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Fiche de mathématiques






I. Définition de la fonction exponentielle

Soit (E) l'équation différentielle f'(x) = f(x) avec f(0) = 1. On admet qu'il existe une fonction solution de cette equation.
Lemme
Si f est une fonction solution de (E), alors pour tout x, f(x) \neq 0.

Propriété et définition :
Il y a une unique fonction solution de (E). Cette solution est appelé fonction exponentielle et est notée \exp.


Démonstration :
Soit f une fonction solution de (E) et on pose g(x) = f(x)f(- x)
g est défini sur \mathbb{R}, dérivable et :
g'(x) = f'(x)f(- x) + f(x) \( - f'(- x) \) \\ g'(x) = f(x) f(-x) - f(x) f'(- x) \\ g'(x) = 0
donc g est constante sur \mathbb{R}.
g(0) = f(0) \times f(0) = 1
Pour tout x réel, f(x) \times f(- x) = 1 donc pour tout réel x, f(x) \neq 0 et f(- x) = \dfrac{1}{f(x)}.
Conséquence :
(\exp)' = \exp
\exp (0) = 1
\exp est une fonction strictement positive.


La dernière conséquence vient du fait que cette fonction est continue sur R (car dérivable) et ne s'annnule pas.


II. Propriété algébrique de l'exponentielle

Propriété 1
Pour tous réels a et b
\exp(a + b) = \exp (a) \exp (b)


Démonstration de la propriété 1 :
Soit la fonction g(x) = \dfrac{\exp(a + x)}{\exp(a)}
g est dérivable sur \mathbb{R}.
g'(x) = \dfrac{1 \times \exp(a + x)}{\exp(a)} = g(x) et g(0) = \dfrac{\exp(a)}{\exp(a)} = 1
d'où \dfrac{\exp(a + x)}{\exp(a)} = \exp(x) car \exp(a + x) = \exp(a) \times \exp (x) pour tout réel x donc \dfrac{\exp(a + x)}{\exp(a)} = \dfrac{\exp(a) \times \exp(x)}{\exp(a)} = \exp(x)
Propriété 2
Pour tous réels a et b
\exp(-a) = \dfrac{1}{\exp(a)} \\ \exp \left( {a - b} \right) = \dfrac{\exp(a)}{\exp(b)} \\ \exp (na) = (\exp a)^n


Démonstration de la propriété 2 :
* \exp(a - b) = \dfrac{\exp(a)}{\exp(b)}
\exp(a - b) = \exp[a + (-b)] = \exp(a) \times \dfrac{1}{\exp(b)} = \dfrac{\exp(a)}{\exp(b)}

* \exp(na) = (\exp a)^n} (On procède par raisonnement par récurrence)
a \in \mathbb{R}, \, n \in \mathbb{Z}
Pour n = 2, \exp(2a) = \exp(a + a) = \exp(a) \times \exp(a) = [\exp(a)]^2}
Pour n = 3, \exp(3a) = \exp(2a + a) = \exp(2a) \times \exp(a) = [\exp(a)]^2 \times \exp(a) = [\exp(a)]^3}
Pour n \in \mathbb{N}^*, \exp(na) = [\exp(a)^n}
\exp[(n + 1)a] = \exp(na + a) = \exp(na) \times \exp (a) = [\exp(a)]^n \times \exp(a) = [\exp(a)]^{n + 1}

Notations simplifiées : \exp(1) \simeq 2,7182
e n'est pas rationnel (e \notin \mathbb{Q}), il est transcendant et irrationnel.
alors \exp(n) = \exp(n \times 1) = (\exp 1)^n = e^n, n \in \mathbb{N}^*

Propriétés
Par extension, si x \in \mathbb{R}, \exp(x) sera noté e^x alors les propriétés vues s'écrivent :
e^0 = 1 \\ e^{a + b} = e^a \times e^b \\ e^{ - a} = \dfrac{1}{e^a} \\ e^{a - b} = \dfrac{e^a}{e^b} \\ e^{na} = (e^a)^n}


Remarque :
e^x = e^{2 \times \frac{x}{2}} = \(e^{\frac{x}{2}}\)^2} > 0 donc pour tout réel x, e^x > 0


III. Étude de la fonction exponentielle

La fonction exponentielle est définie et dérivable sur \mathbb{R}.
\exp'(x) = e^x

\begin{tabvar}{|C|CCCCC|} \hline x &-\infty & & 0 & & +\infty \\ \hline \niveau{2}{2}e^x & 0 & \croit & 1 & \croit & +\infty \\ \hline \end{tabvar}

La courbe admet une tangente de coefficient directeur 1 au point de coordonnées (0 ; 1) et de coefficient directeur e au point de coordonnées (1 ; e).

Limites de e^x aux bornes de son ensemble de définition

Propriétés
\displaystyle \lim_{x \to  + \infty} e^x =  + \infty \\ \displaystyle \lim_{x \to - \infty } e^x = 0


Démonstrations :
* \displaystyle \lim_{x \to + \infty} e^x =  + \infty
Montrons que pour tout x \ge 0, e^x \ge x + 1
Soit g(x) = e^x - x, g'(x) = e^x - 1 et pour x \ge 0 on a e^x \ge e^0 \Rightarrow e^x \ge 1 d'où g'(x) \ge 0 (g est croissante sur \mathbb{R}^+).

\begin{tabvar}{|C|CCCC|} \hline x &0& && +\infty \\ \hline \niveau{2}{2}g(x) & 1 & & \croit & +\infty \\  \hline \end{tabvar}

Pour tout x \ge 0, g(x) \ge 1 \Rightarrow e^x - x \ge 1 d'où e^x \ge x + 1 \ge x donc \displaystyle \lim_{x \to  + \infty} e^x =  + \infty

* \displaystyle \lim _{x \to - \infty} e^x = 0
\displaystyle \lim_{x \to - \infty} e^x = \displaystyle \lim_{t \to + \infty} e^{ - t} = \displaystyle \lim_{t \to +\infty} \frac{1}{e^t} = 0
Propriétés
Pour tout n \in \mathbb{N}^*,
\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^n} = +\infty \\ \displaystyle \lim_{x \to -\infty} x^n e^x = 0


Démonstration :
* \displaystyle \lim_{x \to -\infty} \frac{e^x}{x^n} = +\infty
Montrons d'abord que \displaystyle \lim_{x \to  + \infty  \frac{e^x}{x} =  + \infty
Pour cela, on établit que pour x \ge 0, e^x \ge \dfrac{x^2}{2}
Posons h(x) = e^x - \dfrac{x^2}{2}, h'(x) = e^x - x

\begin{tabvar}{|C|CCCC|} \hline x &0& && +\infty \\  \hline \niveau{1}{2} h(x) & 1 & & \croit & +\infty \\ \hline \end{tabvar}
Pour tout x \ge 0, e^x - \dfrac{x^2}{2} \ge 1 donc e^x \ge 1 + \dfrac{x^2}{2} \ge \dfrac{x^2}{2}
x \ge 0 \Rightarrow e^x > \dfrac{x^2}{2}
x > 0 \Rightarrow \dfrac{e^x}{x} > \dfrac{x}{2} d'où \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x} =  + \infty
\( e^{\frac{x}{n}} \)^n = e^x pour tout n \in \mathbb{N}^*
\dfrac{e^x}{x^n} = \dfrac{ \( e^{\frac{x}{n}} \)^n}{x^n} = \( \dfrac{e^{\frac{x}{n}}}{\frac{x}{n} \times n} \)^n = \( \dfrac{e^{\frac{x}{n}}}{\frac{x}{n}} \)^n \times \dfrac{1}{n^n}
or \displaystyle \lim_{X \to  + \infty } \frac{e^X}{X} = + \infty d'où \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{ e^{\frac{x}{n}} }{\frac{x}{n}} = +\infty (avec X = \dfrac{x}{n})
D'autre part : \displaystyle \lim_{t \to  + \infty} t^n =  + \infty et \dfrac{1}{n^n} > 0 d'où \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^n}

* \displaystyle \lim_{x \to -\infty} x^n e^x = 0
On pose t =  - x (lorsque x tend vers  + \infty , t tend vers  - \infty )
x^n e^x = (- t)^n e^{- t} = (- 1) \times \dfrac{t^n}{e^t}
d'où \displaystyle \lim_{x \to  + \infty} x^n e^x = \displaystyle \lim_{t \to +\infty} \(- \dfrac{t^n}{e^t} \) = 0


IV. Dérivée de {e^{u}} - Primitive associée

Si u est définie et dérivable sur I de \mathbb{R}, la fonction f(x) = e^{u( x)} est définie et dérivable sur I et f'(x) = \left(e^{u( x)} \right)' = u'(x) e^{u(x)}
De manière générale : \left(e^{u}\right)' = u'e^u (Fonction composée)




Merci à Profilbill159 bill159 pour avoir contribué à l'élaboration de cette fiche



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