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Fiche de mathématiques







I. Définition du produit scalaire

On connaît le célèbre théorème de Pythagore : dans un triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des côtés de l'angle droit.

produit	scalaire (première) : image 1
A l'aide de la figure ci-contre, on a :
AB^2 + AC^2 = BC^2 \Longleftrightarrow AB^2 + AC^2 - BC^2 = 0 \Longleftrightarrow \frac{1}{2} (AB^2 + AC^2 - BC^2) = 0

Que ce passe-t-il si le triangle est quelconque ? Qu'est le nombre \Delta = \displaystyle \frac{1}{2}(AB^2 + AC^2 - BC^2) ? A-t-il une signification géométrique ? vectorielle ? analytique ?
Le produit scalaire va apporter une réponse.

Soit ABC un triangle.
Soit H le projeté orthogonal de B sur la droite (AC).
Trois cas se présentent :
produit	scalaire (première) : image 2

Dans les trois cas, on a d'après le théorème de Pythagore dans le triangle BHC rectangle en H :
BC² = HB² + HC²
Donc : 2\Delta = AB² + AC² - (HB² + HC²) = AB² - HB² + AC² - HC²
D'après le théorème de Pythagore dans le triangle ABH rectangle en H, on a :
AB² = HB² + AH²
Donc : 2\Delta = HB² + AH² - HB² + AC² - HC² = AH² + AC² - HC²

Dans le cas (II) :
2\Delta = AH² + AC² - (AH + AC)²
= AH² + AC² - (AH² + 2AH × AC + AC²)
= -2AH × AC
D'où : \Delta = - AH × AC

Dans les cas (I) et (III) :
2\Delta = AH² + AC² - (AC - AH)²
= AH² + AC² - (AC² - 2AC × AH + AH²)
= 2 AC × AH
D'où : \Delta = AC × AH

En résumé, \Delta = \frac{1}{2}(AB^2 + AC^2 - BC^2) = \left \lbrace \begin{array}{l} AC \times AH \hspace{20pt} \text{lorsque H et C sont du même côte par rapport à A}\\ -AC \times AH \hspace{20pt} \text{lorsque H et C sont de part et d'autre de A}\\ \end{array} \right.
Le nombre \Delta exprime le produit scalaire des vecteurs \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AC}. Il sera noté \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}
Définition :
Soient \vec{u} et \vec{v} deux vecteurs.
On appelle produit sclaire des vecteurs \vec{u} et \vec{v} le nombre réel noté \vec{u} \cdot \vec{v} défini par : \vec{u} \cdot \vec{v} = \frac12(||\vec{u} + \vec{v}||^2 - ||\vec{u}||^2 - ||\vec{v}||^2)

Remarques :
* On note \vec{u}^2 le produit scalaire \vec{u} \cdot \vec{u}
        \vec{u}^2 = \vec{u} \cdot \vec{u}
* Lorsque \vec{u} = \overrightarrow{0} ou \vec{v} = \overrightarrow{0}, on obtient \vec{u} \cdot \vec{v} = 0


II. Expressions du produit scalaire

Théorème :
Dans un repère orthonormal, si \vec{u} a pour coordonnées (x ; y) et \vec{v} a pour coordonnées (x'; y'),
alors le produit scalaire des vecteurs \vec{u} et  \vec{v} est donné par : \vec{u} \cdot \vec{v} = xx' + yy'

Démonstration :
Dans ces conditions,
||\vec{u}||^2 = x^2 + y^2 \text{\hspace{25pt} et \hspace{25pt}} ||\vec{v}||^2 = x'^2 + y'^2
Le vecteur \vec{u} + \vec{v} a pour coordonnées (x + x'; y + y'), donc ||\vec{u} + \vec{v}||^2 = (x + x')^2 + (y + y')^2. D'où :
\vec{u} \cdot \vec{v} = \frac12 \left[||\vec{u} + \vec{v}||^2 - ||\vec{u}||^2 - ||\vec{v}||^2\right]\\ \hspace{10pt} = \frac12\left[(x + x')^2 + (y + y')^2 - (x^2 + y^2) - (x'^2 + y'^2)\right] \\\hspace{10pt} = \frac12\left[x^2 + 2xx' + x'^2 + y^2 + 2yy' + y'^2 - x^2 - y^2 - x'^2 - y'^2\right] \\\hspace{10pt} = xx' + yy'
Théorème :
Si  \vec{u} et  \vec{v} sont deux vecteurs non nuls,
alors le produit scalaire des vecteurs  \vec{u} et  \vec{v} est donné par  \vec{u} \cdot \vec{v} = ||\vec{u}|| \times ||\vec{v}|| \times \cos(\vec{u}, \vec{v})

Démonstration :
Posons  \vec{u} = \overrightarrow{OA} et  \vec{v} = \overrightarrow{OB}.
Choisissons un repère orthonormal direct (O; \vec{i}, \vec{j}) tel que  \vec{i} et  \overrightarrow{OA} soient colinéaires et de même sens.
produit	scalaire (première) : image 3
Si on désigne par (x; y) les coordonnées du vecteur \overrightarrow{OA} on a :
x = OA = ||\vec{u}|| \hspace{50pt} \text{ et } \hspace{50pt} y = 0
Si on désigne par (x'; y') les coordonnées du vecteur \overrightarrow{OB} on a :
x' = ||\vec{v}||\cos(\vec{i}, \vec{v}) \hspace{50pt}\text{ et } \hspace{50pt} y' = ||\vec{v}||\sin(\vec{i}, \vec{v})
Or, les vecteurs \vec{i} et \vec{u} sont colinéaires et de même sens, donc (\vec{i}, \vec{v}) = (\vec{u}, \vec{v}).
Donc : x' = ||\vec{v}||\cos(\vec{u}, \vec{v}) \hspace{50pt} \text{ et } \hspace{50pt} y' = ||\vec{v}||\sin(\vec{u}, \vec{v})
Donc : \vec{u} \cdot \vec{v} = xx' + yy' = ||\vec{u}|| \times ||\vec{v}|| \cos(\vec{u}, \vec{v})
Théorème :
Soient \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{CD} deux vecteurs.
Soient C' et D' les projetés orthogonaux des points C et D sur la droite (AB).
Alors \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{C'D'}
produit	scalaire (première) : image 4

Démonstration :
Choisissons un repère orthonormal (A; \vec{i}, \vec{j}) tel que les vecteurs \vec{i} et \overrightarrow{AB} soient colinéaires.
produit	scalaire (première) : image 5
On a : \overrightarrow{AB}(x_B; 0) \hspace{25pt} \overrightarrow{CD}(x_D - x_C; y_D - y_C) \hspace{25pt} \overrightarrow{C'D'}(x_D - x_C; 0)
Donc : \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD} = x_B(x_D - x_C) \hspace{25pt} \tex{ et } \hspace{25pt} \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{C'D'} = x_B(x_D - x_C)
D'où : \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{C'D'}


Remarques :
* Si les vecteurs \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{C'D'} sont de même sens, alors \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD} = AB \times C'D'
* Si les vecteurs \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{C'D'} sont de sens contraires, alors \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD} = - AB \times C'D'

Exemple 1 :
produit	scalaire (première) : image 1
Soit ABC un triangle rectangle en A. Alors :
1. \overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BA} = \overrightarrow{BA}^2 = BA^2
2. \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{0} = 0

Exemple 2 :
produit	scalaire (première) : image 6
Soit ABCD un carré de centre O tel que AB = 4.
1. \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} = 0
2. \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BA} = - \overrightarrow{AB}^2 = -16
3. \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AB}^2 = 16
4. \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{DO} = \overrightarrow{DC} \cdot \overrightarrow{DO} = \overrightarrow{DC} \cdot \overrightarrow{DP} = 8 où P est le milieu de [DC].

Exemple 3 :
produit	scalaire (première) : image 7

Soient les vecteurs \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{MN}, \overrightarrow{PQ}, \overrightarrow{RS}, \overrightarrow{CD} donnés par la figure ci-dessous.
Alors, \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{MN} = \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{RS} = \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD}, c'est-à-dire que le produit scalaire de \overrightarrow{AB} par tout vecteur dont l'origine est sur la droite verticale passant par C et l'extrémité sur la droite verticale passant par D vaut \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD}
Cela détermine donc une bande perpendiculaire à la droite (AB) avec laquelle tous les vecteurs ont le même produit scalaire avec le vecteur \overrightarrow{AB}.


III. Analogie avec la physique

1. Cas de vecteurs colinéaires

En physique, lorsqu'une force de 10 N est appliquée sur un objet et que celui-ci se déplace de 2 m dans le sens de la force, alors on a ce que les physiciens appellent un travail moteur de 20 J : produit	scalaire (première) : image 9
où F est l'intensité de la force (en newtons)
et d le déplacement (en mètres)
W = F × d

Si par contre, le déplacement a lieu dans le sens opposé à celui de la force, on a un travail résistant de -20 J : produit	scalaire (première) : image 10
où F est l'intensité de la force (en newtons)
et d le déplacement (en mètres)
W = - F × d


L'unité de mesure du travail est le newton-mètre (Nm) ou le joule (J).
Dans les deux cas cités ci-dessus, le vecteur force et le vecteur déplacement sont dans la même direction : ils sont colinéaires.

2. Cas de vecteurs quelconques

Toujours en physique, lorsque les vecteurs sont quelconques, on a :
produit	scalaire (première) : image 11
W = F' × d où F' est la projection orthogonale de F sur d.

produit	scalaire (première) : image 12
W = - F' × d où F' est la projection orthogonale de F sur d.


En mathématiques, nous retrouvons la deuxième définition.
Ainsi, si \vec{u} \text{ et } \vec{v} sont deux vecteurs quelconques et \overrightarrow{v'} est la projection orthogonale de \vec{v} sur \vec{u}, alors les vecteurs \vec{u} \text{ et } \vec{v} sont colinéaires et il suffit d'appliquer la définition précédente lorsque les vecteurs sont colinéaires.
Donc,
produit	scalaire (première) : image 13\vec{u} \cdot \vec{v} = ||\vec{u}|| \times ||\overrightarrow{v'}||produit	scalaire (première) : image 14\vec{u} \cdot \vec{v} = - ||\vec{u}|| \times ||\overrightarrow{v'}||



IV. Règles de calcul

Théorème :
Quels que soient les vecteurs \vec{u}, \vec{v} \text{ et } \overrightarrow{w} et le réel \lambda
1. \vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{v} \cdot \vec{u} [commutativité du produit scalaire]
2. \vec{u} \cdot (\vec{v} + \overrightarrow{w}) = \vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{u} \cdot \overrightarrow{w}
\vec{u} \cdot (\lambda \vec{v}) = \lambda \vec{u} \cdot \vec{v} [linéarité du produit scalaire]

Démonstration :
Choisissons un repère orthonormal (O; \vec{i}, \vec{j}).
\vec{u}(x; y) \hspace{20pt} \vec{v}(x'; y')  \hspace{20pt} \overrightarrow{w}(x''; y'')
1. \vec{u} \cdot \vec{v} = xx' + yy' \hspace{20pt} \tex{ et } \hspace{20pt} \vec{v} \cdot \vec{u} = xx' + yy'
D'où : \vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{v} \cdot \vec{u}
2. \vec{u} + \overrightarrow{w}(x' + x''; y' + y'') Donc :
\vec{u} \cdot (\vec{v} + \overrightarrow{w}) = x(x' + x'') + y(y' + y'')\\  \hspace{48pt}= (xx' + yy') + (xx'' + yy'')\\  \hspace{48pt}= \vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{u} \cdot \overrightarrow{w}

\lambda \vec{v}(\lambda x'; \lambda y') Donc :
\vec{u} \cdot (\lambda \vec{v}) = x \times \lambda x' + y \times \lambda y'\\ \hspace{50pt} = \lambda (xx' + yy')\\ \hspace{50pt} = \lambda (\vec{u} \cdot \vec{v})

Exemple 1 :
7\vec{u} \cdot (4\vec{u} + 3\vec{v}) = (7\vec{u}) \cdot (4\vec{u}) + (7\vec{u}) \cdot (3\vec{v})\\ \hspace{60pt} = 28\vec{u}^2 + 21 \vec{u} \cdot \vec{v}

Exemple 2 :
(-\vec{u} + 3\vec{v}) \cdot (2\vec{u} + 5\vec{v}) = (-\vec{u}) \cdot (2\vec{u}) + (-\vec{u}) \cdot (5\vec{v}) + (3\vec{v}) \cdot (2\vec{u}) + (3\vec{v}) \cdot (5\vec{v})\\ \hspace{95pt} = -2\vec{u}^2 - 5\vec{u} \cdot \vec{v} + 6\vec{v} \cdot \vec{u} + 15\vec{v}^2\\ \hspace{95pt} = -2\vec{u}^2 - 5\vec{u} \cdot \vec{v} + 6\vec{u} \cdot \vec{v} + 15\vec{v}^2\\ \hspace{95pt} = -2\vec{u}^2 + \vec{u} \cdot \vec{v} + 15\vec{v}^2\\
Quelques produits scalaires remarquables
\begin{array}{lll} (\vec{u} + \vec{v})^2 = \vec{u}^2 + 2\vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{v}^2 & \hspace{25pt} \text{ et } \hspace{25pt} & ||\vec{u} + \vec{v}||^2 = ||\vec{u}||^2 + 2\vec{u} \cdot \vec{v} + ||\vec{v}||^2\\ (\vec{u} - \vec{v})^2 = \vec{u}^2 - 2\vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{v}^2 & \hspace{25pt}\text{ et } \hspace{25pt} & ||\vec{u} - \vec{v}||^2 = ||\vec{u}||^2 - 2\vec{u} \cdot \vec{v} + ||\vec{v}||^2\\ (\vec{u} + \vec{v})(\vec{u} - \vec{v}) = \vec{u}^2 - \vec{v}^2 & \hspace{25pt}\text{ et } \hspace{25pt} & (\vec{u} + \vec{v})(\vec{u} - \vec{v}) = ||\vec{u}||^2 - ||\vec{v}||^2\\ \end{array}

Démonstration :
(\vec{u} + \vec{v})^2 = (\vec{u} + \vec{v}) \cdot (\vec{u} + \vec{v}) = \vec{u} \cdot \vec{u} + \vec{u} \cdot\vec{v} + \vec{v} \cdot \vec{u} + \vec{v} \cdot \vec{v} = \vec{u}^2 + 2 \vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{v}^2
 (\vec{u} - \vec{v})^2 = (\vec{u} - \vec{v}) \cdot (\vec{u} - \vec{v}) = \vec{u} \cdot \vec{u} - \vec{u} \cdot\vec{v} - \vec{v} \cdot \vec{u} + \vec{v} \cdot \vec{v} = \vec{u}^2 - 2 \vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{v}^2\\ (\vec{u} + \vec{v}) \cdot (\vec{u} - \vec{v}) = \vec{u} \cdot \vec{u} - \vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{v} \cdot \vec{u} - \vec{v} \cdot \vec{v} = \vec{u}^2 - \vec{v}^2


V. Produit scalaire et orthogonalité

Si le vecteur \vec{v} est orthogonal au vecteur \vec{u}, alors sa projection orthogonale sur \vec{u} est le vecteur nul.
Définition :
Soient \vec{u} \text{ et } \vec{v} deux vecteurs non nuls.
\vec{u} = \overrightarrow{AB} \text{ et } \vec{v} = \overrightarrow{CD} sont orthogonaux si les droites (AB) et (CD) sont perpendicualires.

produit	scalaire (première) : image 8
Convention : Le vecteur nul est orthogonal à tout autre vecteur.
Théorème :
Deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul.
\vec{u} \perp \vec{v} \Longleftrightarrow \vec{u} \cdot \vec{v} = 0

Démonstration :
*Si \vec{u} = \overrightarrow{0} \text{ ou } \vec{v} = \overrightarrow{0}
Le résultat est immédiat.
*Si les vecteurs sont non nuls :
\vec{u} \cdot \vec{v} = ||\vec{u}|| \times ||\vec{v}|| \times \cos(\vec{u}, \vec{v})\\ \vec{u} \cdot \vec{v} = 0 \text{ si et seulement si } \cos(\vec{u}, \vec{v}) = 0 \text{ car } ||\vec{u}|| \neq 0 \text{ et } ||\vec{v}|| \neq 0\\ \text{Donc : } (\vec{u}, \vec{v}) = \frac{\pi}{2} + k\pi (k \in \mathbb{Z})
Les vecteurs \vec{u} \text{ et } \vec{v} sont orthogonaux.
Théorème :
Dans un repère orthonormal, soient deux vecteurs \vec{u} \text{ et } \vec{v} non nuls de coordonnées respectives (x; y) et (x'; y').
Les vecteurs \vec{u} \text{ et } \vec{v} sont orthogonaux si et seulement si xx' + yy' = 0

Démonstration :
C'est une conséquence du théorème précédent.
\vec{u} \text{ et } \vec{v} sont orthogonaux
\Longleftrightarrow \vec{u} \cdot \vec{v} = 0\\ \Longleftrightarrow xx' + yy' = 0




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