Fiche de mathématiques

Fonction Exponentielle

I. Définition de la fonction exponentielle

Soit (E) l'équation différentielle $f'(x) = f(x)$ avec $f(0) = 1$ . On admet qu'il existe une fonction solution de cette equation.

Lemme

Si $f$ est une fonction solution de (E), alors pour tout $x$ , $f(x) \neq 0$ .

Propriété et définition :

Il y a une unique fonction solution de (E). Cette solution est appelé fonction exponentielle et est notée $\exp$ .

Démonstration :
Soit $f$ une fonction solution de (E) et on pose $g(x) = f(x)f(- x)$
$g$ est défini sur $\mathbb{R}$ , dérivable et :
$g'(x) = f'(x)f(- x) + f(x) $ - f'(- x) $ \\ g'(x) = f(x) f(-x) - f(x) f'(- x) \\ g'(x) = 0$
donc $g$ est constante sur $\mathbb{R}$ .
$g(0) = f(0) \times f(0) = 1$
Pour tout $x$ réel, $f(x) \times f(- x) = 1$ donc pour tout réel $x$ , $f(x) \neq 0$ et $f(- x) = \dfrac{1}{f(x)}$ .
Conséquence :

$(\exp)' = \exp$
$\exp (0) = 1$
$\exp$ est une fonction strictement positive.

La dernière conséquence vient du fait que cette fonction est continue sur

(car dérivable) et ne s'annnule pas.

II. Propriété algébrique de l'exponentielle

Propriété 1

Pour tous réels $a$ et $b$
$\exp(a + b) = \exp (a) \exp (b)$

Démonstration de la propriété 1 :
Soit la fonction $g(x) = \dfrac{\exp(a + x)}{\exp(a)}$
$g$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ .
$g'(x) = \dfrac{1 \times \exp(a + x)}{\exp(a)} = g(x)$ et $g(0) = \dfrac{\exp(a)}{\exp(a)} = 1$
d'où $\dfrac{\exp(a + x)}{\exp(a)} = \exp(x)$ car $\exp(a + x) = \exp(a) \times \exp (x)$ pour tout réel $x$ donc $\dfrac{\exp(a + x)}{\exp(a)} = \dfrac{\exp(a) \times \exp(x)}{\exp(a)} = \exp(x)$

Propriété 2

Pour tous réels $a$ et $b$
$\exp(-a) = \dfrac{1}{\exp(a)} \\ \exp \left( {a - b} \right) = \dfrac{\exp(a)}{\exp(b)} \\ \exp (na) = (\exp a)^n$

Démonstration de la propriété 2 :

$\exp(a - b) = \dfrac{\exp(a)}{\exp(b)}$
$\exp(a - b) = \exp[a + (-b)] = \exp(a) \times \dfrac{1}{\exp(b)} = \dfrac{\exp(a)}{\exp(b)}$

$\exp(na) = (\exp a)^n}$ (On procède par raisonnement par récurrence)
$a \in \mathbb{R}, \, n \in \mathbb{Z}$
Pour $n = 2$ , $\exp(2a) = \exp(a + a) = \exp(a) \times \exp(a) = [\exp(a)]^2}$
Pour $n = 3$ , $\exp(3a) = \exp(2a + a) = \exp(2a) \times \exp(a) = [\exp(a)]^2 \times \exp(a) = [\exp(a)]^3}$
Pour $n \in \mathbb{N}^*$ , $\exp(na) = [\exp(a)^n}$
$\exp[(n + 1)a] = \exp(na + a) = \exp(na) \times \exp (a) = [\exp(a)]^n \times \exp(a) = [\exp(a)]^{n + 1}$

Notations simplifiées : $\exp(1) \simeq 2,7182$
$e$ n'est pas rationnel ( $e \notin \mathbb{Q}$ ), il est transcendant et irrationnel.
alors $\exp(n) = \exp(n \times 1) = (\exp 1)^n = e^n$ , $n \in \mathbb{N}^*$

Propriétés

Par extension, si $x \in \mathbb{R}$ , $\exp(x)$ sera noté $e^x$ alors les propriétés vues s'écrivent :
$e^0 = 1 \\ e^{a + b} = e^a \times e^b \\ e^{ - a} = \dfrac{1}{e^a} \\ e^{a - b} = \dfrac{e^a}{e^b} \\ e^{na} = (e^a)^n}$

Remarque :
$e^x = e^{2 \times \frac{x}{2}} = $e^{\frac{x}{2}}$^2} > 0$ donc pour tout réel $x$ , $e^x > 0$

III. Étude de la fonction exponentielle

La fonction exponentielle est définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ .
$\exp'(x) = e^x$

$\begin{tabvar}{|C|CCCCC|} \hline x &-\infty & & 0 & & +\infty \\ \hline \niveau{2}{2}e^x & 0 & \croit & 1 & \croit & +\infty \\ \hline \end{tabvar}$

La courbe admet une tangente de coefficient directeur 1 au point de coordonnées (0 ; 1) et de coefficient directeur e au point de coordonnées (1 ; e).

Limites de $e^x$ aux bornes de son ensemble de définition

Propriétés

$\displaystyle \lim_{x \to + \infty} e^x = + \infty \\ \displaystyle \lim_{x \to - \infty } e^x = 0$

Démonstrations :

$\displaystyle \lim_{x \to + \infty} e^x = + \infty$
Montrons que pour tout $x \ge 0$ , $e^x \ge x + 1$
Soit $g(x) = e^x - x$ , $g'(x) = e^x - 1$ et pour $x \ge 0$ on a $e^x \ge e^0 \Rightarrow e^x \ge 1$ d'où $g'(x) \ge 0$ ( $g$ est croissante sur $\mathbb{R}^+$ ).

$\begin{tabvar}{|C|CCCC|} \hline x &0& && +\infty \\ \hline \niveau{2}{2}g(x) & 1 & & \croit & +\infty \\ \hline \end{tabvar}$

Pour tout $x \ge 0$ , $g(x) \ge 1 \Rightarrow e^x - x \ge 1$ d'où $e^x \ge x + 1 \ge x$ donc $\displaystyle \lim_{x \to + \infty} e^x = + \infty$

$\displaystyle \lim _{x \to - \infty} e^x = 0$
$\displaystyle \lim_{x \to - \infty} e^x = \displaystyle \lim_{t \to + \infty} e^{ - t} = \displaystyle \lim_{t \to +\infty} \frac{1}{e^t} = 0$

Propriétés

Pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ ,
$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^n} = +\infty \\ \displaystyle \lim_{x \to -\infty} x^n e^x = 0$

Démonstration :

$\displaystyle \lim_{x \to -\infty} \frac{e^x}{x^n} = +\infty$
Montrons d'abord que $\displaystyle \lim_{x \to + \infty \frac{e^x}{x} = + \infty$
Pour cela, on établit que pour $x \ge 0$ , $e^x \ge \dfrac{x^2}{2}$
Posons $h(x) = e^x - \dfrac{x^2}{2}$ , $h'(x) = e^x - x$

$\begin{tabvar}{|C|CCCC|} \hline x &0& && +\infty \\ \hline \niveau{1}{2} h(x) & 1 & & \croit & +\infty \\ \hline \end{tabvar}$
Pour tout $x \ge 0$ , $e^x - \dfrac{x^2}{2} \ge 1$ donc $e^x \ge 1 + \dfrac{x^2}{2} \ge \dfrac{x^2}{2}$
$x \ge 0 \Rightarrow e^x > \dfrac{x^2}{2}$
$x > 0 \Rightarrow \dfrac{e^x}{x} > \dfrac{x}{2}$ d'où $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x} = + \infty$
$$ e^{\frac{x}{n}} $^n = e^x$ pour tout $n \in \mathbb{N}^*$
$\dfrac{e^x}{x^n} = \dfrac{ $ e^{\frac{x}{n}} $^n}{x^n} = $ \dfrac{e^{\frac{x}{n}}}{\frac{x}{n} \times n} $^n = $ \dfrac{e^{\frac{x}{n}}}{\frac{x}{n}} $^n \times \dfrac{1}{n^n}$
or $\displaystyle \lim_{X \to + \infty } \frac{e^X}{X} = + \infty$ d'où $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{ e^{\frac{x}{n}} }{\frac{x}{n}} = +\infty$ (avec $X = \dfrac{x}{n}$ )
D'autre part : $\displaystyle \lim_{t \to + \infty} t^n = + \infty$ et $\dfrac{1}{n^n} > 0$ d'où $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^n}$

$\displaystyle \lim_{x \to -\infty} x^n e^x = 0$
On pose $t = - x$ (lorsque $x$ tend vers $+ \infty$ , $t$ tend vers $- \infty$ )
$x^n e^x = (- t)^n e^{- t} = (- 1) \times \dfrac{t^n}{e^t}$
d'où $\displaystyle \lim_{x \to + \infty} x^n e^x = \displaystyle \lim_{t \to +\infty} $- \dfrac{t^n}{e^t} $ = 0$

IV. Dérivée de ${e^{u}}$ - Primitive associée

Si $u$ est définie et dérivable sur $I$ de $\mathbb{R}$ , la fonction $f(x) = e^{u( x)}$ est définie et dérivable sur $I$ et $f'(x) = \left(e^{u( x)} \right)' = u'(x) e^{u(x)}$
De manière générale : $\left(e^{u}\right)' = u'e^u$ (Fonction composée)

Merci à bill159 pour avoir contribué à l'élaboration de cette fiche

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