Fiche de mathématiques

Produit Scalaire

I. Définition du produit scalaire

On connaît le célèbre théorème de Pythagore : dans un triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des côtés de l'angle droit.

produit scalaire (première) : image 1

A l'aide de la figure ci-contre, on a :
$AB^2 + AC^2 = BC^2 \Longleftrightarrow AB^2 + AC^2 - BC^2 = 0 \Longleftrightarrow \frac{1}{2} (AB^2 + AC^2 - BC^2) = 0$

Que ce passe-t-il si le triangle est quelconque ? Qu'est le nombre $\Delta = \displaystyle \frac{1}{2}(AB^2 + AC^2 - BC^2)$ ? A-t-il une signification géométrique ? vectorielle ? analytique ?
Le produit scalaire va apporter une réponse.

Soit ABC un triangle.
Soit H le projeté orthogonal de B sur la droite (AC).
Trois cas se présentent :
produit scalaire (première) : image 2

Dans les trois cas, on a d'après le théorème de Pythagore dans le triangle BHC rectangle en H :
BC² = HB² + HC²
Donc : 2 $\Delta$ = AB² + AC² - (HB² + HC²) = AB² - HB² + AC² - HC²
D'après le théorème de Pythagore dans le triangle ABH rectangle en H, on a :
AB² = HB² + AH²
Donc : 2 $\Delta$ = HB² + AH² - HB² + AC² - HC² = AH² + AC² - HC²

Dans le cas (II) :
2 $\Delta$ = AH² + AC² - (AH + AC)²
= AH² + AC² - (AH² + 2AH × AC + AC²)
= -2AH × AC
D'où : $\Delta$ = - AH × AC

Dans les cas (I) et (III) :
2 $\Delta$ = AH² + AC² - (AC - AH)²
= AH² + AC² - (AC² - 2AC × AH + AH²)
= 2 AC × AH
D'où : $\Delta$ = AC × AH

En résumé, $\Delta = \frac{1}{2}(AB^2 + AC^2 - BC^2) = \left \lbrace \begin{array}{l} AC \times AH \hspace{20pt} \text{lorsque H et C sont du même côte par rapport à A}\\ -AC \times AH \hspace{20pt} \text{lorsque H et C sont de part et d'autre de A}\\ \end{array} \right.$
Le nombre $\Delta$ exprime le produit scalaire des vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ . Il sera noté $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$

Définition :

Soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs.
On appelle produit sclaire des vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ le nombre réel noté $\vec{u} \cdot \vec{v}$ défini par : $\vec{u} \cdot \vec{v} = \frac12(||\vec{u} + \vec{v}||^2 - ||\vec{u}||^2 - ||\vec{v}||^2)$

Remarques :

On note $\vec{u}^2$ le produit scalaire $\vec{u} \cdot \vec{u}$
$\hspace{50pt}\vec{u}^2 = \vec{u} \cdot \vec{u}$

Lorsque $\vec{u} = \overrightarrow{0}$ ou $\vec{v} = \overrightarrow{0}$ , on obtient $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$

II. Expressions du produit scalaire

Théorème :

Dans un repère orthonormal, si $\vec{u}$ a pour coordonnées (x ; y) et $\vec{v}$ a pour coordonnées (x'; y'),
alors le produit scalaire des vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ est donné par : $\vec{u} \cdot \vec{v} = xx' + yy'$

Démonstration :
Dans ces conditions,
$||\vec{u}||^2 = x^2 + y^2 \text{\hspace{25pt} et \hspace{25pt}} ||\vec{v}||^2 = x'^2 + y'^2$
Le vecteur $\vec{u} + \vec{v}$ a pour coordonnées (x + x'; y + y'), donc $||\vec{u} + \vec{v}||^2 = (x + x')^2 + (y + y')^2$ . D'où :
$\vec{u} \cdot \vec{v} = \frac12 \left[||\vec{u} + \vec{v}||^2 - ||\vec{u}||^2 - ||\vec{v}||^2\right]\\ \hspace{10pt} = \frac12\left[(x + x')^2 + (y + y')^2 - (x^2 + y^2) - (x'^2 + y'^2)\right] \\\hspace{10pt} = \frac12\left[x^2 + 2xx' + x'^2 + y^2 + 2yy' + y'^2 - x^2 - y^2 - x'^2 - y'^2\right] \\\hspace{10pt} = xx' + yy'$

Théorème :

Si $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont deux vecteurs non nuls,
alors le produit scalaire des vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ est donné par $\vec{u} \cdot \vec{v} = ||\vec{u}|| \times ||\vec{v}|| \times \cos(\vec{u}, \vec{v})$

Démonstration :
Posons $\vec{u} = \overrightarrow{OA}$ et $\vec{v} = \overrightarrow{OB}$ .
Choisissons un repère orthonormal direct $(O; \vec{i}, \vec{j})$ tel que $\vec{i}$ et $\overrightarrow{OA}$ soient colinéaires et de même sens.
produit scalaire (première) : image 3

Si on désigne par (x; y) les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{OA}$ on a :
$x = OA = ||\vec{u}|| \hspace{50pt} \text{ et } \hspace{50pt} y = 0$
Si on désigne par (x'; y') les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{OB}$ on a :
$x' = ||\vec{v}||\cos(\vec{i}, \vec{v}) \hspace{50pt}\text{ et } \hspace{50pt} y' = ||\vec{v}||\sin(\vec{i}, \vec{v})$
Or, les vecteurs $\vec{i}$ et $\vec{u}$ sont colinéaires et de même sens, donc ( $\vec{i}, \vec{v}) = (\vec{u}, \vec{v})$ .
Donc : $x' = ||\vec{v}||\cos(\vec{u}, \vec{v}) \hspace{50pt} \text{ et } \hspace{50pt} y' = ||\vec{v}||\sin(\vec{u}, \vec{v})$
Donc : $\vec{u} \cdot \vec{v} = xx' + yy' = ||\vec{u}|| \times ||\vec{v}|| \cos(\vec{u}, \vec{v})$

Théorème :

Soient $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ deux vecteurs.
Soient C' et D' les projetés orthogonaux des points C et D sur la droite (AB).
Alors $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{C'D'}$
produit scalaire (première) : image 4

Démonstration :
Choisissons un repère orthonormal $(A; \vec{i}, \vec{j})$ tel que les vecteurs $\vec{i}$ et $\overrightarrow{AB}$ soient colinéaires.
produit scalaire (première) : image 5

On a : $\overrightarrow{AB}(x_B; 0) \hspace{25pt} \overrightarrow{CD}(x_D - x_C; y_D - y_C) \hspace{25pt} \overrightarrow{C'D'}(x_D - x_C; 0)$
Donc : $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD} = x_B(x_D - x_C) \hspace{25pt} \tex{ et } \hspace{25pt} \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{C'D'} = x_B(x_D - x_C)$
D'où : $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{C'D'}$

Remarques :

Si les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{C'D'}$ sont de même sens, alors $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD} = AB \times C'D'$

Si les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{C'D'}$ sont de sens contraires, alors $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD} = - AB \times C'D'$

Exemple 1 : produit scalaire (première) : image 1

Soit ABC un triangle rectangle en A. Alors :
1. $\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BA} = \overrightarrow{BA}^2 = BA^2$
2. $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{0} = 0$

Exemple 2 : produit scalaire (première) : image 6

Soit ABCD un carré de centre O tel que AB = 4.
1. $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} = 0$
2. $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BA} = - \overrightarrow{AB}^2 = -16$
3. $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AB}^2 = 16$
4. $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{DO} = \overrightarrow{DC} \cdot \overrightarrow{DO} = \overrightarrow{DC} \cdot \overrightarrow{DP} = 8$ où P est le milieu de [DC].

Exemple 3 :
produit scalaire (première) : image 7

Soient les vecteurs $\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{MN}, \overrightarrow{PQ}, \overrightarrow{RS}, \overrightarrow{CD}$ donnés par la figure ci-dessous.
Alors, $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{MN} = \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{RS} = \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD}$ , c'est-à-dire que le produit scalaire de $\overrightarrow{AB}$ par tout vecteur dont l'origine est sur la droite verticale passant par C et l'extrémité sur la droite verticale passant par D vaut $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD}$
Cela détermine donc une bande perpendiculaire à la droite (AB) avec laquelle tous les vecteurs ont le même produit scalaire avec le vecteur $\overrightarrow{AB}$ .

III. Analogie avec la physique

1. Cas de vecteurs colinéaires

En physique, lorsqu'une force de 10 N est appliquée sur un objet et que celui-ci se déplace de 2 m dans le sens de la force, alors on a ce que les physiciens appellent un travail moteur de 20 J : produit scalaire (première) : image 9

où F est l'intensité de la force (en newtons)
et d le déplacement (en mètres)
W = F × d

Si par contre, le déplacement a lieu dans le sens opposé à celui de la force, on a un travail résistant de -20 J : produit scalaire (première) : image 10

où F est l'intensité de la force (en newtons)
et d le déplacement (en mètres)
W = - F × d

L'unité de mesure du travail est le newton-mètre (Nm) ou le joule (J).
Dans les deux cas cités ci-dessus, le vecteur force et le vecteur déplacement sont dans la même direction : ils sont colinéaires.

2. Cas de vecteurs quelconques

Toujours en physique, lorsque les vecteurs sont quelconques, on a :
produit scalaire (première) : image 11

W = F' × d où F' est la projection orthogonale de F sur d.

W = - F' × d où F' est la projection orthogonale de F sur d.

En mathématiques, nous retrouvons la deuxième définition.
Ainsi, si $\vec{u} \text{ et } \vec{v}$ sont deux vecteurs quelconques et $\overrightarrow{v'}$ est la projection orthogonale de $\vec{v}$ sur $\vec{u}$ , alors les vecteurs $\vec{u} \text{ et } \vec{v}$ sont colinéaires et il suffit d'appliquer la définition précédente lorsque les vecteurs sont colinéaires.
Donc,

$\vec{u} \cdot \vec{v} = ||\vec{u}|| \times ||\overrightarrow{v'}||$

$\vec{u} \cdot \vec{v} = - ||\vec{u}|| \times ||\overrightarrow{v'}||$

IV. Règles de calcul

Théorème :

Quels que soient les vecteurs $\vec{u}, \vec{v} \text{ et } \overrightarrow{w}$ et le réel $\lambda$
1. $\vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{v} \cdot \vec{u}$ [commutativité du produit scalaire]
2. $\vec{u} \cdot (\vec{v} + \overrightarrow{w}) = \vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{u} \cdot \overrightarrow{w}$
$\vec{u} \cdot (\lambda \vec{v}) = \lambda \vec{u} \cdot \vec{v}$ [linéarité du produit scalaire]

Démonstration :
Choisissons un repère orthonormal $(O; \vec{i}, \vec{j})$ .
$\vec{u}(x; y) \hspace{20pt} \vec{v}(x'; y') \hspace{20pt} \overrightarrow{w}(x''; y'')$
1. $\vec{u} \cdot \vec{v} = xx' + yy' \hspace{20pt} \tex{ et } \hspace{20pt} \vec{v} \cdot \vec{u} = xx' + yy'$
D'où : $\vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{v} \cdot \vec{u}$
2. $\vec{u} + \overrightarrow{w}(x' + x''; y' + y'')$ Donc :
$\vec{u} \cdot (\vec{v} + \overrightarrow{w}) = x(x' + x'') + y(y' + y'')\\ \hspace{48pt}= (xx' + yy') + (xx'' + yy'')\\ \hspace{48pt}= \vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{u} \cdot \overrightarrow{w}$

$\lambda \vec{v}(\lambda x'; \lambda y')$ Donc :
$\vec{u} \cdot (\lambda \vec{v}) = x \times \lambda x' + y \times \lambda y'\\ \hspace{50pt} = \lambda (xx' + yy')\\ \hspace{50pt} = \lambda (\vec{u} \cdot \vec{v})$

Exemple 1 :
$7\vec{u} \cdot (4\vec{u} + 3\vec{v}) = (7\vec{u}) \cdot (4\vec{u}) + (7\vec{u}) \cdot (3\vec{v})\\ \hspace{60pt} = 28\vec{u}^2 + 21 \vec{u} \cdot \vec{v}$

Exemple 2 :
$(-\vec{u} + 3\vec{v}) \cdot (2\vec{u} + 5\vec{v}) = (-\vec{u}) \cdot (2\vec{u}) + (-\vec{u}) \cdot (5\vec{v}) + (3\vec{v}) \cdot (2\vec{u}) + (3\vec{v}) \cdot (5\vec{v})\\ \hspace{95pt} = -2\vec{u}^2 - 5\vec{u} \cdot \vec{v} + 6\vec{v} \cdot \vec{u} + 15\vec{v}^2\\ \hspace{95pt} = -2\vec{u}^2 - 5\vec{u} \cdot \vec{v} + 6\vec{u} \cdot \vec{v} + 15\vec{v}^2\\ \hspace{95pt} = -2\vec{u}^2 + \vec{u} \cdot \vec{v} + 15\vec{v}^2\\$

Quelques produits scalaires remarquables

$\begin{array}{lll} (\vec{u} + \vec{v})^2 = \vec{u}^2 + 2\vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{v}^2 & \hspace{25pt} \text{ et } \hspace{25pt} & ||\vec{u} + \vec{v}||^2 = ||\vec{u}||^2 + 2\vec{u} \cdot \vec{v} + ||\vec{v}||^2\\ (\vec{u} - \vec{v})^2 = \vec{u}^2 - 2\vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{v}^2 & \hspace{25pt}\text{ et } \hspace{25pt} & ||\vec{u} - \vec{v}||^2 = ||\vec{u}||^2 - 2\vec{u} \cdot \vec{v} + ||\vec{v}||^2\\ (\vec{u} + \vec{v})(\vec{u} - \vec{v}) = \vec{u}^2 - \vec{v}^2 & \hspace{25pt}\text{ et } \hspace{25pt} & (\vec{u} + \vec{v})(\vec{u} - \vec{v}) = ||\vec{u}||^2 - ||\vec{v}||^2\\ \end{array}$

Démonstration :
$(\vec{u} + \vec{v})^2 = (\vec{u} + \vec{v}) \cdot (\vec{u} + \vec{v}) = \vec{u} \cdot \vec{u} + \vec{u} \cdot\vec{v} + \vec{v} \cdot \vec{u} + \vec{v} \cdot \vec{v} = \vec{u}^2 + 2 \vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{v}^2$
$(\vec{u} - \vec{v})^2 = (\vec{u} - \vec{v}) \cdot (\vec{u} - \vec{v}) = \vec{u} \cdot \vec{u} - \vec{u} \cdot\vec{v} - \vec{v} \cdot \vec{u} + \vec{v} \cdot \vec{v} = \vec{u}^2 - 2 \vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{v}^2\\ (\vec{u} + \vec{v}) \cdot (\vec{u} - \vec{v}) = \vec{u} \cdot \vec{u} - \vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{v} \cdot \vec{u} - \vec{v} \cdot \vec{v} = \vec{u}^2 - \vec{v}^2$

V. Produit scalaire et orthogonalité

Si le vecteur $\vec{v}$ est orthogonal au vecteur $\vec{u}$ , alors sa projection orthogonale sur $\vec{u}$ est le vecteur nul.

Définition :

Soient $\vec{u} \text{ et } \vec{v}$ deux vecteurs non nuls.
$\vec{u} = \overrightarrow{AB} \text{ et } \vec{v} = \overrightarrow{CD}$ sont orthogonaux si les droites (AB) et (CD) sont perpendicualires.

Convention : Le vecteur nul est orthogonal à tout autre vecteur.

Théorème :

Deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul.
$\vec{u} \perp \vec{v} \Longleftrightarrow \vec{u} \cdot \vec{v} = 0$

Démonstration :

Si $\vec{u} = \overrightarrow{0} \text{ ou } \vec{v} = \overrightarrow{0}$
Le résultat est immédiat.

Si les vecteurs sont non nuls :
$\vec{u} \cdot \vec{v} = ||\vec{u}|| \times ||\vec{v}|| \times \cos(\vec{u}, \vec{v})\\ \vec{u} \cdot \vec{v} = 0 \tex{ si et seulement si } \cos(\vec{u}, \vec{v}) = 0 \text{ car } ||\vec{u}|| \neq 0 \text{ et } ||\vec{v}|| \neq 0\\ \text{Donc : } (\vec{u}, \vec{v}) = \frac{\pi}{2} + k\pi (k \in \mathbb{Z})$
Les vecteurs $\vec{u} \text{ et } \vec{v}$ sont orthogonaux.

Théorème :

Dans un repère orthonormal, soient deux vecteurs $\vec{u} \text{ et } \vec{v}$ non nuls de coordonnées respectives (x; y) et (x'; y').
Les vecteurs $\vec{u} \text{ et } \vec{v}$ sont orthogonaux si et seulement si xx' + yy' = 0

Démonstration :
C'est une conséquence du théorème précédent.
$\vec{u} \text{ et } \vec{v}$ sont orthogonaux
$\Longleftrightarrow \vec{u} \cdot \vec{v} = 0\\ \Longleftrightarrow xx' + yy' = 0$

Cette fiche

Télécharger (1677 ko)
Imprimer
Réduire / Agrandir
Pour plus d'options, connectez vous !
Forum de maths

produit scalaire en première
Plus de 4 379 topics de mathématiques sur "produit scalaire" en première sur le forum.