La fonction exponentielle

I. Définition

Il existe une unique fonction f, dérivable sur , telle que f' = f et f(0) = 1.
On la nomme fonction exponentielle : elle sera notée exp.

conséquences
exp(0) = 1
exp est dérivable sur et exp'(x) = exp(x)
pour tout réel x, exp(x) > 0
la fonction exp est strictement croissante sur

II. Notation

On pose e = exp(1)
A l'aide de la calculatrice, e 2,718

résultat : e =

III. Propriétés algébriques

théorème :
Pour tous réels x et y, exp(x + y) = exp(x) × exp(y)
La fonction exponentielle transforme les sommes en produit.

On en déduit les propriétés suivantes :

exp(x - y) =	exp(-y) =
exp(nx) = (exp(x))n (n )	(n 1)

cas particulier :

IV. La notation e^x

Par convention, on pose exp(x) = e^x pour tout réel x.

V. Limites

1. propriétés asymptotiques

e^x = +
e^x = 0
La courbe représentative de la fonction exponentielle admet en - la droite d'équation y = 0 comme asymptote horizontale (c'est-à-dire l'axe (Ox)).

= +
La courbe représentative de la fonction exponentielle admet en + une branche parabolique de direction (Oy).

2. approximation affine au voisinage de 0

On a : = 1
La fonction x 1 + x est la meilleure approximation affine de la fonction exp au voisinage de 0 et on écrit :
pour x proche de 0, on a : e^x 1 + x

3. croissance comparée

Pour tout entier naturel non nul n, on a : = +       et       xⁿ e^x = 0.
Remarque :
A l'infini, l'exponentielle de l'emporte sur toute puissance de .

VI. Tableau des variations et courbe représentative

1. tableau des variations

2. courbe représentative

VII. Dérivée de e^u

Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I.
Alors la fonction composée expu (notée e^u) est dérivable sur l'intervalle I et on a :

(e^u)' = u' × e^u

exemple :
La fonction x 4x² + 7x est dérivable sur .
x e^{4x² + 7x} est dérivable sur et sa dérivée est x (8x + 7)e^{4x² + 7x}

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© Tom_Pascal & Océane 2006