Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Niveau première
Partager :

variations de suites

Posté par
lily80
10-12-22 à 12:50

Bonjour,

J'ai un exercice que je ne comprends, je voudrais donc savoir s'il est possible de m'aider.

Voici l'énoncé :
1) Déterminer le sens de variation de la fonction f définie sur (0; + l'infinie( par f(x) = x/(x+1)
2) soit n appartenant aux entiers naturels. Justifier que f(n) ≤ f(n+1)
3) Soit (un) la suite définie par un = n/(n+1) pour n appartenant aux entiers naturels
En utilisant les questions précédentes, déterminer le sens de variation de la suite (un)

Mes recherches :
1) D'après le graphique affiché par ma calculatrice, je sais que la fonction est croissante mais je n'arrive pas à le prouver par le calcul. Je sais également que pour étudier le signe d' une fonction on utilise deux réels a et b tels que a<b et donc lorsque la fonction est croisante on doit retrouver f(a)<f(b)
2) je n'ai pas compris cette question mais si on ajoute 1 à f(n) celle ci sera forcément supérieur à f(n)
3)Comme la un est la suite de f(x)sont les mêmes, elle sera également croissante

Posté par
malou Webmaster
re : variations de suites 10-12-22 à 12:59

Bonjour
1. Tu peux écrire ton numérateur x+1-1
et couper ta fraction

Ou bien tu calcules la dérivée puis son signe

Tu choisis la méthode que tu préfères

Posté par
lily80
re : variations de suites 10-12-22 à 22:28

D'accord,

si j'ai (x+1-1)/(x+1), je peux donc factoriser par x ce qui me donne x((1-1)/1)

Posté par
hekla
re : variations de suites 10-12-22 à 23:14

Bonsoir

Ce n'est pas ce que malou vous a écrit

\dfrac{a+b}{c}=\dfrac{a}{c}+\dfrac{b}{c}

Posté par
Jedoniezh
re : variations de suites 11-12-22 à 12:38

Bonjour,

(Bonjour aussi à Malou et Hekla )

\frac{x}{x+1}=\frac{x+1-1}{x+1}=\frac{(x+1)-1}{x+1}

Posté par
lily80
re : variations de suites 11-12-22 à 15:57

Si j'ai bien compris, la fonction sera donc supérieur ou égal à 0 car x+1>(x+1)-1

Si j'écrit cela dans ma copie, c'est bon ou faut-il trouver une autre justification ?

Posté par
malou Webmaster
re : variations de suites 11-12-22 à 15:58

le signe n'a pas grand chose à voir avec les variations demandées...
n'oublie pas ta question !

edit > ** si quelqu'un veut bien prendre la relève...je vais faire une pause dès que l'autre sujet que je suis sera fini ! **

Posté par
lily80
re : variations de suites 11-12-22 à 16:05

Je peux donc justifier en disant que f(a)<f(b), est dire que la fonction est croissante

Posté par
Jedoniezh
re : variations de suites 11-12-22 à 16:18

Quelle est la question à laquelle tu dois répondre (en premier lieu) ?

Posté par
lily80
re : variations de suites 11-12-22 à 17:09

Je dois donner la variation de f(x) = x/(x+1), en le justifiant par le calcul

Posté par
Jedoniezh
re : variations de suites 11-12-22 à 17:13

Tu as donc deux façon de faire et évoquées par Malou :

malou @ 10-12-2022 à 12:59

Bonjour
1. Tu peux écrire ton numérateur x+1-1
et couper ta fraction

Ou bien tu calcules la dérivée puis son signe

Tu choisis la méthode que tu préfères


Donc où en es-tu ?

Posté par
lily80
re : variations de suites 11-12-22 à 17:19

J'ai choisi de le faire avec les fractions puisqu'en cours, je n'ai pas encore vu les dérivées

\frac{x}{x+1}=\frac{x+1-1}{x+1}=\frac{(x+1)-1}{x+1}


Une fois que j'ai cette nouvelle écriture, je ne sais pas comment faire pour justifier que la suite est croissante ou décroissante

Posté par
Jedoniezh
re : variations de suites 11-12-22 à 17:22

Pour l'instant on en est à la question 1, et donc on parle de fonction et non pas d'une suite.

Ensuite, hekla t'a indiqué la démarche :

hekla @ 10-12-2022 à 23:14

Bonsoir

Ce n'est pas ce que malou vous a écrit

\dfrac{a+b}{c}=\dfrac{a}{c}+\dfrac{b}{c}

Posté par
lily80
re : variations de suites 11-12-22 à 17:28

On a donc :


\frac{a+b}{c}=\frac{x+1}{x+1}+\frac{-1}{x+1}

Posté par
Jedoniezh
re : variations de suites 11-12-22 à 17:37

\frac{a+b}{c}=\frac{x+1}{x+1}-\frac{1}{x+1}

Posté par
lily80
re : variations de suites 11-12-22 à 17:41

Désolée, mais je ne comprends ce que je peux en déduire qui nous permettra de savoir le sens de variation de la fonction

Posté par
Jedoniezh
re : variations de suites 11-12-22 à 17:54

\frac{x+1}{x+1}-\frac{1}{x+1}=1-\frac{1}{x+1}

Posté par
Jedoniezh
re : variations de suites 11-12-22 à 17:55

Donc :

f(x)=1-\frac{1}{x+1}

Posté par
lily80
re : variations de suites 11-12-22 à 18:07

Avec ce que vous avez écrit, on peut dire que la fonction est croissante ?

Posté par
Jedoniezh
re : variations de suites 11-12-22 à 18:08

Non, mais on peut s'en servir.

Posté par
Jedoniezh
re : variations de suites 11-12-22 à 18:11

On est sur [0, +\infty[, donc x\geq 0 donc x+1\geq x

à toi de comparer f(x+1) par rapport à f(x)

Posté par
Jedoniezh
re : variations de suites 11-12-22 à 18:21

f \text{ croissante si : }a>b \Rightarrow f(a)>f(b)

Posté par
lily80
re : variations de suites 11-12-22 à 18:32

f(xf(x+1) = 1 -\frac{1}{x+2}

On a donc f(x+1)>f(x)

Posté par
Jedoniezh
re : variations de suites 11-12-22 à 18:49

Oui, donc tu peux conclure.

Posté par
lily80
re : variations de suites 11-12-22 à 19:37

Je peux en déduire que la fonction est croissante pour la question 1

Pour la question 2, c'est la même chose sauf qu'il faut remplacer les x par des n ?

Merci beaucoup pour votre aide !

Posté par
hekla
re : variations de suites 11-12-22 à 19:49

Bonsoir

une fonction est croissante si pour tout a, tout b,   a<b \Rightarrow f(a)\leqslant f(b)

Ce n'est pas uniquement  a et son successeur.


On part de   0\leqslant a<b

on ajoute 1 1\leqslanta+1<b+1  

on passe à l'inverse  \dfrac{1}{a+1}>\dfrac{b}{b+1}

puis l'opposé - \dfrac{1}{a+1}<-\dfrac{1}{b+1}

enfin on ajoute 1 donc on a bien f(a)<f(b) la fonction est bien croissante sur \R_+

Posté par
lily80
re : variations de suites 11-12-22 à 19:54

Pour la question 2, il me semble qu'on est dans les entiers naturels ou ai-je mal compris votre réponse et c'est la suite de la question 1 ?

Posté par
hekla
re : variations de suites 11-12-22 à 20:00

C'est ce que j'aurais écrit pour la question 1. On parle alors de fonction définie sur [0~;~+\infty[

Posté par
hekla
re : variations de suites 11-12-22 à 20:03

Pour la question 2  on applique   ce qui a été montré

n<n+1 , f étant croissante sur \R_+ donc f(n)<f(n+1)

Posté par
lily80
re : variations de suites 11-12-22 à 20:04

C'est vrai que votre réponse est peut-être plus facile à comprendre

Pour la question 2, il faut donc avoir le même raisonnement que pour la 1 ?



Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :


Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1674 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !