bonjour

en logique 1 représente "vrai" et 0 représente "faux"

quant à ton "instance de cette implication", elle n'a rien  à voir avec l'implication du théorème de Pythagore

P Q est équivalent à (non P) OU Q

si P est faux, on ne peut rien déduire sur Q... et l'implication est vraie

par exemple

(0=1) (2=2)

est une implication vraie.

de même que

(0=1) (7=3)

avec ton exemple on peut éventuellement utiliser la contraposée de l'implication de Pythagore citée :

8² 5² + 3² le triangle (8;5;3) n'est pas rectangle

salut

ce n'est absolument pas clair du tout ... et je pense que tu te compliques inutilement les choses ...

en mathématiques (disons "conventionnelle") toute proposition est vraie ou fausse exclusivement

bien évidemment une proposition dépendant d'une variable peut être vraie pour certaines valeurs de la variable et fausse pour d'autres ...

construire une table de vérité c'est déterminer ses valeurs de vérité (Vrai ou Faux)

si A est la proposition "x = 1" et B est la proposition "x = 2" et P = A ou B

alors si x = 1 alors P est V
et de même si x = 2

et pour toute autre valeur P est fausse ...

REM : ces propositions dépendant de la variable x on pourrait les noter A(x), B(x) et P(x)

alors P(1) = A(1) ou B(1) est vraie

P(2) = A(2) ou B(2) est vraie

P(3) = A(3) ou B(3) est fausse

d'après la table de vérité du connecteur logique ou ...

Merci matheuxmatou pour ta réponse, dans celle-ci tu as écrit : "si P est faux, on ne peut rien déduire sur Q... et l'implication est vraie"

Mais le théorème de Pythagore qui est une implication est aussi vrai mais dans le sens où l'on a trouvé une démonstration de ce théorème, et il aurait été faux si on avait un contre-exemple, et ni l'un ni l'autre sinon.

Du coup qu'est-ce que ça veut dire l'implication est vraie" dans ta phrase ?


Encore merci de ta patience,

Cordialement.

juste pour plusser ce que dit carpediem, quand une proposition dépend d'une ou plusieurs variables, on appelle cela un prédicat.

P Q est synonyme de  (non P) OU Q

l'implication est une nouvelle proposition construite à partir de P et de Q

elle est vraie lorsque (et uniquement lorsque) la proposition ((non P) OU Q) est vraie

le théorème de Pythagore est un mauvais exemple pour parler d'implication car sa réciproque est vraie, donc c'est une équivalence.

si tu veux parler d'implication simple (à réciproque fausse), vaut mieux choisir un truc du genre :

Si un nombre vaut 2, alors son carré vaut 4

et pour plusser ce que dit matheuxmatou :

le problème avec ton exemple du théorème de Pythagore c'est que c'est une équivalence

considérons les prédicats (merci MM ) :

A(f) : "f est dérivable"
B(f) : " f est continue"

et P(f) : A => B

P(f) est un théorème car on a démontrer que l'implication est vraie : c'est à dire : pour tout fonction f : si f est dérivable alors f est continue

prenons alors f = v : la fonction valeur absolue

alors P(v) est vraie (puisque B(v) est vraie) mais on ne pourra jamais utiliser ce théorème pour prouver que v est continue ... puisque v n'est pas dérivable ...

Je n'ai pas compris, tant pis pour moi.

Quand je lis "tel théorème est vrai" ça veut dire qu'il y a une démonstration.

Quand je lis "P(1) est vrai" (pour reprendre l'exemple cité plus haut) je ne sais toujours pas ce que ça veut dire.

Je ne vous embête pas plus encore désolé.

(je dirais même plus : on a les mêmes idées carpediem )

tu ne nous embête pas ! on est là de notre plein gré !

P(x) = (x=1) = (x est égal à 1) = (x vaut 1)

en informatique on appelle cela un booléen.

il ne peut prendre que 2 valeurs : V ou F

P(2) = (2 vaut 1)

c'est vrai ou faux d'après toi ?

C'est faux

donc P(2) = Faux

P(1) = (1 est égal à 1)

?

C'est vrai

donc P(1) = Vrai

un prédicat est comme une fonction, mais son ensemble d'arrivée est {V ; F}

revenons à ton implication de bas du théorème de Pythagore :

P(a;b;c) = (le triangle de côtés a, b et c est rectangle)

Q(a;b;c) = (le carré de l'un des trois nombres est égal à la somme des carrés des deux autres)

P(a;b;c) Q(a;b;c)

Théorème de Pythagore

"Pour tout a, b, c on a : P(a;b;c) =>Q(a;b;c)" est vrai , veut dire qu'il y a une démonstration

P(5, 4, 3) => Q(5, 4, 3) est "vrai",  ça veut dire quoi?

un théorème est souvent un énoncé implicatif sur le schéma

si H alors C

H étant une liste d'hypothèses et C une conclusion

le démontrer consiste à montrer qu'à chaque fois que H est vraie (les hypothèses vérifiées), alors on a la conclusion

trouver un contre-exemple consiste à trouver un cas où les hypothèses sont vérifiées et pour lequel la conclusion ne l'est pas

c'est la seule éventualité pour laquelle une implication est fausse

(juste une question : tu es en doctorat de quoi ?)

C'est ce que je disais dans mon message initial,
vrai : démonstration
faux : contre-exemple

Mais "P(5,4,3)=>Q(5,4,3) est vrai" n'a pas du tout le même sens, non?

"Vrai" pour un théorème, n'a rien à voir avec "Vrai" pour un cas particulier.
Donc l'ambiguité de ce mot vrai, c'est tout le sens de ma question initiale.
C'est pourquoi pour les tables de vérité, je ne veux pas utiliser "vrai" ou "faux" mais un autre vocabulaire, et je voudrais savoir si "possible" ou "impossible" convient.

évidemment que c'est vrai puisque l'implication est vraie dans tous les cas pou a,b et c !

mais tu confonds le théorème et son application !

théorème :

P(a,b,c) = (le triangle de côtés a,b,c est rectangle)
Q(a,b,c) = (le carré du plus grand des trois nombres est égal à la somme des carrés des deux autres)

pour tout a ,b ,c réels, P(a,b,c) Q(a,b,c)

application :

le triangle de côtés (3,4,5) est rectangle (p(3,4,5) est vraie)

donc

5²=3²+4² est vérifié (q(3,4,5) est vraie)

non : "possible" ne convient pas

(et tu es en doctorat de quoi ?)

Ca j'ai bien compris mais la table de vérité (la troisième colonne) dit alors "A=>B est vrai"
ce qui dans notre cas donne "P(5,4,3)=>Q(5,4,3) est vrai" mais je ne sais pas interpréter ce dernier vrai.

M2 de Maths il y a très longtemps

on a bien

(non P) ou Q

c'est une reprise d'étude alors ?

prends un autre exemple car le théorème de Pythagore est une équivalence en fait !

Disons que je me remet à la logique sur mon temps libre.

D'accord, donc ça n'est pas le même "vrai" que pour un théorème, on est bien d'accord ?

prend un exemple à une seule variable !

P(x) = (x=2)
Q(x) = (x²=4)

théorème :

pour tout x réel,

P(x) Q(x)

Je te donne un autre exemple plus simple (juste quelques secondes)

ok

"pour tout x :  x>5 => x>4"

Ce théorème est vrai.
Démonstration : (version abrégée) soit x,   x>5 <=> x>4+1=>x>4

Prenons la table de vérité de l'implication :
pour x=3
A                      B                        A=>B
3>5 faux,     3>4 faux,     3>5=>3>4 vrai

Jusque là on est d'accord je pense.

Ma question est alors :  "3>5=>3>4 vrai" , ça veut dire quoi ?

Je ne pourrai pas faire plus simple, j'en suis désolé.

il faut une mise au point je crois, sur le vocabulaire :

A(x) = (x>5)
est un prédicat dépendant de la variable réelle x

les prédicats servent à faire des phrases logiques avec des quantificateurs

par exemple la proposition

( x ; A(x) )

est fausse

la phrase

( x ; A(x) )

est vraie

quand on applique un prédicat à une valeur, on obtient une proposition :

A(7) est une proposition vraie
A(2) est une proposition fausse

si B(x) est le prédicat (x>4) on a :

théorème

( x , A(x) B(x) )

démonstration : tu l'as faite

application :

l'implication A(3) B(3) a donc pour valeur de vérité VRAI

je sais, cela peut paraitre curieux mais ...

prenons le problème dans l'autre sens :

un homme politique dit, pendant sa campagne "si je suis élu, alors je baisserai les impôts"

quel est le seul cas qui fait qu'il a menti ?

Bonsoir
je m'immisce dans la discussion.
"(3>5)(3>4)" est une proposition.
Si on regarde la table de vérité de l'implication on voit qu'elle est vraie.
On le disait déjà en latin : ex falso quodlibet.

absolument !

si je lance un dé classique et que j'obtiens 7, alors demain il neigera ...

cette proposition est vraie !

l'implication (où P et Q sont des propositions)

P Q

est toujours vraie lorsque P est faux... quelle que soit la valeur de vérité de Q

Ok MM (si tu permets que je t'appelles comme cela)

Je pense qu'on y vient :

dans une table de vérité VRAI ou FAUX ne nécessite pas une démonstration, ni un contre-exemple, j'espère qu'on peut s'entendre là-dessus.

SI j'ai compris (j'espère, s'il vous plait....)
A(3)=>B(3) est vrai uniquement car le théorème a été établi, exact ?

oui, et parce que on est une ligne de la table de vérité qui donne V pour l'implication !

je répète : pour des propositions P et Q

P Q est synonyme de :  (non P) OU Q

P = A(3) = Faux
non P = Vrai
Q = B(3) = Faux

(P Q) = (non P) OU Q = Vrai

et c'est le principe d'un théorème qui est une proposition construite avec des quantificateurs et des prédicats... une fois qu'il est démontré on sait qu'on peut l'appliquer à des valeurs particulières

une table de vérité est une table de calcul... exactement comme une table de multiplication !

bon, je te laisse compiler tout ça

mais surtout commence par bien distinguer proposition et prédicat ...

Ok c'est super, donc est-ce qu'on s'entend aussi pour dire que si on a vrai ou faux pour une valeur particulière on n'a pas le théorème ? (je sais que c'est d'une trivialité confondante mais je pose quand même la question pour pouvoir passer à la suite)

je ne comprends pas ta question

Vrai et Faux donnent l'état d'une proposition

tu as un problème de vocabulaire je crois !

un théorème est une proposition

Il est facile de vérifier que A(3)=>B(3) même si on a pas démontrer le théorème.

Si je prends comme prédicat G défini par G(x) signifie que x est la somme de deux nombres premiers.
À ma connaissance personne n'a démontré que .
Mais ça ne m'empêche pas de vérifier que G(12) est vrai ou que G(2) est faux.

Bonjour à tous,
LuisFigo, merci de comprendre que faire la demande en simultané sur plusieurs forums n'est pas très respectueux de toute l'aide apportée par des bénévoles qui passent leur temps pour expliquer...