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Fiche de mathématiques






exercice 1

La suite (un) est une suite arithmétique de raison r.
1. On donne : u5 = 7, r = 2.
Calculer u1, u25 et u100.
2. On donne : u3 = 12, u8 = 0.
Calculer r, u0 et u18.
3. On donne : u7 = \dfrac{7}{2}, u13 = \dfrac{13}{2}.
Calculer u0.



exercice 2

La suite (un) est une suite géométrique de raison q.
1. On donne : u1 = 3 et q = -2.
Calculer u4, u8 et u12.
2. On donne u3 = 2 et u7 = 18.
Calculer u0, u15 et u20.



exercice 3

(un) est une suite arithmétique telle que u2 + u3 + u4 = 15 et u6 = 20.
Calculer son premier terme u0 et sa raison r.



exercice 4

Déterminer sept nombres impairs consécutifs dont la somme est 73.



exercice 5

Existe-t-il une suite telle que les trois premiers termes u0, u1, u2 soient à la fois en progression arithmétique et géométrique ?



exercice 6

Soit (un) une suite telle que u4 = -4 et u7 = \dfrac{1}{2}.
1. On suppose que la suite (un) est arithmétique.
   a) Calculer u3, u5, u0.
Plus généralement, exprimer un en fonction de up et de la raison r, pour n et p entiers quelconques.
   b) Calculer S5 et S10.
   c) Etudier la convergence de (un).

2. Mêmes questions si (un) est supposée géométrique.



exercice 7

Une suite arithmétique u de raison 5 est telle que u0 = 2 et, n étant un nombre entier, \displaystyle \sum_{i = 3}^{i = n} u_i = 6456
Calculer n.



exercice 8

Déterminer quatre termes consécutifs d'une suite arithmétique sachant que leur somme est 12 et la somme de leurs carrés est 116.



exercice 9

Une suite géométrique v est croissante et ses termes sont strictement négatifs.
1. Justifier que la raison b de la suite est telle que 0 < b < 1.
2. On suppose que v_1 v_3 = \dfrac{4}{9} et v_1 + v_2 + v_3 = -\dfrac{19}{9}.
Calculer v1, v2, v3 et b.



exercice 10

Calculer les sommes S et S'.
S = 2 + 6 + 18 + ... + 118 098
S' = 2 + \dfrac{2}{3} + \dfrac{2}{9} + \cdots + \dfrac{2}{59049}



exercice 11

Une horloge sonne toutes les heures.
Quel est le nombre de sons de cloche entendus en 24 heures ?



exercice 12

Cinq personnes se trouvent dans une pièce. L'une d'entre elles remarque que leurs âges sont en progression arithmétique. Sachant que la somme des carrés de leurs âges est égale à l'année où se passe cette histoire (à savoir 1980) et qu'à elles toutes, les personnes totalisent 90 années, quel est l'âge de chacune des personnes ?



exercice 13

La taille d'un nénuphar double chaque jour. Au bout de 40 jours, il a recouvert tout l'étang. Au bout de combien de jours avait-il recouvert la moitié de l'étang ?



exercice 14

Au cours d'une bourse aux livres, un manuel scolaire perd chaque année 12% de sa valeur. Un livre a été acheté neuf en 1985, il coûtait alors 150F. Quel est son prix à la bourse aux livres de 1990 ? de 1995 ?



exercice 15

On cherche à calculer l'aire A de la surface comprise entre la portion de parabole d'équation y = -x^2 + 1 et les axes du repère (voir figure).
Pour cela, on divise [0,1] en n parties égales et l'on remarque que A est comprise entre l'aire An de la région délimitée en noir et l'aire A'n de la région délimitée en rouge.
    a) Calculer An et A'n en fonction de n.
(On admettra la formule : 1^2 + 2^2 + ... + n^2  = \dfrac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}).
    b) Calculer An et A'n pour n = 10, 10², 10³, 104, 105, 1010 à l'aide d'une calculatrice.
Quel résultat semble se dégager ?
    c) Prouver ce résultat et en déduire la valeur de A.
une longue série d'exercices divers sur les suites (28 exercices) - première : image 1




exercice 16 - Une rosace

On partage un cercle de rayon 1 en n parties égales et on dessine une rosace comme sur la figure ci-après .
Soit ln la somme des périmètres des petits cercles tracés et soit sn la somme des aires des petits disques tracés.
On se demande si :
        * ln va tendre vers 0 car les cercles sont de plus en plus petits ;
        * ln va tendre vers +\infty car il y a de plus en plus de cercles ;
        * ln va tendre vers une valeur finie.
Trouver le bon résultat par le calcul et faire le même travail pour sn.
(On admettra que pour x \geq 0, \, x - \dfrac{x^3}{6} \leq \sin x \leq x).
une longue série d'exercices divers sur les suites (28 exercices) - première : image 2




exercice 17 - La pyramide de Saqqarah

On considère une pyramide à n étages et on appelle pn le nombre de cubes qui la composent.
une longue série d'exercices divers sur les suites (28 exercices) - première : image 3

a) Trouver une formule donnant pn comme une somme de n carrés entiers.
Soit Sn = 0 + 1 + 4 + 9 + ... + n².
b) Exprimer pn en fonction de S2n-1 et Sn-1.
c) Calculer S0, S1, S2, S3. Trouver un polynôme P de degré 3,
tel que P(n) = Sn pour n infegal 3.
On admet que pour tout n, P(n) = Sn.
d) En utilisant b, exprimer pn sous forme de polynôme.
e) Application numérique :
la pyramide de Saqqarah à 6 étages. Calculer pn.



exercice 18 - Empilements de billes

a) Soit ABCDE une pyramide à base carrée ayant toutes ses arêtes égales (AD = a).
Calculer la hauteur AH de cette pyramide.

une longue série d'exercices divers sur les suites (28 exercices) - première : image 4

b) On empile des billes de même rayon R de telle sorte que chaque bille repose sur quatre billes dont les centres définissent un carré de côté 2R. Le niveau 1 contient une bille, le niveau 2 contient quatre billes.
Quel est le nombre de billes du niveau 3, du niveau 4, du niveau n (n entier naturel) ?
c) On note hn la hauteur d'un empilement à n niveaux. Démontrez que (hn) est une suite arithmétique et donnez le premier terme et la raison.



exercice 19

Montrer que chaque suite proposée a pour limite \ell.
a) u_n = \dfrac{1}{n + 3} \, , \, \ell = 0     et     v_n = \dfrac{2}{n^2} \, , \, \ell = 0
b) u_n = n^2 + 1  \, , \,  \ell = +\infty     et     v_n = 2n^3 \, , \, \ell = +\infty
c) u_n = -\sqrt{n}  \, , \,  \ell = -\infty     et     v_n = -n - 4 \, , \, \ell = -\infty
d) u_n = \dfrac{2}{n^2 + 5}  \, , \,  \ell = 0     et     v_n = n + \dfrac{1}{n} \, , \, \ell = +\infty
e) u_n = \dfrac{2n^2 - 3n + 2}{1 - n}  \, , \,  \ell = -\infty     et     v_n = \dfrac{2}{n} + \dfrac{3}{n} \, , \, \ell = 0
f) u_n = \dfrac{2n}{n+1}  \, , \,  \ell = 2     et     v_n = -n - 4 \, , \, \ell = -\infty



exercice 20

Montrer que les suites proposées tendent vers une limite à préciser.
a) u_n = \dfrac{3}{2\sqrt{n} + 7}     ;     v_n = \dfrac{n-1}{n^2 + 1}     ;     w_n = \dfrac{n^2 - 1}{2n^2 + n}
b) u_n = \dfrac{2\sqrt{n}}{3n^2 + 4}     ;     v_n = -n^2 - n + 1     ;     w_n = \dfrac{-2n+1}{4n+1}
c) u_n = (2n + 1)^2     ;     v_n = -n - \dfrac{3}{n}     ;     w_n = \dfrac{4n^2 + 1}{n(2n+1)}



exercice 21

Etudier d'abord la limite de la suite géométrique (u_n), puis celle de la suite (v_n).
a) u_n = 2^n     ;     v_n = 1 + \dfrac{1}{2^n}
b) u_n = \left(\dfrac{1}{3}\right)^n     ;     v_n = \dfrac{1}'n} + \left(\dfrac{1}{3}\right)^n
c) u_n = \left(-\dfrac{1}{4}\right)^n     ;     v_n = 7 + \dfrac{5}{3} \left(-\dfrac{1}{4}\right)^n
d) u_n = -5^n     ;     v_n = 2 - 5^n



exercice 22

Montrer que la suite (u_n) satisfait la relation (R), puis en déduire la limite de cette suite.
a) u_n = \dfrac{\cos n}{n + 1} ;       (R) : |u_n| \leq \dfrac{1}{n+1}
b) u_n = \sin(2n) + n ;       (R) : |u_n| \geq n-1
c) u_n = \dfrac{n + (-1)^n}{n^2 + 1} ;       (R) : |u_n| \leq \dfrac{n+1}{n^2+1}
d) u_n = \dfrac{(-1)^n + n}{(-1)^n + 2} ;       (R) : |u_n| \geq \dfrac{n-1}{3}



exercice 23

a) Vérifier que la suite \left(\dfrac{4^n}{n^2}\right) est croissante.
b) En déduire que \left(\dfrac{4^n}{n}\right) tend vers +\infty.
c) Déterminer la limite de \left(\dfrac{4^n + n}{4^n + 2n}\right) .



exercice 24

Dans chacun des cas ci-dessous, étudier le comportement à l'infini de la suite (un), en utilisant des majorations ou des minorations.
a) u_n = \dfrac{n+1}{n^2+2}
b) u_n = \dfrac{2n+3}{3n-4}
c) u_n = \dfrac{(-1)^n \sin n}{n^2 -1}
d) u_n = \dfrac{n^2 + 4}{n - 1}
e) u_n = \dfrac{2n^2 - 3n + 2}{1 - n}
f) u_n = \dfrac{1 + (-1)^n}{2^n}



exercice 25

En utilisant les opérations sur les limites, déterminer le comportement à l'infini de la suite (un) dans chacun des cas ci-dessous:
a) u_n = \dfrac{4n-1}{n + 4}
b) u_n = \dfrac{2n^2 - 5n + 3}{n + 4}
c) u_n = \dfrac{n + 3}{n^2 + 4}
d) u_n = \left(\dfrac{3}{4}\right)^n + \dfrac{n}{n+1}
e) u_n = \dfrac{2^n + n}{3^n(n + 1)}



exercice 26

Soit la suite définie par u_0 = 0 et u_{n+1} = \dfrac{1}{2}\sqrt{u_n^2 + 12}.
a) Déterminer les cinq premiers termes de cette suite. Quel semble être la limite de (un) ?
b) Montrer que la suite (vn) définie par vn = un²-4 est géométrique.
En déduire la limite de la suite (vn) puis celle de la suite (un).

exercice 27

Soit la suite définie par u_0 = 1 et u_{n+1} = \dfrac{3u_n + 2}{u_n + 2}.
a) Donner une valeur approchée à 10-3 près de u1, u2, u3, u4, u5.
b) Montrer par récurrence que si 0 infegal un infegal 2, alors 0 infegal un+1 infegal 2.
c) Résoudre l'inéquation - x² + x + 2 supegal 0.
Exprimer un+1 - un en fonction de un . Déduire de ce qui précède que un+1 - un supegal 0 pour tout entier n. Quel est le sens de variation de la suite (un) ?
d) Montrer que pour tout n, |u_{n+1} - 2| \leq \dfrac{1}{2}|u_n - 2| .
En déduire que pour tout n, |u_n - 2| \leq \left(\dfrac{1}{2}\right)^n |u_0 - 2|.
Que peut-on en conclure sur la convergence de la suite (un) ?



exercice 28

Soit (un) la suite définie par \left \lbrace \begin{array}{l} u_0 \geq -3 \\ u_{n+1} = \sqrt{3 + u_n} \\ \end{array} \right.
a) Prenons u0 = 0. Constater, à l'aide d'une calculatrice, que (un) semble converger vers une valeur l dont on donnera une valeur approchée)
Vérifier la même propriété en choisissant une autre valeur initiale u0.
b) Quelle valeur de u0 faut-il prendre pour que la suite (un) soit stationnaire ?
c) Nous allons maintenant prouver que (un) converge bien vers \ell.
Montrer que (u_{n+1} - \ell)(u_{n+1} + \ell) = u_n - \ell pour tout entier n.
En déduire que |u_{n+1} - \ell| \leq \dfrac{|u_n - \ell|}{\ell} puis que |u_n - \ell| \leq \dfrac{|u_0 - \ell|}{\ell^n} et conclure.









Merci à dolphie pour avoir contribué à l'élaboration de cette fiche



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