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Fiche de mathématiques





I. Equations du type y' = ky

* Soit k un nombre réel, résoudre l'équation différentielle : y' = ky
consiste à déterminer toutes les fonctions f dérivables sur \mathbb{R} telles que, pour tout nombre réel x, f'(x) = k f(x).

* Les solutions de l'équation différentielle y' = ky sont les fonctions f définies sur \mathbb{R} par :
f(x) = C ekx, où c\in \mathbb{R}.

* Pour tout couple (x0 ; y0) \in \mathbb{R}², l'équation y' = ky admet une solution f et une seule telle que f(x0) = y0.



Exemple :

Trouver les solutions qu'admet l'équation différentielle y' + y ln 5 = 0 sur \mathbb{R}.
y' + y ln 5 = 0
\Longleftrightarrowy' = -y ln 5
\Longleftrightarrowy' = y ln 1/5
On reconnait que cette équation est de la forme y' = ky.
Ses solutions sont donc les fonctions f dérivables sur \mathbb{R} définies sur \mathbb{R} par :
f(x) = C ex ln 1/5, où c\in \mathbb{R}.
\Longleftrightarrowf(x) = C (eln 1/5)x, où c\in \mathbb{R}.
\Longleftrightarrowf(x) = C (1/5)x, où c\in \mathbb{R}.



II. Equations du type y' = ay + b

* Soit a et b deux nombres réels, résoudre l'équation différentielle : y' = ay + b
consiste à déterminer toutes les fonctions f dérivables sur \mathbb{R} telles que, pour tout nombre réel x, f'(x) = a f(x) + b.

* Les solutions de l'équation différentielle y' = ay + b, avec a\neq0, sont les fonctions f définies sur \mathbb{R} par :
f(x) = C eax - b/a, où c\in \mathbb{R}.

* Pour tout couple (x0 ; y0) \in \mathbb{R}², l'équation y' = ay + b, avec a\neq0, admet une solution f et une seule telle que f(x0) = y0.




Exemple :

Soit l'équation différentielle 4y' - y = 6. Déterminer la solution de cette équation qui prend la valeur 4 en 0.
Cette équation peut s'écrire sous la forme y' = 1/4 y + 3/2.
Elle est de la forme y' = ay + b.
Ses solutions sont donc les fonctions :
f : x \mapsto C eax - b/a.
Soit, dans notre cas :
f : x \mapsto C e1/4 x - 6, où C\in \mathbb{R}.

Nous pouvons maintenant déterminer la valeur de la constance C grâce à la condition initiale imposée : f(0) = 4.
On a donc : C - 6 = 4, soit C = 10
La fonction f cherchée est donc définie sur \mathbb{R} par :
f(x) = 10 e1/4 x - 6.






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