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Pré requis
Il te faudra, comme pour les autres fonctions, être capable de dériver et faire du calcul littéral et numérique avec cette nouvelle fonction. Elle possède des propriétés qui lui sont propres et qui te permettront, en particulier, de lever des indéterminations dans les calculs de limites. Les tableaux sur les opérations avec les limites doivent donc être connus.
Enjeu
Cette fonction servira de base ensuite à d'autres chapitres, comme la fonction logarithme et les nombres complexes. Il est donc important de connaître les propriétés algébriques qui lui sont propres. Certaines démonstrations de cours te permettront de découvrir de nouveaux types de raisonnements avec lesquels tu seras peut-être confronté dans le supérieur.
I. Définition de la fonction exponentielle
Soit (E) l'équation différentielle
avec
. On admet qu'il existe une fonction solution de cette equation.
Lemme
Si
est une fonction solution de (E), alors pour tout
,
.
Propriété et définition :
Il y a une unique fonction solution de (E).
Cette solution est appelée fonction exponentielle et est notée
.
Démonstration :
Soit
une fonction solution de (E) et on pose
est défini sur
, dérivable et :
donc
est constante sur
.
Pour tout
réel,
donc pour tout réel
,
et
.
Conséquence :
La dernière conséquence vient du fait que cette fonction est continue sur
(car dérivable) et ne s'annule pas.
II. Propriété algébrique de l'exponentielle
Démonstration de la propriété 1 :
Soit la fonction
est dérivable sur
.
et
d'où
car
pour tout réel
donc
Démonstration de la propriété 2 :
(On procède par raisonnement par récurrence)
Pour
,
Pour
,
Pour
,
Notations simplifiées :
n'est pas rationnel (
), il est transcendant et irrationnel.
alors
,
Propriétés
Par extension, si
,
sera noté
alors les propriétés vues s'écrivent :
Remarque :
donc pour tout réel
,
III. Étude de la fonction exponentielle
La fonction exponentielle est définie et dérivable sur
.
La courbe admet une tangente de coefficient directeur 1 au point de coordonnées (0 ; 1) et de coefficient directeur e au point de coordonnées (1 ; e).
Limites de aux bornes de son ensemble de définition
Démonstrations :
Montrons que pour tout
,
Soit
,
et pour
on a
d'où
(
est croissante sur
).
Pour tout
,
d'où
donc
Propriétés
Pour tout
,
Démonstration :
Montrons d'abord que
Pour cela, on établit que pour
,
Posons
,
Pour tout
,
donc
d'où
pour tout
or
d'où
(avec
)
D'autre part :
et
d'où
On pose
(lorsque
tend vers
,
tend vers
)
d'où
IV. Dérivée de - Primitive associée
Si
est définie et dérivable sur
de
, la fonction
est définie et dérivable sur
et
De manière générale :
(Fonction composée)