Niveau Master Maths

Variété différentielle O(n)

Posté par
FerreSucre 21-11-24 à 20:32

Bonsoir ! J'aurais une question à propos des variétés différentielles. Dans le cours on a fait un exo pour montrer que O(n) = { A € Gln(R), transposé(A)*A = id}

On a montré que la differentielle de la fonction f : A -> transpo(A)*A
était surjective dans l'ensemble des matrices symétriques et inversibles.
Et à partir de ça, le prof a conclu directement par le « théorème des submersions » que c'était une sous variété de Gln(R).

Je n'ai pas compris juste la conclusion. J'aurais cru qu'il fallait que la différentielle soit surjective dans Gln(R) tout entier pour dire que c'était l'image réciproque d'une submersion et donc une ss-var de Gln(R).

Je me suis donc posé la question que peut-être, O(n) était une sous variété des matrices symétriques inversibles ? Et que peut-être l'ensemble des matrices symétriques inversibles est une sous variété de Gln(R). Donc par conséquent O(n) serait aussi une ss var de Gln(R) ?

Merci.

Posté par re : Variété différentielle O(n) 23-11-24 à 11:41

Bonjour,

ta première phrase est incomplète, montrer que O(n) est une variété différentielle ou une sous-variété de GL(n) ? Quelle définition de sous-variété utilises-tu dans ce dernier cas ?

Sinon, ton dernier paragraphe est la bonne façon de penser. C'est un petit exercice facile de montrer que les matrices symétriques inversibles forment une sous-variété différentielle des matrices symétriques.

Posté par re : Variété différentielle O(n) 25-11-24 à 19:47

Merci pour ta réponse, j'ai finalement réussi à montrer directement sans passer par les matrices symétriques inversible. J'avais raté le fait que Gln(R) était dense dans Mn(R) dont que la perturbation H dans la differentielle est en faite une matrice de Mn(R) et non de Gln(R). Donc tout se recole et on a bien surjectivité dans les matrices symétriques tout court.

Parcontre je me retrouve à nouveau bloqué puisque maintenant j'ai un exo ou je dois montrer que SO(n,R) est une sous variété de Gln(R) sachant que So(n,R) = {A € O(n) | det(A) = 1}. J'ai pensé à faire la même chose au début en utilisant la differentielle de det qui serait surjective dans R mais c'est faux puisque cette fois ci H ne serait pas defini sur Mn j'ai l'impression. En tout cas je retombe pas sur les bonnes choses à la fin donc il y a un soucis.

Une idée pour le montrer ? J'ai cherché partout je trouve rien ! :/