment montre-t-on la convergence de l'intégrale impropre ?
Kéké > C'est comme ça que le prof nous a introduit les valeurs propres le dernier jour, même si on repasse par un endomorphisme c'est assez compréhensible Bonne bronzette!
Guitou ->
comment montre-t-on la convergence de l'intégrale impropre ?
Tu la calcules, et tu passes à la limite, il n'y a pas d'astuce particulière
Fractal
Oui
J'ai cru que c'était mal embarqué, mais j'ai confondu avec le cas où on a exp(-t²) ^^
Mon prochain post sera une réponse à la première question 
J'ai cru que c'était mal embarqué, mais j'ai confondu avec le cas où on a exp(-t²)
ça convergerait encore plus vite ...
on n'a pas vraiment besoin de calculer l'intégrale, c'est un peu bourrin, il suffit de regarder le comportement asymptotique de P(x)exp(-x) et de voir que ceci converge très rapidement en l'infini, quel que soit le degré de P d'ailleurs...
![[Vacances Sup] ~~ Borne inférieure d\'une intégrale](img/forum_img/0219/forum_219382_1.jpg)
otto -> Toutafé, mais vu qu'au final il faudra de toutes façons calculer l'infimum, autant calculer l'intégrale
Guitou -> 
Maintenant, la deuxième méthode
Fractal
Bon personnellement je préfère de l'algèbre linéaire ...
Oki, c'est justement ce que j'allais mettre
Fractal
rien ne dit que l'inf est un minimum atteint en un point critique de f(x,y) c'est là la difficulté
tu as une fonction continue qui admet des dérivées partielles en tout point et qui est positive.
Il me semble que c'est suffisant, non ?
oups j'aurais du blanker, j'ai perdu l'habitude, désolé
De toute facon, rares sont ceux qui veulent répondre honnetement sans passer tous les posts précédents ...
Salut otto
Si on avait eu du exp(-t²) on serait bien embêtés pour calculer les intégrales, non ?
Oui oui de l'algèbre linéaire facile ce serait sympa
tu as une fonction continue qui admet des dérivées partielles en tout point et qui est positive.
Il me semble que c'est suffisant, non ?
Quand on a fait cet exercice en cours j'ai effectivement pensé la même chose, et avec mon voisin on a essayé de le démontrer, mais sans succès.
Quand on a demandé à notre prof de maths il nous a dit qu'il n'y avait strictement aucun raison pour que ce soit le cas.
Il se pourrait tout à fait qu'en allant assez loin on passe en dessous de 4, et rien ne nous dit que cela doive nécessairement rajouter un point critique.
Je n'ai pas de contre-exemple, mais à mon avis il peut en exister, ou sinon il faudrait le démontrer mais avec les fonctions de deux variables on peut faire des choses très bizarres ^^
Fractal
Si tu vas très très loin tu vas en dessous de 4 mais il me semble bien que ta fonction tende vers +infini selon toute direction (ce que j'ai oublié de préciser), donc ca me semble clairement compromis...
Ce genre de trucs se fait en 2 temps:
tu montres que par le fait d'une limite a l'infini, tu es plus grand que 5 a l'extérieur d'une boule fermée assez grande.
sur ta boule qui est compacte tu atteints nécessairement un minimum, ici la valeur 4 est atteinte.
Tu compares les 2 et c'est gagné.
Ce genre de trucs se fait en 2 temps:
tu montres que par le fait d'une limite a l'infini, tu es plus grand que 5 a l'extérieur d'une boule fermée assez grande.
sur ta boule qui est compacte tu atteints nécessairement un minimum, ici la valeur 4 est atteinte.
Tu compares les 2 et c'est gagné.
Oui, ça marche en faisant comme ça, mais du coup il faut montrer que la fonction tend vers l'infini en l'infini, ce qui risque d'être un peu pénible (c'est comme ça que notre prof l'avait fait au tableau, et puis en plus il s'était un peu embrouillé à essayer de trouver la bonne norme pour laquelle tout marche bien)
Mais c'est quand même plus court d'écrire x = 4+h et y = -2+k.
Fractal
Non je suis d'accord, mais je voulais juste dire que c'est pas si compliqué de prouver l'existence d'un min avec des arguments relativement élémentaires.
Pour dire que ca tend vers l'infini, c'est intuitif et c'est vrai, mais c'est pas amusant trop trop à démontrer, je passe mon tour
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