Résolution d'une équation différentielle

I. Equations du type y' = ky

Soit k un nombre réel, résoudre l'équation différentielle : y' = ky
consiste à déterminer toutes les fonctions f dérivables sur telles que, pour tout nombre réel x, f'(x) = k f(x).

Les solutions de l'équation différentielle y' = ky sont les fonctions f définies sur par :
f(x) = C e^kx, où c.

Pour tout couple (x₀ ; y₀) ², l'équation y' = ky admet une solution f et une seule telle que f(x₀) = y₀.

Exemple : Trouver les solutions qu'admet l'équation différentielle y' + y ln 5 = 0 sur .
y' + y ln 5 = 0
y' = -y ln 5
y' = y ln 1/5
On reconnait que cette équation est de la forme y' = ky.
Ses solutions sont donc les fonctions f dérivables sur définies sur par :
f(x) = C e^{x ln 1/5}, où c.
f(x) = C (e^{ln 1/5})^x, où c.
f(x) = C (1/5)^x, où c.

II. Equations du type y' = ay + b

Soit a et b deux nombres réels, résoudre l'équation différentielle : y' = ay + b
consiste à déterminer toutes les fonctions f dérivables sur telles que, pour tout nombre réel x, f'(x) = a f(x) + b.

Les solutions de l'équation différentielle y' = ay + b, avec a0, sont les fonctions f définies sur par :
f(x) = C e^ax - b/a, où c.

Pour tout couple (x₀ ; y₀) ², l'équation y' = ay + b, avec a0, admet une solution f et une seule telle que f(x₀) = y₀.

Exemple : Soit l'équation différentielle 4y' - y = 6. Déterminer la solution de cette équation qui prend la valeur 4 en 0.
Cette équation peut s'écrire sous la forme y' = 1/4 y + 3/2.
Elle est de la forme y' = ay + b.
Ses solutions sont donc les fonctions :
f : x C e^ax - b/a.
Soit, dans notre cas :
f : x C e^{1/4 x} - 6, où C.

Nous pouvons maintenant déterminer la valeur de la constance C grâce à la condition initiale imposée : f(0) = 4.
On a donc : C - 6 = 4, soit C = 10
La fonction f cherchée est donc définie sur par :
f(x) = 10 e^{1/4 x} - 6.

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© Tom_Pascal & Océane 2006