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La fonction exponentielle

I. Définition

Il existe une unique fonction f, dérivable sur R, telle que f' = f et f(0) = 1.
On la nomme fonction exponentielle : elle sera notée exp.

conséquences
* exp(0) = 1
* exp est dérivable sur R et exp'(x) = exp(x)
* pour tout réel x, exp(x) > 0
* la fonction exp est strictement croissante sur R



II. Notation

On pose e = exp(1)
A l'aide de la calculatrice, e environegal 2,718

résultat : e =



III. Propriétés algébriques

théorème :
Pour tous réels x et y, exp(x + y) = exp(x) × exp(y)
La fonction exponentielle transforme les sommes en produit.

On en déduit les propriétés suivantes :

exp(x - y) = exp(-y) =
exp(nx) = (exp(x))n (n appartient Z) (n supegal 1)
cas particulier :



IV. La notation ex

Par convention, on pose exp(x) = ex pour tout réel x.



V. Limites

1. propriétés asymptotiques

ex = +infini
ex = 0
La courbe représentative de la fonction exponentielle admet en -infini la droite d'équation y = 0 comme asymptote horizontale (c'est-à-dire l'axe (Ox)).

= +infini
La courbe représentative de la fonction exponentielle admet en +infini une branche parabolique de direction (Oy).

2. approximation affine au voisinage de 0

On a : = 1
La fonction x fleche2 1 + x est la meilleure approximation affine de la fonction exp au voisinage de 0 et on écrit :
pour x proche de 0, on a : ex environegal 1 + x


3. croissance comparée

Pour tout entier naturel non nul n, on a : = +infini       et       xn ex = 0.
Remarque :
A l'infini, l'exponentielle de l'emporte sur toute puissance de .



VI. Tableau des variations et courbe représentative

1. tableau des variations



2. courbe représentative



VII. Dérivée de eu

Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I.
Alors la fonction composée expu (notée eu) est dérivable sur l'intervalle I et on a :

(eu)' = u' × eu



exemple :
La fonction x fleche2 4x² + 7x est dérivable sur R.
x fleche2 e4x² + 7x est dérivable sur R et sa dérivée est x fleche2 (8x + 7)e4x² + 7x



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