Les Suites

I. Généralités sur les suites

Dans tout le cours, on considère des suites (u_n)définies sur les entiers naturels.

1. Suites croissantes, suites décroissantes

Remarques :
Une suite croissante, une suite décroissante sont dites monotones.
Il existe des suites ni croissantes, ni décroissantes.
Exemple : La suite (u_n) définie par u_n = (-1)ⁿ est une suite ni croissante, ni décroissante.

Méthode :
Pour étudier le sens de variation d'une suite (u_n), on étudie le signe de la différence u_n+1 - u_n.
Si tous les u_n sont strictement positifs, on compare et 1.

Exemple 1 :
Soit la suite (u_n) définie pour tout entier naturel n par : .
Etudier le sens de variation de la suite (u_n).

Pour étudier le sens de variation de la suite (u_n), on étudie le signe de la différence u_n+1 - u_n.

Et, pour tout entier naturel n, n + 3 0 et n + 2 0.
Donc : pour tout entier naturel n,
D'où : pour tout entier naturel n, u_n+1 - u_n 0, soit u_n+1 u_n.
La suite (u_n) est croissante.

Exemple 2 :
Soit la suite (u_n) définie pour tout entier naturel n par :
Etudier le sens de variation de la suite (u_n).

Tous les termes de la suite (u_n) sont strictement positifs. Pour étudier le sens de variation de la suite (u_n), on compare et 1.

Or, , donc la suite (u_n) est strictement décroissante.

Démonstration :
cas où f est strictement croissante :
Pour tout entier naturel n, la fonction f est strictement croissante, donc : f (n + 1) > f (n)
D'où : pour tout entier naturel n, u_n+1 > u_n.
La suite (u_n est donc strictement croissante.

cas où f est strictement decroissante :
Pour tout entier naturel n, la fonction f est strictement décroissante, donc : f (n + 1) < f (n)
D'où : pour tout entier naturel n, u_n+1 < u_n.
La suite (u_n est donc strictement décroissante.

Ce théorème ne s'applique pas si la suite (u_n) est définie par récurrence (u_n+1 = f(u_n)). Les variations de la fonction f et de la suite (u_n) ne sont pas toujours les mêmes.

Exemple 3 :
Soit la suite (u_n) définie pour tout entier naturel n par .
Etudier le sens de variation de la suite (u_n).

Soit f la fonction définie sur ]-1; +[ par .
La fonction f est définie en particulier sur [0; +[ et est dérivable sur cet intervalle. On a, pour tout x de [0; +[ :

Pour tout x de [0; +[, f '(x) > 0.
La fonction f est donc strictement croissante sur [0; +[.
D'où : la suite (u_n) est strictement croissante.

Exercice :
Soit la suite (v_n) définie pour tout entier naturel n par :

Etudier le sens de variation de la suite (v_n).

On pose
Pour tout entier naturel n, on a :

Comme , alors D_n est du signe de D_n-1, qui lui-même est du signe de D_n-2. Et ainsi de proche en proche, on a : D_n est du signe de D₀.
Or, D₀ = v₁ - v₀ =
D'où : pour tout entier naturel n, D_n > 0.
Donc, pour tout entier naturel n, v_n+1 > v_n
La suite ( v_n) est strictement croissante.

Remarque : on dit qu'une suite est stationnaire si elle est constante.

2. Suites périodiques

Remarque : la période appartient à ;
si u_n = sin n, 2 n'est pas une période pour (u_n).

II.Suites Arithmétiques

1. Définition

2. Calcul de u_n

Démonstration :
(u_n) est une suite arithmétique de raison r. Donc, pour tout entier naturel n, on a :
u_n = u_n-1 + r
u_n-1 = u_n-2 + r
...
u₂ = u₁ + r
u₁ = u₀ + r
En additionnant ces n égalités membre à membre, on obtient :
u_n + u_n-1 + ... + u₂ + u₁ = u_n-1 + r + u_n-2 + r + ... + u₁ + r+ + u₀ + r
soit : u_n = u₀ + nr

(u_n) est une suite arithmétique de raison r. Donc, pour tous entiers naturels n et p, on a :
u_n = u₀ + nr       et       u_p = u₀ + pr
En soustrayant ces deux égalités, on obtient : u_n - u_p = u₀ + nr - u₀ - pr
soit : u_n = u_p + (n - p)r

Remarques :
La première formule n'est qu'un cas particulier de la seconde.
Si u_n = an + b, alors (u_n) est une suite arithmétique de raison a et de premier terme u₀ = b.

3. Somme des n premiers termes

Démonstration :
Soit S la somme des n premiers entiers naturels non nuls, S = 1 + 2 + 3 + ... + (n - 2) + (n - 1) + n.
Sur une première ligne, écrivons la somme dans l'ordre croissant, puis sur une deuxième ligne, la somme dans l'ordre décroissant :

En sommant ces deux égalités, on obtient :
2S = (1 + n) + (2 + n - 1) + (3 + n - 2) + ... + (n - 2 + 3) + (n - 1 + 2) + (n + 1)
soit 2S = (n + 1) + (n + 1) + (n + 1) + ... + (n + 1) + (n + 1) + (n + 1)
donc : 2S = n(n + 1)
D'où : S = 1 + 2 + 3 + ... + (n - 2) + (n - 1) + n = Démonstration :
Les n premiers termes de la suite arithmétique (u_n) sont u₀; u₁ = u₀ + r; u₂ = u₀ + 2r; ...; u_n-3 = u₀ + (n - 3)r; u_n-2 = u₀ + (n - 2)r et u_n-1 = u₀ + (n - 1)r. Donc :
S = u₀ + u₁ + u₂ + ... + u_n-3 + u_n-2 + u_n-1
S = u₀ + (u₀ + r) + (u₀ + 2r) + ... + (u₀ + (n - 3)r) + (u₀ + (n - 2)r) + (u₀ + (n - 1)r)
S = nu₀ + r + 2r + ... + (n - 3)r + (n - 2)r + (n - 1)r
S = nu₀ + r[1 + 2 + ... + (n - 3) + (n - 2) + (n - 1)]
Or, on a vu que 1 + 2 + ... + (n - 2) + (n - 1) = . Donc :

4. Sens de variation

III. Suites géométriques

1. Définition

2. Calcul de u_n

Démonstration :

Remarques :
la première formule n'est qu'un cas particulier de la seconde;
si u_n = b aⁿ, alors (u_n) est une suite géométrique de raison a et de premier terme u₀ = b.

3. Somme des n premiers termes

Démonstration :
Soit S la somme des n premiers termes d'une suite géométrique de raison q (q 1), S = 1 + q + q² + ... + q^n-3 + q^n-2 + q^n-1.
Donc : qS = q + q² + q³ + ... + q^n-2 + q^n-1 + qⁿ
Donc : qS = S - 1 + qⁿ
Donc : (1 - q)S = 1 - qⁿ
Or, q 1, donc 1 - q 0.
Donc : S = Démonstration :
Les n premiers termes de la suite géométrique (u_n) sont u₀; u₁ = qu₀; u₂ = q²u₀; ...; u_n-3 = q^n-3u₀; u_n-2 = ^n-2u₀ et u_n-1 = ^n-1u₀. Donc :
S = u₀ + u₁ + u₂ + ... + u_n-3 + u_n-2 + u_n-1
S = u₀ + qu₀ + q²u₀ + ... + q^n-3u₀ + q^n-2u₀ + q^n-1u₀
S = u₀(1 + q + q² + ... + q^n-3 + q^n-2 + q^n-1)
Or, on a vu que 1 + q + q² + ... + q^n-3 + q^n-2 + q^n-1 = . Donc :


Remarque : Dans le cas où q = 1, la suite géométrique (u_n) est constante : elle est toujours égale à u₀.
On a alors : S = u₀ + u₁ + ... + u_n-2 + u_n-1 = n u₀

4. Sens de variation

IV. Comportement à l'infini

1. Convergence vers l

Les suites de terme général , , , , aⁿ avec -1 < a < 1,
convergent vers 0 et on note alors :.

Théorème de comparaison 5 :
Si, à partir d'un certain rang, et si ,
alors (u_n) converge vers l et on note : .

Théorème 6
Si, à partir d'un certain rang, u_n v_nw_n et si :
,
alors .

Remarques :
Les deux inégalités sont indispensables pour conclure.
Si (u_n) et (w_n) convergent vers des réels distincts, on ne peut rien dire pour (v_n).

2. Divergence vers l'infini

Les suites de terme général n, n², n³, , aⁿ avec a>1, divergent vers + et on note :

Une suite (u_n) diverge vers - si la suite (-u_n) diverge vers + et on note alors :


Théorème de comparaison 7
Si, à partir d'un certain rang, u_nv_n et si , alors .
Si, à partir d'un certain rang, u_nv_n et si , alors .

Remarque :
Il existe des suites qui divergent, sans avoir de limite infinie, par exemple :
u_n = (-1)ⁿ.

3. Opérations

Les règles opératoires sur les limites de suites (somme, produit, quotient) sont les mêmes que pour les limites en + d'une fonction.

retrouvez cette page sur l'île des mathématiques haut de page
© Tom_Pascal & Océane 2006