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vecteurs et projeté orthogonal

Posté par muller12 (invité) 21-01-05 à 18:07

Bonjour, j'ai un problème de vecteurs, pourriez-vous m'aider?

ABC est un triangle rectangle en A
H est le projeté orthogonal de A sur (BC)
Une droite (d) passant par C coupe la droite (AH) en M et le cercle de diamétre [BC] en N
Démontrez que CM(vecteur).CN(vecteurs)=CA²
Merci par avance.

Posté par
Océane Webmasterre : vecteurs et projeté orthogonal 21-01-05 à 18:42

Bonjour muller12

Je te propose de décomposer ton produit scalaire comme suit :
\vec{CM} \cdot \vec{CN} = (\vec{CA} + \vec{AM}) \cdot (\vec{CB} + \vec{BN})

Je te laisse essayer de continuer, reposte si tu n'y arrives toujours pas, bon courage ...

Posté par muller12 (invité)vecteurs et projeté orthogonal 22-01-05 à 08:55

Pourrais-tu m'aider à aller plus loin? C'est à ce niveau que je peine.Merci pour ton aide.

Posté par
Océane Webmasterre : vecteurs et projeté orthogonal 22-01-05 à 10:57

Je continue donc :
\vec{CM} \cdot \vec{CN} = (\vec{CA} + \vec{AM}) \cdot (\vec{CB} + \vec{BN})\\ = \vec{CA} \cdot \vec{CB} + \vec{CA} \cdot \vec{BN} + \vec{AM} \cdot \vec{CB} + \vec{AM} \cdot \vec{BN}

Or, \vec{CA} \cdot \vec{CB} = \vec{CA} \cdot \vec{CA}
car A est le projeté orthogonal de B sur (AC).

Et \vec{AM} \cdot \vec{CB} = 0
car les droites (AM) et (BC) sont perpendiculaires.

Donc :
\vec{CM} \cdot \vec{CN} = \vec{CA} \cdot \vec{CA} + \vec{CA} \cdot \vec{BN} + 0 + \vec{AM} \cdot \vec{BN}\\ = CA^2 + (\vec{CA} + \vec{AM}) \cdot \vec{BN}\\ = CA^2 + \vec{CM} \cdot \vec{BN}\\ = CA^2
car les droites (CM) et (BN) sont perpendiculaires.

Posté par muller12 (invité)vecteurs et projeté orthogonal 22-01-05 à 14:16

Merci beaucoup ma chère Océane, tu m'as super bien aidé. A une prochaine peut-être.

Posté par
Océane Webmasterre : vecteurs et projeté orthogonal 22-01-05 à 14:40

De rien mon cher muller12
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