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Volume minimal d'un cône
Bonjour à tous,
j'ai besoin d'aide pour mon Dm de math.
Voici le problème:
Dans un plan de l'espace, on considère (figure 1): deux axes orthogonaux 
et ' muni des repères (O,I) et (O,J) tels que OI=1 OJ=2, un point A qui se projette orthogonalement sur ces axes en I et J, un point M de d'abscisse a>1.
La droite (AM) coupe la droite (OJ) en N. Par rotation autour de la droite ', le triangle OMN engendre un cône C (figure 2).
1.a) Calculer ON en fonction de a
b) En déduire l'aire du triangle OMN.
On note S la fonction définie par S(x)= x²/x-1 et x>1.
2. Représenter graphiquement la fonction S.
3. a) Soit m>0. On admet que les équations S(x)=m et x²/x-1=m sont équivalentes. Résoudre x²/x-1=m.
b) En déduire la valeur minimale de la fonction S. Pour quelle valeur de la variable est-elle obtenue ?
4. Calculer le volume de cône C en foction de a.
5. Montrer que le volume du cône n'est pas minimal lorsque l'aire du triangle OMN est minimale.
On note f la fonction définie par f(x)= x3/x-1 et x>1.
Donc moi, j'ai réussi à faire les questions 1.a)b) ; 2. ; 3.a) et 4). Il me faudrait donc de l'aide pour la 3.b et la question 5.
Merci d'avance .
Bonjour Lesousdoué,
On admet que les équations S(x)=m et x²/x-1=m sont équivalentes
]1,+
[
x²/(x-1) ... (attention aux parenthèses , soit dit en passant).
A part ça, tu as dessiné le graphe de S, et tu sais donc que l'équation S(x)=m a deux solutions si m est supérieur à une certaine valeur m0 (qui est le mminimum de S(x) sur ]1,+
[), et pas de solutions si m<m0 : tu cherches donc pour quelle valeur de m tu obtiens ce passage de 2 à 0 solutions pour l'équation S(x)=m.
Si tu as répondu à la question 4), tu sais que f(x) est, à un coefficient multiplicateur près, le volume du cône. Pour répondre à la question 5), il suffit en toute rigueur de calculer f(2) (le minimum de S étant obtenu pour x=2 comme on l'a montré à la question 3b), puis de montrer qu'une autre valeur de x, par exemple 1,9 ou 2,1 , conduit à un f(x) < f(2).
Bonjour,
Merci de m'avoir répondu. J'ai suivi votre aide et j'ai réussi et effectivement j'avais oublié les parenthèses.
Maintenant je bloque sur les questions suivantes:
6. Soit x>1. Montrer que f(x)-f(1,5)=((2x-3)²(x+3)) / (4(x-1)). En déduire que :
1. la valeur minimale de f est égale à f(1,5)
2. f(x)=f(1,5) si et seulement si x=1,5
3. le volume de C est minimal si et seulement si a=1,5.
7. Montrer que les équations S(x)=m et x²/(x-1)=m sont équivalentes.
Je ne sais pas comment faire ! Merci d'avance.
A bientôt.
- Calcule f(x)-27/4, et vérifie que le numérateur qui t'est donné dans l'énoncé est bien égal à celui que tu as trouvé.
- Quel est le signe de l'expression qui t'est donnée dans l'énoncé (sans oublier que x>1), et quelle est la valeur de x qui annule cette expression ?
7. Montrer que les équations S(x)=m et x²/(x-1)=m sont équivalentes.
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