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Fiche de mathématiques

   
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Les Suites

I. Généralités sur les suites

Dans tout le cours, on considère des suites (un)définies sur \mathbb{N} les entiers naturels.

1. Suites croissantes, suites décroissantes

Définitions

Une suite (un) est croissante si pour tout entier n, un infegal un+1.
Une suite (un) est décroissante si pour tout entier n, un supegal un+1.

Remarques :
* Une suite croissante, une suite décroissante sont dites monotones.
* Il existe des suites ni croissantes, ni décroissantes.
Exemple : La suite (un) définie par un = (-1)n est une suite ni croissante, ni décroissante.

Méthode :
Pour étudier le sens de variation d'une suite (un), on étudie le signe de la différence un+1 - un.
Si tous les un sont strictement positifs, on compare \frac{u_{n+1}}{u_n} et 1.

Exemple 1 :
Soit la suite (un) définie pour tout entier naturel n par : u_n = \frac{2n + 3}{n + 2}.
Etudier le sens de variation de la suite (un).

Pour étudier le sens de variation de la suite (un), on étudie le signe de la différence un+1 - un.
u_{n + 1} - u_n = \frac{2(n + 1) + 3}{(n + 1) + 2} - \frac{2n + 3}{n + 2}\\ \hspace{61pt} = \frac{2n + 5}{n + 3} - \frac{2n + 3}{n + 2}\\ \hspace{61pt} = \frac{(2n + 5)(n + 2) - (2n + 3)(n + 3)}{(n + 3)(n + 2)}\\ \hspace{61pt} = \frac{2n^2 + 4n + 5n + 10 - 2n^2 - 6n - 3n - 9}{(n + 3)(n + 2)}\\ \hspace{61pt} = \frac{1}{(n + 3)(n + 2)}
Et, pour tout entier naturel n, n + 3 \small \geq 0 et n + 2 \small \geq 0.
Donc : pour tout entier naturel n, \frac{1}{(n + 3)(n + 2)} \geq 0
D'où : pour tout entier naturel n, un+1 - un \small \geq 0, soit un+1 \small \geq un.
La suite (un) est croissante.

Exemple 2 :
Soit la suite (un) définie pour tout entier naturel n par : u_n = \frac{3^n}{5^n}
Etudier le sens de variation de la suite (un).

Tous les termes de la suite (un) sont strictement positifs. Pour étudier le sens de variation de la suite (un), on compare \frac{u_{n+1}}{u_n} et 1.
\frac{u_{n + 1}}{u_n} = \frac{\frac{3^{n+1}}{5^{n+1}}}{\frac{3^n}{5^n}} = \frac{3^{n+1}}{5^{n+1}} \times \frac{5^n}{3^n} = \frac35
Or, \frac35 < 1, donc la suite (un) est strictement décroissante.
Théorème

Soit (un) une suite définie par un = f(n), avec f définie sur [0; +\small \infty[
Si f est strictement croissante, alors (un) est strictemnt croissante.
Si f est strictement décroissante, alors (un) est strictemnt décroissante.
Démonstration :
* cas où f est strictement croissante :
Pour tout entier naturel n, la fonction f est strictement croissante, donc : f (n + 1) > f (n)
D'où : pour tout entier naturel n, un+1 > un.
La suite (un est donc strictement croissante.

* cas où f est strictement decroissante :
Pour tout entier naturel n, la fonction f est strictement décroissante, donc : f (n + 1) < f (n)
D'où : pour tout entier naturel n, un+1 < un.
La suite (un est donc strictement décroissante.

Ce théorème ne s'applique pas si la suite (un) est définie par récurrence (un+1 = f(un)). Les variations de la fonction f et de la suite (un) ne sont pas toujours les mêmes.

Exemple 3 :
Soit la suite (un) définie pour tout entier naturel n par w_n = \frac{2n - 3}{n + 1}.
Etudier le sens de variation de la suite (un).

Soit f la fonction définie sur ]-1; +\small \infty[ par f(x) = \frac{2x - 3}{x + 1}.
La fonction f est définie en particulier sur [0; +\small \infty[ et est dérivable sur cet intervalle. On a, pour tout x de [0; +\small \infty[ :
f'(x) = \frac{2(x + 1) - (2x - 1)}{(x + 1)^2}\\ \hspace{30pt}= \frac{2x + 2 - 2x + 1}{(x + 1)^2}\\ \hspace{30pt} = \frac{3}{(x + 1)^2}
Pour tout x de [0; +\small \infty[, f '(x) > 0.
La fonction f est donc strictement croissante sur [0; +\small \infty[.
D'où : la suite (un) est strictement croissante.

Exercice :
Soit la suite (vn) définie pour tout entier naturel n par :
\left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} v_0 & 1 \\ v_{n+1} & \frac{1}{2} v_n + 4 \\ \end{array} \right.
Etudier le sens de variation de la suite (vn).

On pose D_n = v_{n+1} - v_n
Pour tout entier naturel n, on a :
D_n = v_{n+1} - v_n = \frac{1}{2} v_n + 4 - \left(\frac{1}{2}v_{n-1} + 4\right)\\ \hspace{25pt} = \frac{1}{2}(v_n - v_{n-1})\\ \hspace{25pt} = \frac{1}{2} D_{n-1}
Comme \frac12 > 0, alors Dn est du signe de Dn-1, qui lui-même est du signe de Dn-2. Et ainsi de proche en proche, on a : Dn est du signe de D0.
Or, D0 = v1 - v0 = \frac12 v_0 + 1 - v_0 = \frac{7}{2} > 0
D'où : pour tout entier naturel n, Dn > 0.
Donc, pour tout entier naturel n, vn+1 > vn
La suite ( vn) est strictement croissante.

Remarque : on dit qu'une suite est stationnaire si elle est constante.


2. Suites périodiques

Définition

Une suite (un) est périodique
si il existe un entier naturel k non nul tel que pour tout entier naturel n, un+k = un

Remarque : la période appartient à \mathbb{N}^*;
si un = sin n, 2pi n'est pas une période pour (un).



II.Suites Arithmétiques

1. Définition

Définition :

Une suite (un) est arithmétique si il existe un réel r tel que pour tout entier naturel n, un+1 = un + r.
r est appelé raison de la suite.



2. Calcul de un

Théorème :
Si (un) est une suite arithmétique de raison r, alors pour tous les entiers naturels n et p, on a :
un = u0 + nr et un = up + (n - p) r.
Démonstration :
(un) est une suite arithmétique de raison r. Donc, pour tout entier naturel n, on a :
un = un-1 + r
un-1 = un-2 + r
...
u2 = u1 + r
u1 = u0 + r
En additionnant ces n égalités membre à membre, on obtient :
un + un-1 + ... + u2 + u1 = un-1 + r + un-2 + r + ... + u1 + r+ + u0 + r
soit : un = u0 + nr

(un) est une suite arithmétique de raison r. Donc, pour tous entiers naturels n et p, on a :
un = u0 + nr et up = u0 + pr
En soustrayant ces deux égalités, on obtient : un - up = u0 + nr - u0 - pr
soit : un = up + (n - p)r

Remarques :
* La première formule n'est qu'un cas particulier de la seconde.
* Si un = an + b, alors (un) est une suite arithmétique de raison a et de premier terme u0 = b.


3. Somme des n premiers termes

Cas particulier :

La somme des n premiers entiers naturels non nuls est égale à \frac{n(n + 1)}{2}
Démonstration :
Soit S la somme des n premiers entiers naturels non nuls, S = 1 + 2 + 3 + ... + (n - 2) + (n - 1) + n.
Sur une première ligne, écrivons la somme dans l'ordre croissant, puis sur une deuxième ligne, la somme dans l'ordre décroissant :
\begin{array}{ccccccccccccc} S = 1&+&2&+&3&+&...&+&(n - 2)& + &(n - 1)& + &n\\ S = n& + & (n - 1) & + & (n - 2) & + & ... & + & 3 & + & 2 & + & 1\end{array}
En sommant ces deux égalités, on obtient :
2S = (1 + n) + (2 + n - 1) + (3 + n - 2) + ... + (n - 2 + 3) + (n - 1 + 2) + (n + 1)
soit 2S = (n + 1) + (n + 1) + (n + 1) + ... + (n + 1) + (n + 1) + (n + 1)
donc : 2S = n(n + 1)
D'où : S = 1 + 2 + 3 + ... + (n - 2) + (n - 1) + n = \frac{n(n + 1)}{2}
Théorème :

Si (un) est une suite arithmétique de raison r et de premier terme u0,
alors pour tout entier n : S = u0 + u1 + ... + un-1 = n \frac{u_0 + u_{n-1}}{2} = n \frac{2u_0 + r(n - 1)}{2}
S est appelée la somme des n premiers termes de la suite (un). Elle est égale au produit du nombre de termes par la demi-somme des termes extrêmes.
Démonstration :
Les n premiers termes de la suite arithmétique (un) sont u0; u1 = u0 + r; u2 = u0 + 2r; ...; un-3 = u0 + (n - 3)r; un-2 = u0 + (n - 2)r et un-1 = u0 + (n - 1)r. Donc :
S = u0 + u1 + u2 + ... + un-3 + un-2 + un-1
S = u0 + (u0 + r) + (u0 + 2r) + ... + (u0 + (n - 3)r) + (u0 + (n - 2)r) + (u0 + (n - 1)r)
S = nu0 + r + 2r + ... + (n - 3)r + (n - 2)r + (n - 1)r
S = nu0 + r[1 + 2 + ... + (n - 3) + (n - 2) + (n - 1)]
Or, on a vu que 1 + 2 + ... + (n - 2) + (n - 1) = \frac{(n - 1)n}{2}. Donc :
S = nu_0 + \frac{r(n - 1)n}{2}\\ S = n \frac{2u_0 + r(n - 1)}{2}\\ S = n\frac{u_0 + u_{n - 1}}{2}


4. Sens de variation





III. Suites géométriques

1. Définition

Définition :
Une suite (un) est géométrique si il existe un réel q tel que pour tout entier naturel n, un+1 = q un.
q est appelé raison de la suite.



2. Calcul de un

Théorème :

Si (un) est une suite géométrique de raison q, alors pour tous les entiers naturels n et p :
un = u0 qn et un = up qn-p
Démonstration :

Remarques :
* la première formule n'est qu'un cas particulier de la seconde;
* si un = b an, alors (un) est une suite géométrique de raison a et de premier terme u0 = b.


3. Somme des n premiers termes

Cas particulier :

La somme des n premiers termes d'une suite géométrique de raison q (q \small \neq 1) et de premier terme 1 est égale à 1 + q + ... + q^{n-1} = \frac{1 - q^n}{1 - q}
Démonstration :
Soit S la somme des n premiers termes d'une suite géométrique de raison q (q \small \neq 1), S = 1 + q + q² + ... + qn-3 + qn-2 + qn-1.
Donc : qS = q + q² + q3 + ... + qn-2 + qn-1 + qn
Donc : qS = S - 1 + qn
Donc : (1 - q)S = 1 - qn
Or, q \small \neq 1, donc 1 - q \small \neq 0.
Donc : S = \frac{1 - q^n}{1 - q}
Théorème :

Si (un) est une suite géométrique de raison q (q \small \neq 1) et de premier terme u0,
alors alors pour tout entier n : S = u0 + u1 + ... + un-1 = u_0 \frac{1 - q^n}{1 - q}
S est appelée la somme des n premiers termes de la suite (un).
Démonstration :
Les n premiers termes de la suite géométrique (un) sont u0; u1 = qu0; u2 = q²u0; ...; un-3 = qn-3u0; un-2 = n-2u0 et un-1 = n-1u0. Donc :
S = u0 + u1 + u2 + ... + un-3 + un-2 + un-1
S = u0 + qu0 + q²u0 + ... + qn-3u0 + qn-2u0 + qn-1u0
S = u0(1 + q + q² + ... + qn-3 + qn-2 + qn-1)
Or, on a vu que 1 + q + q² + ... + qn-3 + qn-2 + qn-1 = \frac{1 - q^n}{1 - q}. Donc :
S = u_0 \frac{1 - q^n}{1 - q}

Remarque : Dans le cas où q = 1, la suite géométrique (un) est constante : elle est toujours égale à u0.
On a alors : S = u0 + u1 + ... + un-2 + un-1 = n u0


4. Sens de variation





IV. Comportement à l'infini

1. Convergence vers l

Les suites de terme général cours sur les suites - première : image 4, cours sur les suites - première : image 5, cours sur les suites - première : image 6, cours sur les suites - première : image 7, an avec -1 < a < 1,
convergent vers 0 et on note alors :cours sur les suites - première : image 8.

Théorème de comparaison 5 :
Si, à partir d'un certain rang, cours sur les suites - première : image 9 et si cours sur les suites - première : image 10,
alors (un) converge vers l et on note : cours sur les suites - première : image 11.

Théorème 6
Si, à partir d'un certain rang, un infegalvninfegalwn et si :
cours sur les suites - première : image 12,
alors cours sur les suites - première : image 13.

Remarques :
* Les deux inégalités sont indispensables pour conclure.
* Si (un) et (wn) convergent vers des réels distincts, on ne peut rien dire pour (vn).


2. Divergence vers l'infini

* Les suites de terme général n, n², n3, cours sur les suites - première : image 14, an avec a>1, divergent vers +infini et on note :
cours sur les suites - première : image 15
* Une suite (un) diverge vers -infini si la suite (-un) diverge vers +infini et on note alors :
cours sur les suites - première : image 16

Théorème de comparaison 7
* Si, à partir d'un certain rang, unsupegalvn et si cours sur les suites - première : image 17, alors cours sur les suites - première : image 15.
* Si, à partir d'un certain rang, uninfegalvn et si cours sur les suites - première : image 18, alors cours sur les suites - première : image 16.

Remarque :
* Il existe des suites qui divergent, sans avoir de limite infinie, par exemple :
un = (-1)n.


3. Opérations

Les règles opératoires sur les limites de suites (somme, produit, quotient) sont les mêmes que pour les limites en +infini d'une fonction.




   

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