Algèbre associative

Algèbre associative : encyclopédie mathématiques

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En mathématiques, une algèbre associative est un espace vectoriel dans lequel est aussi définie une multiplication des vecteurs, qui possède les propriétés de distributivité et d'associativité.

[modifier] Définition

Une algèbre associative $A$ sur un corps $\mathbb{K}$ est un espace vectoriel sur $\mathbb{K}$ muni d'une multiplication bilinéaire $A\times A \to A$ telle que

(x y) z = x (y z) pour tous x, y et z dans $A$ ,

où l'image de (x,y) est notée xy.

Si $A$ contient une unité, i.e. un élément 1 tel que 1x=x=x1 pour tout x dans $A$ , alors $A$ est appelée algèbre associative unitaire. Une telle algèbre est un anneau et contient le corps de base $\mathbb{K}$ par identification de c dans $\mathbb{K}$ avec c1 dans $A$ .

La dimension d'une algèbre associative $A$ sur un corps $\mathbb{K}$ est sa dimension comme espace vectoriel sur $\mathbb{K}$ .

[modifier] Exemples

Les matrices carrées de taille n par n à coefficients dans $\mathbb{K}$ forment une algèbre associative unitaire sur $\mathbb{K}$ .
Les nombres complexes $\mathbb{C}$ forment une algèbre associative unitaire de dimension 2 sur le corps $\mathbb{R}$ des nombres réels.
Les quaternions forment une algèbre associative unitaire de dimension 4 sur le corps des nombres réels.
Les polynômes à coefficients dans $\mathbb{K}$ forment une algèbre associative unitaire de dimension infinie sur $\mathbb{K}$ .
Pour tout espace vectoriel V, les endomorphismes de V forment une algèbre associative unitaire.
Les algèbres enveloppantes des algèbres de Lie sont des algèbres associatives.
Les algèbres d'incidence des ordres partiels localement finis sont des algèbres associatives utilisées en combinatoire.