Définition :
La fonction logarithme népérien , notée ln , est la bijection réciproque de la fonction exp :
Pour tout x de ]0 ; +

[ et tout y de

,
ln x = y
ey = x .
Propriétés :

La fonction ln a pour ensemble de définition ]0 ; +

[ ; elle vérifie :
Pour tous réels x et y strictement positifs ,
ln(xy) = ln x + ln y.

Pour tout réel x,
ln (ex) = x.

Pour tout réel x strictement positif,
eln x = x.

ln s'annule en 1 :
ln 1 = 0.
Signe :

ln(x)

0 sur ]0 ; 1]

ln(x) > 0 sur ]1 ; +

[
Propriétés algébriques :
Pour tous x et y de ]0 ; +

[ et tout entier n :
Limites :
Dérivation :

ln est dérivable (donc continue) sur ]0 ; +

[ et, pour tout réel x > 0 :
ln'(x)=

ln est strictement croissante sur ]0 ; +

[,
donc, pour tous x et y de ]0 ; +

[ :
x < y

ln x < ln y
x = y

ln x = ln y

si une fonction
u est positive et ne s'annule pas sur un intervalle
I , alors
ln
u est dérivable sur
I et , pour tout
x de
I :
Fonction logarithme décimal :
On appelle fonction logarithme décimal la fonction , notée log , et définie sur ]0 ; +

[ par :
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