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Fiche de mathématiques






Définition :
La fonction logarithme népérien , notée \ln , est la bijection réciproque de la fonction exp :

Pour tout x de ]0 ; +\infty[ et tout y de \mathbb{R}, \ln x = y \Longleftrightarrow e^y = x.




Propriétés :
* La fonction \ln a pour ensemble de définition ]0 ; +\infty[ ; elle vérifie :
Pour tous réels x et y strictement positifs , \ln(xy) = \ln x + \ln y.
* Pour tout réel x, \ln (e^x) = x.
* Pour tout réel x strictement positif, e^{\ln x} = x.
* \ln s'annule en 1 : \ln 1 = 0.




Signe :
* \ln(x) \le 0 sur ]0 ; 1]
* \ln(x) > 0 sur ]1 ; +\infty[




Propriétés algébriques :
Pour tous x et y de ]0 ; +\infty[ et tout entier n :
\ln(xy) = \ln x + \ln y    \ln \dfrac{1}{x} = - \ln x    \ln \sqrt(x) = \dfrac{1}{2} \ln x    \ln \dfrac{x}{y} = \ln x - \ln y    \ln (x^n) = n \ln x   




Limites :
\displaystyle \lim_{x \to \infty} \ln x = + \infty    \displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{\ln x}{x^r} = 0 (r > 0)    \displaystyle \lim_{h(x) \to 0} \frac{\ln (1+h(x))}{h(x)} = 1    \displaystyle \lim_{x \to 0} \ln x = -\infty    \displaystyle \lim_{x \to 0} x^r \ln x = 0 (r > 0)   




Dérivation :
* \ln est dérivable (donc continue) sur ]0 ; +\infty[ et, pour tout réel x > 0 :
\ln'(x)= \dfrac{1}{x}


* \ln est strictement croissante sur ]0 ; +\infty[, donc, pour tous x et y de ]0 ; +\infty[ :
x < y \Longleftrightarrow \ln x < \ln y
x = y \Longleftrightarrow \ln x = \ln y

*si une fonction u est positive et ne s'annule pas sur un intervalle I , alors \ln u est dérivable sur I et , pour tout x de I :
(\ln u)'(x)=\dfrac{u'(x)}{u(x)}




Fonction logarithme décimal :
On appelle fonction logarithme décimal la fonction , notée \log , et définie sur ]0 ; +\infty[ par :
\log (x)=\dfrac{\ln(x)}{\ln(10)}







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