Fiche de mathématiques
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La fonction logarithme népérien

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Fiche relue en 2016.
Pré requis
La fonction logarithme est construite à partir de la fonction exponentielle. Il faut donc absolument connaître les propriétés algébriques de cette fonction avant d'aborder cette fiche. Elle fera également appel à des propriétés de calcul numérique et littéral. Il ne faut pas que ces aspects calculatoires soient des obstacles.

Enjeu
La fonction logarithme permet de compléter la liste des fonctions vues dans le secondaire. Tu as ainsi à ta disposition tout un panel de fonctions dont tu dois connaître les propriétés. La fonction logarithme est très intéressante quand l'inconnue de notre problème se trouve être un exposant. Elle est également très utile en physique-chimie pour définir des échelles (pH, échelle de Richter, échelle sonore,?)

Définition :
La fonction logarithme népérien , notée \ln , est la bijection réciproque de la fonction exp :

Pour tout x de ]0 ; +\infty[ et tout y de \mathbb{R}, \ln x = y \Longleftrightarrow e^y = x.




Propriétés :
La fonction \ln a pour ensemble de définition ]0 ; +\infty[ ; elle vérifie :
Pour tous réels x et y strictement positifs , \ln(xy) = \ln x + \ln y.
Pour tout réel x, \ln (e^x) = x.
Pour tout réel x strictement positif, e^{\ln x} = x.
\ln s'annule en 1 : \ln 1 = 0.




Signe :
\ln(x) \le 0 sur ]0 ; 1]
\ln(x) > 0 sur ]1 ; +\infty[




Propriétés algébriques :
Pour tous x et y de ]0 ; +\infty[ et tout entier n :
\ln(xy) = \ln x + \ln y
\ln \dfrac{1}{x} = - \ln x
\ln \sqrt x = \dfrac{1}{2} \ln x
\ln \dfrac{x}{y} = \ln x - \ln y
\ln (x^n) = n \ln x




Limites :

\displaystyle \lim_{x \to 0} \ln x = -\infty

\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \ln x = + \infty
\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x^r} = 0\;(r > 0)

\displaystyle \lim_{x \to 0} x^r \ln x = 0 \;(r > 0)

\displaystyle \lim_{h(x) \to 0} \frac{\ln (1+h(x))}{h(x)} = 1




Dérivation :
\ln est dérivable (donc continue) sur ]0 ; +\infty[ et, pour tout réel x > 0 :
\ln'(x)= \dfrac{1}{x}


\ln est strictement croissante sur ]0 ; +\infty[, donc, pour tous x et y de ]0 ; +\infty[ :
x < y \Longleftrightarrow \ln x < \ln y
x = y \Longleftrightarrow \ln x = \ln y

si une fonction u est positive et ne s'annule pas sur un intervalle I, et si u est dérivable sur I, alors \ln u est dérivable sur I et , pour tout x de I :
(\ln u)'(x)=\dfrac{u'(x)}{u(x)}


Récapitulatif

Variations et représention graphique


Voici le tableau de variations complet.
Fonction logarithme népérien, cours de terminale : image 14

Ainsi que la courbe représentative, qu'il est judicieux de mémoriser afin de retrouver très vite et sûrement les résultats.
Fonction logarithme népérien, cours de terminale : image 15



Fonction logarithme décimal :
On appelle fonction logarithme décimal la fonction , notée \log , et définie sur ]0 ; +\infty[ par :
\log (x)=\dfrac{\ln(x)}{\ln(10)}

Publié le
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