Algèbre associative (encyclopédie mathématiques)

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En mathématiques, une algèbre associative (sur un anneau commutatif A) est un anneau (ou simplement un pseudo-anneau) B, muni d'une structure supplémentaire de module sur A et tel que la loi de multiplication de l'anneau B soit A-bilinéaire. C'est donc un cas particulier de la structure d'algèbre sur A.

Sommaire

[modifier] Définition formelle

Soit A un anneau commutatif. On dit que (B , + , . , × ) est une A-algèbre associative lorsque :

(B , + , . ) est un A-module,
(B , + , × ) est un pseudo-anneau,
$\forall \lambda \in A,~\forall x, y \in B,\qquad\lambda \cdot (x \times y) = x \times (\lambda \cdot y) = (\lambda \cdot x) \times y~.$

Les éléments de A sont appelés les scalaires.

Dans le cas particulier où l'anneau A est un corps, on parle alors d'algèbre associative sur un corps.

On parle d'algèbre unitaire (ou unifère) lorsque B possède un neutre pour la multiplication.

[modifier] Exemples

Soit A un anneau commutatif.

L'ensemble des endomorphismes d'un A-module est une A-algèbre associative.
Tout anneau (M , + , × ) (et même tout pseudo-anneau) est aussi une $\scriptstyle\Z$ -algèbre associative pour la loi externe définie par : pour tout entier n,

$\left\{\begin{matrix}\text{si }n>0\text{ alors }&n\cdot x=\underbrace{x+x+\ldots+x}_{n\ \mathrm{fois}}~,\\ \text{si }n<0\text{ alors }&n\cdot x=\underbrace{-x-x-\ldots-x}_{|n|\ \mathrm{fois}}~,\\ \text{si }n=0\text{ alors }&n\cdot x=0~.\end{matrix}\right.$

Un anneau commutatif contenant A comme sous-anneau est une A-algèbre associative.
L'algèbre d'un monoïde L sur A est une A-algèbre associative et unifère. (Si le monoïde L est commutatif, c'est aussi un cas particulier de l'exemple précédent ; un sous-cas en est l'anneau des polynômes en une indéterminée ou plusieurs indéterminées sur A.)

[modifier] Définition équivalente

Il existe une définition équivalente^[1] lorsque l'algèbre B est unifère :

Soient A un anneau commutatif, B un anneau, et $f\,:\,A\to B$ un homomorphisme d'anneaux tel que f(A) soit dans le centre de B. On peut alors définir une loi externe $(a,b)\mapsto f(a)b$ qui munit B d'une structure de A-algèbre associative (et unifère).