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variations
Bonjour!
Soit une fonction f du genre euh :
f(x )= 2x²+
Comment puis-je démontré les variations?
Sans utiliser la dérivées car nous ne l'avons pas encore vue en cours.
La maniere que je connais c'est celle avec a < b puis on scinde au fur et à mesure mais la, le 2/x me gene beaucoup, et je ne vois pas comment factoriser
Merci d'avance
Sticky
Pour étudier les variations sur ] - infini ; 0 [
tu n'as qu' à dire que c'est la somme de deux fonctions stric décroissantes donc f est stric décroissant .
Sur ] 0 ; + infini [
f(x) = 2( x² + 1/x ) = 2 ( (x^3+1)/x ) cela semble difficile .....
f(b) - f(a) = ........
Bonjour Sticky;
tu commences par remarquer que ta fonction est définie sur
il est facile de voir que les deux fonctions et
sont strictement décroissantes sur
et par suite leur somme aussi.
Voilà,il te reste maintenant les variations sur .
sur ]0 ; oo[
f(x)= 2x²+ (2/x)
Soit 0 < a < b
f(a) = 2a² + (2/a)
f(b) = 2b² + (2/b)
f(b) - f(a) = 2b² + (2/b) - 2a² - (2/a)
f(b) - f(a) = 2(b²-a²) + 2((1/b) - (1/a))
f(b) - f(a) = 2(b-a)(b+a) + 2.(a-b)/(ab)
f(b) - f(a) = 2(b-a)[(b+a) -1/(ab)]
b - a > 0 et donc f(b) - f(a) a le signe de [(b+a) -1/(ab)] = (ab²+a²b-1)/ab
a et b sont tous deux positifs et donc ab est positif -->
f(b) - f(a) a le signe de (ab²+a²b-1)
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Si 0 < a < b < 1/(racinecubique de 2) , alors
ab²+a²b-1 < (1/(racinecubique de 2))².(1/(racinecubique de 2)) + (1/(racinecubique de 2))².(1/(racinecubique de 2)) - 1
ab²+a²b-1 < (1/2) + (1/2) - 1
ab²+a²b-1 < 0
f(b) - f(a) < 0
f(b) < f(a) et donc f(x) est décroissante pour x dans ]0 ; 1/(racinecubique de 2)[
---
Si 1/(racinecubique de 2) < a < b , alors
ab²+a²b-1 > (1/(racinecubique de 2))².(1/(racinecubique de 2)) + (1/(racinecubique de 2))².(1/(racinecubique de 2)) - 1
ab²+a²b-1 > (1/2) + (1/2) - 1
ab²+a²b-1 > 0
f(b) - f(a) > 0
f(b) > f(a) et donc f(x) est croissante pour x dans ]1/(racinecubique de 2) ; oo[
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Sauf distraction.
elhor_abdelali >> Elles sont toutes deux croissantes sur -00;0
Mais sur 0;+00
l'une est croissante, l'autre décroissante ....
J-P >> Je te suis jusque :
f(b) - f(a) a le signe de (ab²+a²b-1)
Aprés comment à tu fais pour savoir que c'était 1/(racinecubique de 2) ??
Merci a tous
Sticky
Je suis parti de ab²+a²b-1 = 0
avec a proche de b --> a³+a³+1 = 0
2a³ = 1
a³ = 1/2
a = racinecubique de 2
On réfléchit alors à parir de cette valeur.
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