La fonction logarithme népérien

Définition :
La fonction logarithme népérien , notée ln , est la bijection réciproque de la fonction exp :
Pour tout x de ]0 ; +[ et tout y de , ln x = y e^y = x .

Propriétés :
La fonction ln a pour ensemble de définition ]0 ; +[ ; elle vérifie :
Pour tous réels x et y strictement positifs , ln(xy) = ln x + ln y.
Pour tout réel x, ln (e^x) = x.
Pour tout réel x strictement positif, e^{ln x} = x.
ln s'annule en 1 : ln 1 = 0.

Signe :
ln(x) 0 sur ]0 ; 1]
ln(x) > 0 sur ]1 ; +[

Propriétés algébriques :
Pour tous x et y de ]0 ; +[ et tout entier n :

            

Limites :

            

Dérivation :
ln est dérivable (donc continue) sur ]0 ; +[ et, pour tout réel x > 0 :

ln'(x)=

ln est strictement croissante sur ]0 ; +[, donc, pour tous x et y de ]0 ; +[ :
x < y ln x < ln y
x = y ln x = ln y

si une fonction u est positive et ne s'annule pas sur un intervalle I , alors ln u est dérivable sur I et , pour tout x de I :

Fonction logarithme décimal :
On appelle fonction logarithme décimal la fonction , notée log , et définie sur ]0 ; +[ par :

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© Tom_Pascal & Océane 2006