On connaît le célèbre théorème de Pythagore : dans un triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des côtés de l'angle droit.
A l'aide de la figure ci-contre, on a :
Que ce passe-t-il si le triangle est quelconque ? Qu'est le nombre ? A-t-il une signification géométrique ? vectorielle ? analytique ?
Le produit scalaire va apporter une réponse.
Soit ABC un triangle.
Soit H le projeté orthogonal de B sur la droite (AC).
Trois cas se présentent :
Dans les trois cas, on a d'après le théorème de Pythagore dans le triangle BHC rectangle en H :
BC² = HB² + HC²
Donc : 2 = AB² + AC² - (HB² + HC²) = AB² - HB² + AC² - HC²
D'après le théorème de Pythagore dans le triangle ABH rectangle en H, on a :
AB² = HB² + AH²
Donc : 2 = HB² + AH² - HB² + AC² - HC² = AH² + AC² - HC²
Dans le cas (II) : 2 = AH² + AC² - (AH + AC)²
= AH² + AC² - (AH² + 2AH × AC + AC²)
= -2AH × AC
D'où : = - AH × AC
Dans les cas (I) et (III) : 2 = AH² + AC² - (AC - AH)²
= AH² + AC² - (AC² - 2AC × AH + AH²)
= 2 AC × AH
D'où : = AC × AH
En résumé, Le nombre exprime le produit scalaire des vecteurs et . Il sera noté
Définition : Soient et deux vecteurs.
On appelle produit sclaire des vecteurs et le nombre réel noté défini par :
Remarques : On note le produit scalaire Lorsque ou , on obtient
II. Expressions du produit scalaire
Théorème : Dans un repère orthonormal, si a pour coordonnées (x; y) et a pour coordonnées (x'; y'),
alors le produit scalaire des vecteurs et est donné par :
Démonstration : Dans ces conditions,
Le vecteur a pour coordonnées (x + x'; y + y'), donc . D'où :
Théorème : Si et sont deux vecteurs non nuls,
alors le produit scalaire des vecteurs et est donné par
Démonstration : Posons et .
Choisissons un repère orthonormal direct tel que et soient colinéaires et de même sens.
Si on désigne par (x; y) les coordonnées du vecteur on a :
Si on désigne par (x'; y') les coordonnées du vecteur on a :
Or, les vecteurs et sont colinéaires et de même sens, donc (.
Donc : Donc :
Théorème : Soient et deux vecteurs.
Soient C' et D' les projetés orthogonaux des points C et D sur la droite (AB).
Alors
Démonstration : Choisissons un repère orthonormal tel que les vecteurs et soient colinéaires.
On a : Donc : D'où :
Remarques : Si les vecteurs et sont de même sens, alors Si les vecteurs et sont de sens contraires, alors
Exemple 1 :
Soit ABC un triangle rectangle en A. Alors :
1. 2. Exemple 2 :
Soit ABCD un carré de centre O tel que AB = 4.
1. 2. 3. 4. où P est le milieu de [DC].
Exemple 3 : Soient les vecteurs donnés par la figure ci-dessous.
Alors, , c'est-à-dire que le produit scalaire de par tout vecteur dont l'origine est sur la droite verticale passant par C et l'extrémité sur la droite verticale passant par D vaut Cela détermine donc une bande perpendiculaire à la droite (AB) avec laquelle tous les vecteurs ont le même produit scalaire avec le vecteur .
III. Analogie avec la physique
1. Cas de vecteurs colinéaires
En physique, lorsqu'une force de 10 N est appliquée sur un objet et que celui-ci se déplace de 2 m dans le sens de la force, alors on a ce que les physiciens appellent un travail moteur de 20 J :
où F est l'intensité de la force (en newtons)
et d le déplacement (en mètres)
W = F × d
Si par contre, le déplacement a lieu dans le sens opposé à celui de la force, on a un travail résistant de -20 J :
où F est l'intensité de la force (en newtons)
et d le déplacement (en mètres)
W = - F × d
L'unité de mesure du travail est le newton-mètre (Nm) ou le joule (J).
Dans les deux cas cités ci-dessus, le vecteur force et le vecteur déplacement sont dans la même direction : ils sont colinéaires.
2. Cas de vecteurs quelconques
Toujours en physique, lorsque les vecteurs sont quelconques, on a :
W = - F' × d où F' est la projection orthogonale de F sur d.
W = F' × d où F' est la projection orthogonale de F sur d.
En mathématiques, nous retrouvons la deuxième définition.
Ainsi, si sont deux vecteurs quelconques et est la projection orthogonale de sur , alors les vecteurs sont colinéaires et il suffit d'appliquer la définition précédente lorsque les vecteurs sont colinéaires.
Donc,
IV. Règles de calcul
Théorème : Quels que soient les vecteurs et le réel 1. [commutativité du produit scalaire]
2. [linéarité du produit scalaire]
Démonstration : Choisissons un repère orthonormal .
1. D'où : 2. Donc :
Donc :
Exemple 1 :
Exemple 2 :
Quelques produits scalaires remarquables :
Démonstration :
V. Produit scalaire et orthogonalité
Si le vecteur est orthogonal au vecteur , alors sa projection orthogonale sur est le vecteur nul.
Définition : Soient deux vecteurs non nuls.
sont orthogonaux si les droites (AB) et (CD) sont perpendicualires.
Convention : Le vecteur nul est orthogonal à tout autre vecteur.
Théorème : Deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul.
Démonstration : Si Le résultat est immédiat.
Si les vecteurs sont non nuls :
Les vecteurs sont orthogonaux.
Théorème : Dans un repère orthonormal, soient deux vecteurs non nuls de coordonnées respectives (x; y) et (x'; y').
Les vecteurs sont orthogonaux si et seulement si xx' + yy' = 0
Démonstration : C'est une conséquence du théorème précédent.
sont orthogonaux