Fiche de mathématiques
Chapitre : produit scalaire

Produit Scalaire

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Introduction
Cette fiche de cours vous permettra d'en savoir plus sur le produit scalaire, notion au programme de mathématiques en 1ère.
Ce cours décrit le produit scalaire en 5 parties, avec tout d'abord une définition, des notions sur les expressions dédiées aux produits scalaires, puis une analogie avec la physique. Enfin, nous aborderons quelques règles de calcul et ainsi qu'une partie nommée "produit scalaire et orthogonalité".




I. Définition du produit scalaire

On connaît le célèbre théorème de Pythagore : dans un triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des côtés de l'angle droit.

Produit	scalaire, cours gratuit de maths - 1ère : image 1
A l'aide de la figure ci-contre, on a :
AB^2 + AC^2 = BC^2 \Longleftrightarrow AB^2 + AC^2 - BC^2 = 0 \Longleftrightarrow \frac{1}{2} (AB^2 + AC^2 - BC^2) = 0
Que ce passe-t-il si le triangle est quelconque ? Qu'est le nombre \Delta = \displaystyle \frac{1}{2}(AB^2 + AC^2 - BC^2) ? A-t-il une signification géométrique ? vectorielle ? analytique ?
Le produit scalaire va apporter une réponse.

Soit ABC un triangle.
Soit H le projeté orthogonal de B sur la droite (AC).
Trois cas se présentent :
Produit	scalaire, cours gratuit de maths - 1ère : image 2

Dans les trois cas, on a d'après le théorème de Pythagore dans le triangle BHC rectangle en H :
BC² = HB² + HC²
Donc : 2\Delta = AB² + AC² - (HB² + HC²) = AB² - HB² + AC² - HC²
D'après le théorème de Pythagore dans le triangle ABH rectangle en H, on a :
AB² = HB² + AH²
Donc : 2\Delta = HB² + AH² - HB² + AC² - HC² = AH² + AC² - HC²

Dans le cas (II) :
2\Delta = AH² + AC² - (AH + AC)²
= AH² + AC² - (AH² + 2AH × AC + AC²)
= -2AH × AC
D'où : \Delta = - AH × AC

Dans les cas (I) et (III) :
2\Delta = AH² + AC² - (AC - AH)²
= AH² + AC² - (AC² - 2AC × AH + AH²)
= 2 AC × AH
D'où : \Delta = AC × AH

En résumé, \Delta = \frac{1}{2}(AB^2 + AC^2 - BC^2) = \left \lbrace \begin{array}{l} AC \times AH \hspace{20pt} \text{lorsque H et C sont du même côte par rapport à A}\\ -AC \times AH \hspace{20pt} \text{lorsque H et C sont de part et d'autre de A}\\ \end{array} \right.
Le nombre \Delta exprime le produit scalaire des vecteurs \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AC}. Il sera noté \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}
Définition :
Soient \vec{u} et \vec{v} deux vecteurs.
On appelle produit sclaire des vecteurs \vec{u} et \vec{v} le nombre réel noté \vec{u} \cdot \vec{v} défini par : \vec{u} \cdot \vec{v} = \frac12(||\vec{u} + \vec{v}||^2 - ||\vec{u}||^2 - ||\vec{v}||^2)


Remarques :
On note \vec{u}^2 le produit scalaire \vec{u} \cdot \vec{u}
        \vec{u}^2 = \vec{u} \cdot \vec{u}
Lorsque \vec{u} = \overrightarrow{0} ou \vec{v} = \overrightarrow{0}, on obtient \vec{u} \cdot \vec{v} = 0


II. Expressions du produit scalaire

Théorème :
Dans un repère orthonormal, si \vec{u} a pour coordonnées (x ; y) et \vec{v} a pour coordonnées (x'; y'),
alors le produit scalaire des vecteurs \vec{u} et  \vec{v} est donné par : \vec{u} \cdot \vec{v} = xx' + yy'


Démonstration :
Dans ces conditions,
||\vec{u}||^2 = x^2 + y^2 \text{\hspace{25pt} et \hspace{25pt}} ||\vec{v}||^2 = x'^2 + y'^2
Le vecteur \vec{u} + \vec{v} a pour coordonnées (x + x'; y + y'), donc ||\vec{u} + \vec{v}||^2 = (x + x')^2 + (y + y')^2. D'où :
\vec{u} \cdot \vec{v} = \frac12 \left[||\vec{u} + \vec{v}||^2 - ||\vec{u}||^2 - ||\vec{v}||^2\right]\\ \hspace{10pt} = \frac12\left[(x + x')^2 + (y + y')^2 - (x^2 + y^2) - (x'^2 + y'^2)\right] \\\hspace{10pt} = \frac12\left[x^2 + 2xx' + x'^2 + y^2 + 2yy' + y'^2 - x^2 - y^2 - x'^2 - y'^2\right] \\\hspace{10pt} = xx' + yy'
Théorème :
Si  \vec{u} et  \vec{v} sont deux vecteurs non nuls,
alors le produit scalaire des vecteurs  \vec{u} et  \vec{v} est donné par  \vec{u} \cdot \vec{v} = ||\vec{u}|| \times ||\vec{v}|| \times \cos(\vec{u}, \vec{v})


Démonstration :
Posons  \vec{u} = \overrightarrow{OA} et  \vec{v} = \overrightarrow{OB}.
Choisissons un repère orthonormal direct (O; \vec{i}, \vec{j}) tel que  \vec{i} et  \overrightarrow{OA} soient colinéaires et de même sens.
Produit	scalaire, cours gratuit de maths - 1ère : image 3
Si on désigne par (x; y) les coordonnées du vecteur \overrightarrow{OA} on a :
x = OA = ||\vec{u}|| \hspace{50pt} \text{ et } \hspace{50pt} y = 0
Si on désigne par (x'; y') les coordonnées du vecteur \overrightarrow{OB} on a :
x' = ||\vec{v}||\cos(\vec{i}, \vec{v}) \hspace{50pt}\text{ et } \hspace{50pt} y' = ||\vec{v}||\sin(\vec{i}, \vec{v})
Or, les vecteurs \vec{i} et \vec{u} sont colinéaires et de même sens, donc (\vec{i}, \vec{v}) = (\vec{u}, \vec{v}).
Donc : x' = ||\vec{v}||\cos(\vec{u}, \vec{v}) \hspace{50pt} \text{ et } \hspace{50pt} y' = ||\vec{v}||\sin(\vec{u}, \vec{v})
Donc : \vec{u} \cdot \vec{v} = xx' + yy' = ||\vec{u}|| \times ||\vec{v}|| \cos(\vec{u}, \vec{v})
Théorème :
Soient \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{CD} deux vecteurs.
Soient C' et D' les projetés orthogonaux des points C et D sur la droite (AB).
Alors \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{C'D'}
Produit	scalaire, cours gratuit de maths - 1ère : image 4


Démonstration :
Choisissons un repère orthonormal (A; \vec{i}, \vec{j}) tel que les vecteurs \vec{i} et \overrightarrow{AB} soient colinéaires.
Produit	scalaire, cours gratuit de maths - 1ère : image 5
On a : \overrightarrow{AB}(x_B; 0) \hspace{25pt} \overrightarrow{CD}(x_D - x_C; y_D - y_C) \hspace{25pt} \overrightarrow{C'D'}(x_D - x_C; 0)
Donc : \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD} = x_B(x_D - x_C) \hspace{25pt} \tex{ et } \hspace{25pt} \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{C'D'} = x_B(x_D - x_C)
D'où : \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{C'D'}


Remarques :
Si les vecteurs \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{C'D'} sont de même sens, alors \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD} = AB \times C'D'
Si les vecteurs \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{C'D'} sont de sens contraires, alors \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD} = - AB \times C'D'

Exemple 1 :
Produit	scalaire, cours gratuit de maths - 1ère : image 1
Soit ABC un triangle rectangle en A. Alors :
1. \overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BA} = \overrightarrow{BA}^2 = BA^2
2. \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{0} = 0

Exemple 2 :
Produit	scalaire, cours gratuit de maths - 1ère : image 6
Soit ABCD un carré de centre O tel que AB = 4.
1. \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} = 0
2. \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BA} = - \overrightarrow{AB}^2 = -16
3. \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AB}^2 = 16
4. \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{DO} = \overrightarrow{DC} \cdot \overrightarrow{DO} = \overrightarrow{DC} \cdot \overrightarrow{DP} = 8 où P est le milieu de [DC].

Exemple 3 :
Produit	scalaire, cours gratuit de maths - 1ère : image 7

Soient les vecteurs \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{MN}, \overrightarrow{PQ}, \overrightarrow{RS}, \overrightarrow{CD} donnés par la figure ci-dessous.
Alors, \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{MN} = \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{RS} = \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD}, c'est-à-dire que le produit scalaire de \overrightarrow{AB} par tout vecteur dont l'origine est sur la droite verticale passant par C et l'extrémité sur la droite verticale passant par D vaut \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD}
Cela détermine donc une bande perpendiculaire à la droite (AB) avec laquelle tous les vecteurs ont le même produit scalaire avec le vecteur \overrightarrow{AB}.


III. Analogie avec la physique

1. Cas de vecteurs colinéaires

En physique, lorsqu'une force de 10 N est appliquée sur un objet et que celui-ci se déplace de 2 m dans le sens de la force, alors on a ce que les physiciens appellent un travail moteur de 20 J : Produit	scalaire, cours gratuit de maths - 1ère : image 9
où F est l'intensité de la force (en newtons)
et d le déplacement (en mètres)
W = F × d
Si par contre, le déplacement a lieu dans le sens opposé à celui de la force, on a un travail résistant de -20 J : Produit	scalaire, cours gratuit de maths - 1ère : image 10
où F est l'intensité de la force (en newtons)
et d le déplacement (en mètres)
W = - F × d

L'unité de mesure du travail est le newton-mètre (Nm) ou le joule (J).
Dans les deux cas cités ci-dessus, le vecteur force et le vecteur déplacement sont dans la même direction : ils sont colinéaires.

2. Cas de vecteurs quelconques

Toujours en physique, lorsque les vecteurs sont quelconques, on a :
Produit	scalaire, cours gratuit de maths - 1ère : image 11
W = F' × d où F' est la projection orthogonale de F sur d.
Produit	scalaire, cours gratuit de maths - 1ère : image 12
W = - F' × d où F' est la projection orthogonale de F sur d.

En mathématiques, nous retrouvons la deuxième définition.
Ainsi, si \vec{u} \text{ et } \vec{v} sont deux vecteurs quelconques et \overrightarrow{v'} est la projection orthogonale de \vec{v} sur \vec{u}, alors les vecteurs \vec{u} \text{ et } \vec{v} sont colinéaires et il suffit d'appliquer la définition précédente lorsque les vecteurs sont colinéaires.
Donc,
Produit	scalaire, cours gratuit de maths - 1ère : image 13\vec{u} \cdot \vec{v} = ||\vec{u}|| \times ||\overrightarrow{v'}||Produit	scalaire, cours gratuit de maths - 1ère : image 14\vec{u} \cdot \vec{v} = - ||\vec{u}|| \times ||\overrightarrow{v'}||



IV. Règles de calcul

Théorème :
Quels que soient les vecteurs \vec{u}, \vec{v} \text{ et } \overrightarrow{w} et le réel \lambda
1. \vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{v} \cdot \vec{u} [commutativité du produit scalaire]
2. \vec{u} \cdot (\vec{v} + \overrightarrow{w}) = \vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{u} \cdot \overrightarrow{w}
\vec{u} \cdot (\lambda \vec{v}) = \lambda \vec{u} \cdot \vec{v} [linéarité du produit scalaire]


Démonstration :
Choisissons un repère orthonormal (O; \vec{i}, \vec{j}).
\vec{u}(x; y) \hspace{20pt} \vec{v}(x'; y')  \hspace{20pt} \overrightarrow{w}(x''; y'')
1. \vec{u} \cdot \vec{v} = xx' + yy' \hspace{20pt} \tex{ et } \hspace{20pt} \vec{v} \cdot \vec{u} = xx' + yy'
D'où : \vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{v} \cdot \vec{u}
2. \vec{u} + \overrightarrow{w}(x' + x''; y' + y'') Donc :
\vec{u} \cdot (\vec{v} + \overrightarrow{w}) = x(x' + x'') + y(y' + y'')\\  \hspace{48pt}= (xx' + yy') + (xx'' + yy'')\\  \hspace{48pt}= \vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{u} \cdot \overrightarrow{w}

\lambda \vec{v}(\lambda x'; \lambda y') Donc :
\vec{u} \cdot (\lambda \vec{v}) = x \times \lambda x' + y \times \lambda y'\\ \hspace{50pt} = \lambda (xx' + yy')\\ \hspace{50pt} = \lambda (\vec{u} \cdot \vec{v})

Exemple 1 :
7\vec{u} \cdot (4\vec{u} + 3\vec{v}) = (7\vec{u}) \cdot (4\vec{u}) + (7\vec{u}) \cdot (3\vec{v})\\ \hspace{60pt} = 28\vec{u}^2 + 21 \vec{u} \cdot \vec{v}

Exemple 2 :
(-\vec{u} + 3\vec{v}) \cdot (2\vec{u} + 5\vec{v}) = (-\vec{u}) \cdot (2\vec{u}) + (-\vec{u}) \cdot (5\vec{v}) + (3\vec{v}) \cdot (2\vec{u}) + (3\vec{v}) \cdot (5\vec{v})\\ \hspace{95pt} = -2\vec{u}^2 - 5\vec{u} \cdot \vec{v} + 6\vec{v} \cdot \vec{u} + 15\vec{v}^2\\ \hspace{95pt} = -2\vec{u}^2 - 5\vec{u} \cdot \vec{v} + 6\vec{u} \cdot \vec{v} + 15\vec{v}^2\\ \hspace{95pt} = -2\vec{u}^2 + \vec{u} \cdot \vec{v} + 15\vec{v}^2\\
Quelques produits scalaires remarquables
\begin{array}{lll} (\vec{u} + \vec{v})^2 = \vec{u}^2 + 2\vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{v}^2 & \hspace{25pt} \text{ et } \hspace{25pt} & ||\vec{u} + \vec{v}||^2 = ||\vec{u}||^2 + 2\vec{u} \cdot \vec{v} + ||\vec{v}||^2\\ (\vec{u} - \vec{v})^2 = \vec{u}^2 - 2\vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{v}^2 & \hspace{25pt}\text{ et } \hspace{25pt} & ||\vec{u} - \vec{v}||^2 = ||\vec{u}||^2 - 2\vec{u} \cdot \vec{v} + ||\vec{v}||^2\\ (\vec{u} + \vec{v})(\vec{u} - \vec{v}) = \vec{u}^2 - \vec{v}^2 & \hspace{25pt}\text{ et } \hspace{25pt} & (\vec{u} + \vec{v})(\vec{u} - \vec{v}) = ||\vec{u}||^2 - ||\vec{v}||^2\\ \end{array}


Démonstration :
(\vec{u} + \vec{v})^2 = (\vec{u} + \vec{v}) \cdot (\vec{u} + \vec{v}) = \vec{u} \cdot \vec{u} + \vec{u} \cdot\vec{v} + \vec{v} \cdot \vec{u} + \vec{v} \cdot \vec{v} = \vec{u}^2 + 2 \vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{v}^2
 (\vec{u} - \vec{v})^2 = (\vec{u} - \vec{v}) \cdot (\vec{u} - \vec{v}) = \vec{u} \cdot \vec{u} - \vec{u} \cdot\vec{v} - \vec{v} \cdot \vec{u} + \vec{v} \cdot \vec{v} = \vec{u}^2 - 2 \vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{v}^2\\ (\vec{u} + \vec{v}) \cdot (\vec{u} - \vec{v}) = \vec{u} \cdot \vec{u} - \vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{v} \cdot \vec{u} - \vec{v} \cdot \vec{v} = \vec{u}^2 - \vec{v}^2


V. Produit scalaire et orthogonalité

Si le vecteur \vec{v} est orthogonal au vecteur \vec{u}, alors sa projection orthogonale sur \vec{u} est le vecteur nul.
Définition :
Soient \vec{u} \text{ et } \vec{v} deux vecteurs non nuls.
\vec{u} = \overrightarrow{AB} \text{ et } \vec{v} = \overrightarrow{CD} sont orthogonaux si les droites (AB) et (CD) sont perpendicualires.


Produit	scalaire, cours gratuit de maths - 1ère : image 8
Convention : Le vecteur nul est orthogonal à tout autre vecteur.
Théorème :
Deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul.
\vec{u} \perp \vec{v} \Longleftrightarrow \vec{u} \cdot \vec{v} = 0


Démonstration :
Si \vec{u} = \overrightarrow{0} \text{ ou } \vec{v} = \overrightarrow{0}
Le résultat est immédiat.
Si les vecteurs sont non nuls :
\vec{u} \cdot \vec{v} = ||\vec{u}|| \times ||\vec{v}|| \times \cos(\vec{u}, \vec{v})\\ \vec{u} \cdot \vec{v} = 0 \text{ si et seulement si } \cos(\vec{u}, \vec{v}) = 0 \text{ car } ||\vec{u}|| \neq 0 \text{ et } ||\vec{v}|| \neq 0\\ \text{Donc : } (\vec{u}, \vec{v}) = \frac{\pi}{2} + k\pi (k \in \mathbb{Z})
Les vecteurs \vec{u} \text{ et } \vec{v} sont orthogonaux.
Théorème :
Dans un repère orthonormal, soient deux vecteurs \vec{u} \text{ et } \vec{v} non nuls de coordonnées respectives (x; y) et (x'; y').
Les vecteurs \vec{u} \text{ et } \vec{v} sont orthogonaux si et seulement si xx' + yy' = 0


Démonstration :
C'est une conséquence du théorème précédent.
\vec{u} \text{ et } \vec{v} sont orthogonaux
\Longleftrightarrow \vec{u} \cdot \vec{v} = 0\\ \Longleftrightarrow xx' + yy' = 0
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