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Fiche de mathématiques





I. Caractérisation de droites et de plans dans l’espace

1. La droite

Pour repérer un point sur une droite, qu’a-t-on besoin ?
→ d’une graduation, donc d’une distance, donc de deux points distincts.
Ainsi, une droite est définie par deux points distincts.
La droite contenant les points A et B se nomme la droite (AB).
géométrie dans l'espace, cours - seconde : image 1

Remarque : une droite se caractérise par un point et une direction.

2. Le plan

Pour repérer un point sur un plan, qu’a-t-on besoin ?
→ d’un repère, donc de deux droites sécantes, donc trois points non alignés.
Ainsi, un plan est défini par trois points non alignés.
Le plan contenant les points A, B et C se nomme le plan (ABC).
géométrie dans l'espace, cours - seconde : image 7


II. Position de deux droites de l’espace

1. Droites coplanaires

Définition :
Deux droites sont dites coplanaires lorsqu’elles sont contenues dans un même plan.

Remarque :
Dans ce cas, elles sont soit parallèles, soit sécantes et nous pouvons appliquer les propriétés et théorèmes vu en géométrie plane.

Exemple :
géométrie dans l'espace, cours - seconde : image 8
Dans le plan (ABC) : (AB) // (CD)
(AB) et (BC) sont sécantes.
Dans le plan (ABG) : (AB) // (GH)
(AB) et (BG) sont sécantes.
Transitivité du parallélisme :
Si deux droites sont parallèles à une même troisième droite, alors elles sont parallèles entre elles.
géométrie dans l'espace, cours - seconde : image 9


2. Droites non-coplanaires

Définition :
Deux droites sont dites non-coplanaires lorsqu’elles ne sont pas contenues dans un même plan.

Exemple :
Dans le cube précédent, les droites (AB) et (CG) ne sont contenues dans aucun plan commun. Elles sont non-coplanaires.

Remarque :
Dans l’espace, deux droites peuvent être non parallèles et non sécantes.


III. Position de deux plans de l’espace

Deux plans de l’espace sont soit sécants, soit parallèles.
Propriété :
L'intersection de deux plans est une droite, appelée droite d’intersection.

géométrie dans l'espace, cours - seconde : image 10
(P) \cap (Q) = (d)


Exemple :
Dans le cube ABCDEFGH,
* (ABC) \cap (AGB) = (AB)
* (ABC) \cap (DCG) = (DC)
* (ABC) \cap (DFG) = (AD)
Définition :
Deux plans sont parallèles lorsqu’ils sont confondus ou lorsqu’ils n’ont aucun point commun.

Exemple :
(ABC) = (ABD) et (ABC) // (EFG)
Propriété :
Deux plans sont parallèles si et seulement si deux droites sécantes d’un des deux plans sont parallèles à deux droites de l’autre plan.

géométrie dans l'espace, cours - seconde : image 11
\left . \begin{array}{c} (d_1)\parallel (d_2) \\ (d_1')\parallel (d_2') \\ \end{array} \right \rbrace \Rightarrow (P_1) \parallel (P_2)

Transitivité du parallélisme :
Si deux plans sont parallèles à un même troisième plan, alors ils sont parallèles entre eux.

géométrie dans l'espace, cours - seconde : image 12
\left . \begin{array}{c} (P_1)\parallel (P_2) \\ (P_2)\parallel (P_3) \\ \end{array} \right \rbrace \Rightarrow (P_1) \parallel (P_2)

Propriété :
Soient deux plans parallèles.
Si un troisième plan est perpendiculaire à l’un des deux plans, alors il perpendiculaire à l’autre plan.

géométrie dans l'espace, cours - seconde : image 13
\left . \begin{array}{c} (d_2)\parallel (d_3) \\ (P_1)\perp (P_2) \\ \end{array} \right \rbrace \Rightarrow (P_1) \perp (P_3)



IV. Position d’une droite et d’un plan dans l’espace

Une droite et un plan sont soit sécants, soit parallèles.
Définition :
Une droite et un plan sont sécants s’il existe un point d’intersection.

géométrie dans l'espace, cours - seconde : image 14
La droite (d) et le plan (P) se coupent au point A.

Définition :
Une droite et un plan sont parallèles lorsqu’ils sont soit confondus, soit lorsqu’ils n’ont pas de point d’intersection.

Exemple :
Dans le cube ABCDEFGH, (AC) \subset (ABC) et (EG) // (ABC).
Propriété :
Si deux plans sont parallèles, tout plan coupant l’un, coupe l’autre. Les droites d’intersection sont parallèles entre elles.

géométrie dans l'espace, cours - seconde : image 2
\left . \begin{array}{c} (P_1)\parallel (P_2) \\ (P_3)\cap (P_1)=(d1) \\ \end{array} \right \rbrace \Rightarrow \left \lbrace \begin{array}{c} (P_3) \cap (P_2) = (d_2) \\ (d_1)\parallel (d_2) \\ \end{array} \right .



V. Orthogonalité dans l’espace

1. Droites orthogonales

Définition :
Deux droites de l'espace sont dites orthogonales lorsqu'il existe une droite parallèle à l'une et perpendiculaire à l'autre.

géométrie dans l'espace, cours - seconde : image 3
(d1) et (d2) sont orthogonales.

Exemple :
Dans le cube ABCDEFGH, nous avons :
\left . \begin{array}{c} (EF)\parallel (AB) \\ (AB)\perp (BC) \\ \end{array} \right \rbrace \Rightarrow (EF) et (BC) sont orthogonales.

2. Droite et plan orthogonaux/perpendiculaires

Définition :
Une droite est orthogonale (perpendiculaire) à un plan lorsqu’elle est orthogonale à deux droites sécantes de ce plan.

géométrie dans l'espace, cours - seconde : image 4
\left . \begin{array}{c} (d)\perp(d_1) \\ (d)\perp(d_2) \\ \end{array} \right \rbrace \Rightarrow (d)\perp(P)


Exemple :
Dans le cube ABCDEFGH, la droite (FB) est orthogonale aux droites (AB) et (BC), elle est donc orthogonale au plan (ABC).
Propriété :
Si une droite est orthogonale à un plan, elle est orthogonale à toutes les droites de ce plan.

Exemple :
Dans le cube ABCDEFGH, la droite (FB) est orthogonale à (ABC), ainsi (FB) est orthogonale à (AC).
Propriété :
Si deux droites sont orthogonales à un même plan, alors elles sont parallèles entre elles.

géométrie dans l'espace, cours - seconde : image 5
\left . \begin{array}{c} (d_1)\perp(P) \\ (d_2)\perp(P) \\ \end{array} \right \rbrace \Rightarrow (d_1) \parallel (d_2)

Propriété :
Si deux plans sont orthogonaux à une même droite, alors ils sont parallèles entre eux.

géométrie dans l'espace, cours - seconde : image 6
\left . \begin{array}{c} (d_1)\perp(d) \\ (d_2)\perp(d) \\ \end{array} \right \rbrace \Rightarrow (d_1) \parallel (d_2)



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