Es-tu sûre que ton énoncé est complet ?

Pour le 2)
(avec ce qui suit en vecteurs)

MO = MI + IO
MA = MI + IA
MB = MI + IB

MO² = MI² + IO² + 2.MI.IO
MA² = MI² + IA² + 2.MI.IA
MB² = MI² + IB² + 2.MI.IB

MO²+MA²-2MB² = IO² + 2.MI.IO + IA² + 2.MI.IA - 2IB² - 4.MI.IB
MO²+MA²-2MB² = 4.IM.IB + (IO² + 2.MI.IO + IA² + 2.MI.IA - 2IB²)

Avec IO = -IA ->
MO²+MA²-2MB² = 4.IM.IB + (2.IA² - 2IB²)

avec IA = OI= OA/2 et donc IA² = IO² = OA²/4
et dans le triangle IOB rectangle en O: IB² = IO² + OB², on a:

MO²+MA²-2MB² = 4.IM.IB + ((1/2).OA² - 2(IO²+OB²))
MO²+MA²-2MB² = 4.IM.IB + ((1/2).OA² - 2((OA²/4)+OB²))
MO²+MA²-2MB² = 4.IM.IB - 2.OB²  (1)

et comme l'énoncé donne MO²+MA²-2MB²=4IM.IB-32, on voit par (1)
que |OB| devrait être égal à 4.

Cette donnée est manquante dans l'énoncé (sauf si je me suis planté
quelque part)
---
Si on a bien cette donnée, alors l'ensemble (F) des points M du
plan tels que MO²+MA²-2MB²=68
est donné si on a: 4.IM.IB = 68 + 32 = 100
Donc pour IM.IB = 25
...
---
Je pense qu'il manque plusieurs données qui sont peut-être les
dimensions du triangle OAB, mais je n'y ai pas beaucoup réfléchi.

excusez moi I milieu de [OA]
OA=6
OB=4
si vous pourriez m'aider avec ces données merci d'avance

1)
(tout ce que j'écris sont des vecteurs.)

MB.MO+MA.MB=0

vous avez :MB.MO+MA.MB= MB.(MO+MA)

Comme I est le milieur de OA alors MO+MA=2MI

donc MB.MO+MA.MB=0 est équivalente à MB.(2MI)=0 en remplaçant MO+MA par
2MI.

Ce qui est équivalent à MB.MI=0

L'ensemble des points M vérifiants MB.MO+MA.MB=0 est égale à l'ensemble
des points M vérifiants MB.MI=0 qui est donc le cercle de diamètre
BI. Ce cercle passe donc par B et I.

2)MO²+MA²-2MB²=4IM.IB-32 ?

MO²=(MI+IO)²;  relation de chasles
       = MI²+IO²+2MI.IO , (le dernier terme est un produit scalaire.)

MA²=(MI+IA)²=MI²+IA²+2MI.IA

MB²=(MI+IB)²=MI²+IB²+2MI.IB

donc :

MO²+MA²-2MB²=MI²+IO²+2MI.IO +MI²+IA²+2MI.IA                      
                              -2(MI²+IB²+2MI.IB)
                           = 2MI² + 2MI.(IO+IA) +IO²+IA²-2MI²-2IB²
                              -4MI.IB
Comme I est le milieu de OA on a: IO+IA=0
d'autre part MI.IB=-IM.IB

donc

MO²+MA²-2MB²=4IM.IB +IO²+IA²-2IB².

le triangle OBI est rectangle en O, péthagore donne:

IB²=OB²+IO²

donc 2IB²=2OB²+2IO²=2OB²+IO²+IA² ;  car IA=IO I est milieur de OA.

donc IO²+IA²-2IB²= -2OB²

En conclusion:

MO²+MA²-2MB²=4IM.IB +IO²+IA²-2IB²
                           = 4IM.IB -2OB².

pour avoir -32 comme demandé il manque quelque chase à votre énoncé. Je
suppose que c'est OB=4  

dans ce cas OB²=16 et 2OB²=32

c'est le résultat recherché:MO²+MA²-2MB²=4IM.IB -32.

Pour charcher l'ensemble F des points M Vérifiants:

MO²+MA²-2MB²=68

c'est l'ensemble des points M vérifiants

4IM.IB -32=68 ce qui est équivalent à:

4IM.IB=100

équivalent à IM.IB=25

Choisissons le repère orthonormé (O,i,j). i porté par OA et j porté par OB.

OA=ai et OB=bj  OI= (a/2)i OM=xi+yj

dans ce cas IM=(x-a/2)i+yj  et IB=-(a/2)i+bj

IM.IB =25 équivalent à :

(-a/2)(x-a/2)+by=25

-ax/2+a²/4 +by=25

ax-2by= (a²/2)-50.

c'est l'équation d'une droite.

F est donc la droite d'équation ax-2by= (a²/2)-50 dans le repère
orthonormé (O,i,j).

3) soit G1 le barycentre de (O,2);(B,2) et (A,-1)
et G2 le barycentre de (O,1);(B,3) et(A,-1)

dans ce cas on a:

pour tout M élément du plan:

3MG1=2MO+2MB-MA =u

3MG2=MO+3MB-MA = w

et v=3MO-2MB-MA = 2MO-2MB +MO-MA
      = 2(BM+MO)+(AM+MO)
      = 2BO+AO

le vecteur v est donc indémendant de M et vaut 2BO+AO.

Ensemble (G):

Soit M un point de (G) tel que u et v soient colinéaires.

ceci est équivalent à :

il existe x élément de R tel que u=xv

équivalent à:

il existe x élément de R tel que 3MG1=xv  car 3MG1=u

il existe x élément de R tel que MG1=(x/3)v  

comme v est constant et indémendant de M.

(G) est donc la droite qui passe par G1 et colinéaire avec v.


Ensemble (H):

soit M un élément de (H) tel que ||u||=||w||

ceci est équivalent à:

||3MG1||=||3MG2|| ce qui est équivalent à:  3||MG1||=3||MG2||


équivalent à:   ||MG1||=||MG2||

(H) est donc la médiatrice du ségment [G1,G2].

voila je vous prie d'accépter mes remerciements.