Si j'ai A(2)=>B(2) vrai alors je n'ai pas le théorème "pour tout x : A(x)=>B(x)"

tu plaisantes !

en quoi cela contredirait le théorème ?

il y a vraiment un problème de compréhension de base sur les écritures logiques :

x ; A(x) B(x)

signifie

x ; l'implication "A(x) B(x)" est vraie

Pardon, j'ai mal formulé :

Si j'ai uniquement A(2)=>B(2) vrai alors je n'ai pas le théorème "pour tout x : A(x)=>B(x)"

Bonjour,

"Vrai"/"faux" sont des notions sémantiques : pour un énoncé, la vérité ou la fausseté dépendent de l'univers dans lequel on l'interprète. Une fois l'univers fixé, un énoncé est soit vrai soit faux.

"Démontrable" est une notion syntaxique : un théorème est un énoncé qu'on peut démontrer à partir des axiomes par une application correcte des règles de déduction. Une fois les axiomes fixés, un énoncé peut être démontrable (c'est un théorème), sa négation peut être démontrable, et on peut aussi avoir ni l'un ni l'autre (les énoncés indécidables de la théorie).

Après réflexion, je pense avoir compris et je vous en remercie.

Mais maintenant que j'ai compris, il en découle une deuxième question (dont j'ai anticipé certaines réponses".

Pourquoi a-t-on défini A=>B comme "nonA ou B" ?

Si la réponse est "parce que la table de vérité est  la même"
alors pourquoi " lorsque A=faux et B=vrai a-t-on A=>B est vrai
                               et  lorsque A=faux et B=faux a-t-on A=>B est vrai"

Si la réponse est parce que "Faux=>P"
alors ma question est "pourquoi ?"

En un sens une réponse est dans ton exemple

On veut que ce soit toujours vrai, et pas seulement quand .

Il y a vraiment longtemps que l'on admet ex falso quodlibet.
C'est un axiome de la plus part des logiques.
En tout cas de toutes celles que je connais.

LuisFigo

si tu avais répondu à ma question de 18:22, tu aurais ta réponse !

Une chose qu'il faut bien garder en tête : est un connecteur au même titre que ou . Si et sont des propositions,, est une nouvelle proposition.
Si maintenant tu as une distribution de valeurs de vérité qui donne la valeur "Faux" à et "Faux" à , quelle valeur de vérité donner à ?
La réponse "Dans ce cas n'a pas de sens" n'est pas une réponse valable : une distribution de valeurs de vérité donne une valeur de vérité à chaque proposition.

ben oui... c'est ce que je lui ai déjà expliqué en fin d'après-midi...

MM la réponse à ton exemple est d'être élu et de ne pas baisser les impôts, je sais bien ce qu'est une implication au sens habituel mais ça ne m'aide pas pour comprendre la version logique d'une implication, ni le vrai/faux qui n'est pas le même.
Par exemple 2=10 => pi=12 est vrai en logique mais pour moi ça n'a aucun sens, en tout cas pas le sens mathématique usuel.

Je sens bien que "les mathématiques habituelles" et "la logique mathématique" ne sont pas strictement identiques, ou en tout cas ne s'interprète pas toujours strictement de la même façon.

Je pense avoir résolu mon problème d'interprétation, je posterai la solution ci-dessous.

Je vous remercie car nos échanges m'ont amené à la solution.

Cordialement.

Dans le sens mathématique usuel, une propriété de la forme « Si A alors B » est vraie lorsque A « implique » B, c'est-à-dire lorsque « il y a une démonstration  qui mène de A à B».
On note alors parfois cela de façon usuelle : « A => B » le symbole « => » représentant alors le raisonnement valable (ou le chemin) qui mène de A à B.

Par exemple :
« x>2 => x^2>4 » où  => remplace le raisonnement valable (ou le chemin) ci-dessous :
x>2 => x-2>0 => (x-2)(x+2)>0 => x^2-4>0 => x^2>4

Maintenant,
Choisissons un x : x=5
l'hypothèse (5>2) étant vraie et le raisonnement étant valable, la conclusion (5^2>4) sera vraie.
5>2 => 5^2>4 est « vrai » au sens où
si l'on part de 5>2 le raisonnement mène bien à 5^2>4

5>2 => 5^2<4 (ou tout autre conclusion fausse) est « faux » au sens où
si l'on part de 5>2 le raisonnement ne mène pas à 5^2<4

Pour x=-3
l'hypothèse (-3>2) est fausse, mais le même raisonnement toujours valable mène à (-3)^2>4 qui est vraie.
-3>2 => (-3)^2>4 est « vrai » au sens où
si l'on part de -3>2 le raisonnement mène bien à (-3)^2>4

Pour x=-1
l'hypothèse (-1>2) est fausse, le même raisonnement toujours valable mène à (-1)^2>4 qui est fausse.
-1>2 => (-1)^2>4 est « vrai » au sens où
si l'on part de -1>2 le raisonnement mène bien à (-1)^2>4

Maintenant en logique :
Le symbole => est uniquement un connecteur, et pas toujours un raisonnement valable.
« Faux => P » , ne signifie pas forcément qu'il existe un raisonnement qui mène de Faux à P, dire « Faux implique P » au sens usuel est abusif !

La logique se passe d'une démonstration systématique et décrète : « Faux implique P » est toujours Vrai, c'est donc un axiome (ou une convention si on veut).
Donc la table de vérité logique de l'implication A => B (au sens du connecteur) est définie en reprenant le sens usuel (pour les deux premiers cas) et en appliquant l'axiome précédent (pour les deux derniers) :

A  |  B  |  A=>B
1      1       1
1      0       0
0      1       1
0      0       1

Et c'est la même table que « nonA ou B » donc on peut définir A=>B comme « nonA ou B ».

Donc en logique : 2=50 => pi=92,5 est vrai ne signifie pas "il existe une démonstration" qui mène de 2=50 à pi=92,5. Ça veut juste que si à un moment donné on a 2=50 et pi=92,5 alors on s'autorise par l'axiome (ou par convention)  de passer de l'un à l'autre.

Ce dernier exemple nous montre que, "A=>B est vrai" en logique n'est pas toujours chargé de sens, ça signifie juste le passage de l'un à l'autre est autorisé ou valable (voilà j'ai trouvé des mots pour remplacer vrai) par axiome (ou par convention) comme dans un circuit électronique ou un programme informatique.
Mais ça n'est pas toujours le vrai mathématique usuel.

Donc, au sens usuel A=>B est :
vraie : signifie « il existe une démonstration »
fausse : signifie « il existe un contre-exemple »
et parfois ni l'un ni l'autre

Et, au sens logique A=>B est :
vrai : signifie « le passage de l'un à l'autre est autorisé (et parfois par axiome ou concention) »
faux : signifie « le passage de l'un à l'autre est autorisé »
et il n'y a aucune autre alternative

Point final.

Je te propose un point de vue ensembliste

Suppose deux propositions et et l'ensemble des animaux



Ensemble des labradors je le note c'est les animaux de A qui vérfie i.e. est un labrador

Je construit l'ensemble des chiens de la même façon  


dire que c'est la même chose que de dire dit autrement que l'ensemble des labradors est un sous-ensemble  de l'ensemble des chiens.

Maintenant suppose ne soit pas un labrador, tu vois bien que peut être un teckel ou une baleine, il suffit de faire un dessin en prenant le complément de qui est inclus dans lui-même inclus dans

(faute de frappe )
* faux : signifie « le passage de l'un à l'autre n'est pas autorisé ou valable »

Oui mais ça n'explique pas :  2=50 => pi=9,2 est vrai (qui est difficile à expliquer)

La plupart des gens demanderont : "comment on passe de l'un à l'autre ? je ne comprends pas"

et

On a donc

Oui mais ça n'a plus rien à voir avec le sens habituel avec lequel les personnes lambda réfléchissent.

Mais j'avoue que ta méthode est une façon pratique de voir les choses !

l'implication que tu utilises dans le langage courant, il faut l'oublier et utiliser la définition mathématique.

" l'implication que tu utilises dans le langage courant, il faut l'oublier et utiliser la définition mathématique. "

Non monsieur, hors de question, je ne veux pas être déconnecté de la réalité et du sens usuel des choses, je veux garder en priorité le sens usuel et comprendre la différence avec le sens logique, pour pouvoir mieux utiliser les deux.

Parce qu'après on se retrouve à dire : "Si je suis un martien alors Paris est en Angleterre" est vrai et on ne comprend plus rien.

La dernière fois je discutais avec un normalien sur ce type d'énoncé, qui a sans doute fait ce que tu as dit ce qui l'a déconnecté de la réalité et il racontait n'importe quoi car il confondait le langage usuel et intuitif et le langage mathématique.  

La première chose que je fais quand on me dit quelque chose en science, c'est de comparer avec l'aspect intuitif,  et quand y a souci j'hésite pas à questionner le tout afin de mieux comprendre,  les maths c'est pas une croyance.

Et seulement ensuite je dis, ok je prends ceci ou cela comme axiome car je vois la différence avec le sens usuel.

John Von Neumann est un homme comme les autres, et comme les autres il peut lui arriver de dire des bêtises.

Les mathématiques permettent d'améliorer tes capacités d'analyse, c'est peut être pour cela que tu ne comprends pas ton collègue normalien qui est peut être plus rationnel que toi.
Ses déductions hyper rationnelles peuvent être incomprises par un esprit moins entrainé. Ce dernier verra un type déconnecté de la réalité...alors qu'en réalité c'est le contraire.  

Tu troll c'est pas possible.
Non seulement je comprends ce qu'il dit et pourquoi il le dit, mais je comprends aussi qu'il se trompe dans des cas simples évidents pour une personne lambda.
Lui ne comprend pas pourquoi il se trompe dès qu'on sort des maths !
Il est déconnecté du sens commun.
C'est ce qu'on appelle du formatage.

Mais bon, je sais que beaucoup de matheux sont dans son cas.
On efface son esprit pour qu'il soit vierge, ça permet de mieux assimiler et réussir dans les maths, moi aussi je suis passé par là mais ça n'est plus ma façon de faire.

" l'implication que tu utilises dans le langage courant, il faut l'oublier et utiliser la définition mathématique. "

J'ai connu ça, c'est tout à fait le genre d'injonction de formatage à laquelle je ne me plie plus depuis longtemps. Désolé.

Ce qui provoque beaucoup de réactions agressives de la part de ceux qui sont formatés.

Pour le normalien, il lui a fallu faire un sondage!!! pour se rendre compte que beaucoup de gens y compris des matheux ne disaient pas comme lui. Et même comme ça, ça n'a pas suffit !

Non mais tu te rends compte jusqu'où ça va ?

Malou écrivait ceci

Bonjour à tous,
LuisFigo, merci de comprendre que faire la demande en simultané sur plusieurs forums n'est pas très respectueux de toute l'aide apportée par des bénévoles qui passent leur temps pour expliquer...

En quoi c'est pas très respectueux? Les réponses étaient parfois très longues à venir, de plus, plus on a d'info mieux c'est non ? En quoi c'est un manque de respect.

Quand tu poses une question à quelqu'un, tu ne la pose pas à d'autres personnes ?

Tu as un gros souci aux dents, tu ne vas pas voir plusieurs dentistes pour avoir des avis différents ?

De toute façon ce que tu penses, tu sais ......

Bon aller je m'en vais, j'ai assez fait mumuse !

J'en profite pour préciser qu'un document universitaire issu de mon ancienne fac m'a permis de bien comprendre en à peine 5-10 lignes ! Ils sont trop forts! Merci à eux !

Salut
Je ne vois pas pourquoi tu es vexé. C'était simplement un conseil, dans une langue les mots ont parfois plusieurs sens, ou sont parfois connotés. En math, un nom possède une définition bien précise et c'est cette définition seulement que l'on va utiliser.

La citation de Von Neumann m'a beaucoup aidé, souvent on trouve des choses surprenantes en mathématique. Le plus important ce n'est pas "pourquoi" mais comment on arrive à un tel résultat.

On peut se demander qui troll en l'espèce...

et j'aurais aimé voir ces dix lignes qui lui ont fait tout comprendre !!!

LuisFigo est manifestement un troll.
Il suffit de voir comment il efface ses interventions sur les forums où c'est possible.

Ceci étant dit je crois qu'il confond l'implication et la déduction par modus ponens.
Et qu'il est incapable de comprendre la différence.  

Oui, verdurin, entre hier et cette nuit a inondé les différents forums avec toujours la même attitude...et effectivement supprime certains de ses messages où cela est possible, alors que certains avaient pris la peine de lui répondre...
edit > je ferme ce fil