Fiche de mathématiques

La fonction logarithme népérien

Définition :

La fonction logarithme népérien , notée $\ln$ , est la bijection réciproque de la fonction exp :

Pour tout $x$ de ]0 ; + $\infty$ [ et tout $y$ de $\mathbb{R}$ , $\ln x = y \Longleftrightarrow e^y = x$ .

Propriétés :

La fonction $\ln$ a pour ensemble de définition ]0 ; + $\infty$ [ ; elle vérifie :
Pour tous réels $x$ et $y$ strictement positifs , $\ln(xy) = \ln x + \ln y$ .

Pour tout réel $x$ , $\ln (e^x) = x$ .

Pour tout réel $x$ strictement positif, $e^{\ln x} = x$ .

$\ln$ s'annule en 1 : $\ln 1 = 0$ .

Signe :

$\ln(x) \le 0$ sur ]0 ; 1]

$\ln(x) > 0$ sur ]1 ; + $\infty$ [

Propriétés algébriques :

Pour tous $x$ et $y$ de ]0 ; + $\infty$ [ et tout entier $n$ :

$\ln(xy) = \ln x + \ln y$

$\ln \dfrac{1}{x} = - \ln x$

$\ln \sqrt(x) = \dfrac{1}{2} \ln x$

$\ln \dfrac{x}{y} = \ln x - \ln y$

$\ln (x^n) = n \ln x$

Limites :

$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \ln x = + \infty$

$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{\ln x}{x^r} = 0 (r > 0)$

$\displaystyle \lim_{h(x) \to 0} \frac{\ln (1+h(x))}{h(x)} = 1$

$\displaystyle \lim_{x \to 0} \ln x = -\infty$

$\displaystyle \lim_{x \to 0} x^r \ln x = 0 (r > 0)$

Dérivation :

$\ln$ est dérivable (donc continue) sur ]0 ; + $\infty$ [ et, pour tout réel $x$ > 0 :
$\ln'(x)= \dfrac{1}{x}$

$\ln$ est strictement croissante sur ]0 ; + $\infty$ [, donc, pour tous $x$ et $y$ de ]0 ; + $\infty$ [ :
$x < y \Longleftrightarrow \ln x < \ln y$
$x = y \Longleftrightarrow \ln x = \ln y$

si une fonction $u$ est positive et ne s'annule pas sur un intervalle $I$ , alors $\ln u$ est dérivable sur $I$ et , pour tout $x$ de $I$ :
$(\ln u)'(x)=\dfrac{u'(x)}{u(x)}$

Fonction logarithme décimal :

On appelle fonction logarithme décimal la fonction , notée $\log$ , et définie sur ]0 ; + $\infty$ [ par :
$\log (x)=\dfrac{\ln(x)}{\ln(10)}$

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