Bonjour



- Question 2 -
Comme OM = OB + OC,
alors d'après la règle du parallélogramme,
OBMC est un parallélogramme. Ses diagonales [BC] et [OM] se coupent donc
en leur milieu. Comme A' est le milieu de [BC], alors A'
est aussi le milieu de [OM].

idem pour B' et C' :
B' est le milieu de [ON]
et C' est le milieu de [OP]



- Question 3 -
AH
= AO + OH
(à l'aide de la relation de Chasles)

= AO + OA + OB + OC
(par définition du vecteur OH)

=0 + OM
= OM


Comme AH = OM,
alors les droites (AH) et (OM) sont parallèles.
Comme (OM) est perpendiculaire à (BC), alors (AH) est perpendiculaire à
(BC).
Conclusion : (AH) est la hauteur du triangle ABC issue de A.


- Question 4 -
De même :
BH = BO + OH
= BO + OA + OB + OC
= 0 + OA + OC
= ON

Comme BH = ON,
alors les droites (BH) et (ON) sont parallèles.
Comme (ON) est perpendiculaire à (AC), alors (BH) est perpendiculaire à
(AC).
Conclusion : (BH) est la hauteur du triangle ABC issue de B.


CH = CO + OH
= CO + OA + OB + OC
= 0 + OA + OB
= OP

Et on montre que (CH) est la hauteur du triangle ABC issue de C.

Conclusion : les hauteurs (AH), (BH) et (CH) sont concourantes en H, orthocentre
du triangle ABC.



A toi de tout reprendre, bon courage ...

2)

vect(OM) = vect(OB) + vect(OC)
vect(OC) + vect(CM) = vect(OB) + vect(OC)
vect(CM) = vect(OB)   (1)

vect(OM) = vect(OB) + vect(OC)
vect(OM) = vect(OM) + vect(MB) + vect(OC)
vect(0) =  vect(MB) + vect(OC)
vect(OC) = vect(BM)    (2)

(1) et (2) -> le quadrilatère OCMB a ses cotés opposés parallèles et
égaux -> c'est un parallélogramme.

Les diagonales d'un parallélogramme se coupent en leurs milieux.
-> [OM] et [CB] se coupent en leurs milieux.
Comme le milieu de [BC] est A' par hypothèse, A' est le milieu
de [OM]

De manière analogue, on montre que:
B' est le milieu de [ON] et que C' est le milieu de [OP]
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3)
vect(AH) = vect(AO) + vect(OH)
vect(AH) = vect(AO) + vect(OA) + vect(OB) + vect(OC)
vect(AH) = vect(OB) + vect(OC)
vect(AH) = vect(OM)

cela signifie que les droites(AH) et (OM) sont parallèles.
Comme la droite (OA') (identique à la droite (OM)) est perpendiculaire
à la droite (BC) (puisque OA' est la médiatrice de [BC]), on
a aussi que la droite (AH) est perpendiculaire à (BC).

-> (AH) supporte la hauteur issue de A du triangle ABC.
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4)
vect(BH) = vect(BO) + vect(OH)
vect(BH) = vect(BO) +  vect(OA) + vect(OB) + vect(OC)
vect(BH) = vect(OA) + vect(OC)    
vect(BH) = vect(ON)

vect(CH) = vect(CO) + vect(OH)
vect(CH) = vect(CO) + vect(OA) + vect(OB) + vect(OC)
vect(CH) = vect(OA) + vect(OB)
vect(CH) = vect(OP)

Par raisonnement identique au point 3 ->
(BH) supporte la hauteur issue de B du triangle ABC.
(CH) supporte la hauteur issue de C du triangle ABC.

H est donc le point de rencontre des hauteurs du triangles ABC.
H est l'orthocentre du triangle ABC
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Sauf distraction.