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Variations sur le nombre de diviseurs

Posté par
Sylvieg Moderateur
13-08-23 à 17:30

Bonjour,
Une variante de Dans les diviseurs :
1) Trouver tous les entiers inférieurs à 109 ayant 1000 diviseurs.
2) Quel est le plus grand entier inférieur à 1010 ayant 1000 diviseurs ?

Je pense avoir la réponse pour 1), mais pas encore pour 2).

Posté par
sanantonio312
re : Variations sur le nombre de diviseurs 13-08-23 à 21:53

Zut, j'ai bientôt tous les entiers inférieurs à 109 ayant 500 diviseurs...
Bonne nuit. A demain

Posté par
jandri Correcteur
re : Variations sur le nombre de diviseurs 13-08-23 à 23:25

Bonjour Sylvieg,

pour la question 1 :

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Pour la question 2 j'ai trouvé par tâtonnements :
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J'ai vérifié avec un logiciel que c'est bien le plus grand inférieur à 10^{10}.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Variations sur le nombre de diviseurs 14-08-23 à 08:11

Bravo jandri !
Cependant :

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Posté par
jandri Correcteur
re : Variations sur le nombre de diviseurs 14-08-23 à 11:22

Bonjour Sylvieg,

tu as parfaitement raison, intuitivement j'ai pensé que cela donnerait un nombre trop grand mais il fallait quand-même le vérifier :

 Cliquez pour afficher

Posté par
dpi
re : Variations sur le nombre de diviseurs 17-08-23 à 15:32

Bonjour Sylvieg,
Je reviens de voyage,je vois que tu as fait évoluer le sujet
jandri
peut faire une thèse sur les diviseurs .

Je cherche une nouvelle idée...
En attendant quel est le nombre*<10^9 qui possède le moins de diviseurs?

*non premier bien sûr....

Posté par
jandri Correcteur
re : Variations sur le nombre de diviseurs 17-08-23 à 17:31

Bonjour dpi,

si l'on excepte 1 (qui a un deul diviseur) et les nombres premiers (qui ont deux diviseurs), les entiers qui ont le moins de diviseurs en ont 3, ce sont les carrés des nombres premiers.

Il y en a exactement 3401 qui sont inférieurs à 10^9, le plus grand est 999\,002\,449=31607^2.

Quand on veut compter le nombre de diviseurs d'un entier il faut utiliser le résultat suivant :
si par exemple n=p^aq^br^cavec p,q,r des nombres premiers deux à deux distincts, alors l'entier n a exactement (a+1)(b+1)(c+1) diviseurs.

Par exemple le plus petit entier n qui a 105=3\times5\times7 diviseurs s'écrit n=p^2q^4r^6, c'est 2^6\times 3^4\times5^2=129\,600.

Il pourrait aussi s'écrire par exemple n=p^{14}\times q^6 mais le plus petit de cette forme estn=2^{14}\times 3^6=11\,943\,936 qui est beaucoup plus grand

Posté par
dpi
re : Variations sur le nombre de diviseurs 19-08-23 à 08:20

>jandri

Merci pour la méthode pour trouver un nombre donné de diviseurs.
J'ai bien vérifié dans mon bidule que le premier nombre ayant 231
diviseurs est 18 662 400.
231=3x7x11--->2^10 x3^6x5^2

Posté par
jandri Correcteur
re : Variations sur le nombre de diviseurs 19-08-23 à 11:43

dpi

C'est juste, tu as très bien compris.



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