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Produit Scalaire

I. Définition du produit scalaire

On connaît le célèbre théorème de Pythagore : dans un triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des côtés de l'angle droit.

A l'aide de la figure ci-contre, on a :
$\text{[math]}$

Que ce passe-t-il si le triangle est quelconque ? Qu'est le nombre $\text{[math]}$ ? A-t-il une signification géométrique ? vectorielle ? analytique ?
Le produit scalaire va apporter une réponse.

Soit ABC un triangle.
Soit H le projeté orthogonal de B sur la droite (AC).
Trois cas se présentent :

Dans les trois cas, on a d'après le théorème de Pythagore dans le triangle BHC rectangle en H :
BC² = HB² + HC²
Donc : 2 $\text{[math]}$ = AB² + AC² - (HB² + HC²) = AB² - HB² + AC² - HC²
D'après le théorème de Pythagore dans le triangle ABH rectangle en H, on a :
AB² = HB² + AH²
Donc : 2 $\text{[math]}$ = HB² + AH² - HB² + AC² - HC² = AH² + AC² - HC²

Dans le cas (II) :
2 $\text{[math]}$ = AH² + AC² - (AH + AC)²
= AH² + AC² - (AH² + 2AH × AC + AC²)
= -2AH × AC
D'où : $\text{[math]}$ = - AH × AC

Dans les cas (I) et (III) :
2 $\text{[math]}$ = AH² + AC² - (AC - AH)²
= AH² + AC² - (AC² - 2AC × AH + AH²)
= 2 AC × AH
D'où : $\text{[math]}$ = AC × AH

En résumé, $\text{[math]}$
Le nombre $\text{[math]}$ exprime le produit scalaire des vecteurs $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ . Il sera noté $\text{[math]}$

Définition :
Soient $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ deux vecteurs.
On appelle produit sclaire des vecteurs $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ le nombre réel noté $\text{[math]}$ défini par : $\text{[math]}$

Remarques :

On note $\text{[math]}$ le produit scalaire $\text{[math]}$
$\text{[math]}$

Lorsque $\text{[math]}$ ou $\text{[math]}$ , on obtient $\text{[math]}$

II. Expressions du produit scalaire

Théorème :
Dans un repère orthonormal, si $\text{[math]}$ a pour coordonnées (x; y) et $\text{[math]}$ a pour coordonnées (x'; y'),
alors le produit scalaire des vecteurs $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ est donné par : $\text{[math]}$

Démonstration :
Dans ces conditions,
$\text{[math]}$
Le vecteur $\text{[math]}$ a pour coordonnées (x + x'; y + y'), donc $\text{[math]}$ . D'où :
$\text{[math]}$

Théorème :
Si $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ sont deux vecteurs non nuls,
alors le produit scalaire des vecteurs $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ est donné par $\text{[math]}$

Démonstration :
Posons $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ .
Choisissons un repère orthonormal direct $\text{[math]}$ tel que $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ soient colinéaires et de même sens.

Si on désigne par (x; y) les coordonnées du vecteur $\text{[math]}$ on a :
$\text{[math]}$
Si on désigne par (x'; y') les coordonnées du vecteur $\text{[math]}$ on a :
$\text{[math]}$
Or, les vecteurs $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ sont colinéaires et de même sens, donc ( $\text{[math]}$ .
Donc : $\text{[math]}$
Donc : $\text{[math]}$

Théorème :
Soient $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ deux vecteurs.
Soient C' et D' les projetés orthogonaux des points C et D sur la droite (AB).
Alors $\text{[math]}$

Démonstration :
Choisissons un repère orthonormal $\text{[math]}$ tel que les vecteurs $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ soient colinéaires.

On a : $\text{[math]}$
Donc : $\text{[math]}$
D'où : $\text{[math]}$

Remarques :

Si les vecteurs $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ sont de même sens, alors $\text{[math]}$

Si les vecteurs $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ sont de sens contraires, alors $\text{[math]}$

Exemple 1 :

Soit ABC un triangle rectangle en A. Alors :
1. $\text{[math]}$
2. $\text{[math]}$

Exemple 2 :

Soit ABCD un carré de centre O tel que AB = 4.
1. $\text{[math]}$
2. $\text{[math]}$
3. $\text{[math]}$
4. $\text{[math]}$ où P est le milieu de [DC].

Exemple 3 :

Soient les vecteurs $\text{[math]}$ donnés par la figure ci-dessous.
Alors, $\text{[math]}$ , c'est-à-dire que le produit scalaire de $\text{[math]}$ par tout vecteur dont l'origine est sur la droite verticale passant par C et l'extrémité sur la droite verticale passant par D vaut $\text{[math]}$
Cela détermine donc une bande perpendiculaire à la droite (AB) avec laquelle tous les vecteurs ont le même produit scalaire avec le vecteur $\text{[math]}$ .

III. Analogie avec la physique

1. Cas de vecteurs colinéaires

En physique, lorsqu'une force de 10 N est appliquée sur un objet et que celui-ci se déplace de 2 m dans le sens de la force, alors on a ce que les physiciens appellent un travail moteur de 20 J :

où F est l'intensité de la force (en newtons)
et d le déplacement (en mètres)
W = F × d

Si par contre, le déplacement a lieu dans le sens opposé à celui de la force, on a un travail résistant de -20 J :

où F est l'intensité de la force (en newtons)
et d le déplacement (en mètres)
W = - F × d

L'unité de mesure du travail est le newton-mètre (Nm) ou le joule (J).
Dans les deux cas cités ci-dessus, le vecteur force et le vecteur déplacement sont dans la même direction : ils sont colinéaires.

2. Cas de vecteurs quelconques

Toujours en physique, lorsque les vecteurs sont quelconques, on a :

W = - F' × d où F' est la projection orthogonale de F sur d.

W = F' × d où F' est la projection orthogonale de F sur d.

En mathématiques, nous retrouvons la deuxième définition.
Ainsi, si $\text{[math]}$ sont deux vecteurs quelconques et $\text{[math]}$ est la projection orthogonale de $\text{[math]}$ sur $\text{[math]}$ , alors les vecteurs $\text{[math]}$ sont colinéaires et il suffit d'appliquer la définition précédente lorsque les vecteurs sont colinéaires.
Donc,

$\text{[math]}$

IV. Règles de calcul

Théorème :
Quels que soient les vecteurs $\text{[math]}$ et le réel $\text{[math]}$
1. $\text{[math]}$ [commutativité du produit scalaire]
2. $\text{[math]}$ [linéarité du produit scalaire]

Démonstration :
Choisissons un repère orthonormal $\text{[math]}$ .
$\text{[math]}$
1. $\text{[math]}$
D'où : $\text{[math]}$
2. $\text{[math]}$ Donc :
$\text{[math]}$

$\text{[math]}$ Donc :
$\text{[math]}$

Exemple 1 :
$\text{[math]}$

Exemple 2 :
$\text{[math]}$

Quelques produits scalaires remarquables :
$\text{[math]}$

Démonstration :
$\text{[math]}$

V. Produit scalaire et orthogonalité

Si le vecteur $\text{[math]}$ est orthogonal au vecteur $\text{[math]}$ , alors sa projection orthogonale sur $\text{[math]}$ est le vecteur nul.

Définition :
Soient $\text{[math]}$ deux vecteurs non nuls.
$\text{[math]}$ sont orthogonaux si les droites (AB) et (CD) sont perpendicualires.

Convention : Le vecteur nul est orthogonal à tout autre vecteur.

Théorème :
Deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul.
$\text{[math]}$

Démonstration :

Si $\text{[math]}$
Le résultat est immédiat.

Si les vecteurs sont non nuls :
$\text{[math]}$
Les vecteurs $\text{[math]}$ sont orthogonaux.

Théorème :
Dans un repère orthonormal, soient deux vecteurs $\text{[math]}$ non nuls de coordonnées respectives (x; y) et (x'; y').
Les vecteurs $\text{[math]}$ sont orthogonaux si et seulement si xx' + yy' = 0