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Fiche de mathématiques





I. Généralités sur les suites

Dans tout le cours, on considère des suites (un)définies sur \mathbb{N} les entiers naturels.

1. Suites croissantes, suites décroissantes

Définitions
Une suite (un) est croissante si pour tout entier n, un \le un+1.
Une suite (un) est décroissante si pour tout entier n, un \ge un+1.


Remarques :
* Une suite croissante, une suite décroissante sont dites monotones.
* Il existe des suites ni croissantes, ni décroissantes.
Exemple : La suite (un) définie par un = (-1)n est une suite ni croissante, ni décroissante.

Méthode :
Pour étudier le sens de variation d'une suite (un), on étudie le signe de la différence un+1 - un.
Si tous les un sont strictement positifs, on compare \dfrac{u_{n+1}}{u_n} et 1.

Exemple 1 :
Soit la suite (un) définie pour tout entier naturel n par : u_n = \dfrac{2n + 3}{n + 2}.
Étudier le sens de variation de la suite (un).

Pour étudier le sens de variation de la suite (un), on étudie le signe de la différence un+1 - un.
u_{n + 1} - u_n = \dfrac{2(n + 1) + 3}{(n + 1) + 2} - \dfrac{2n + 3}{n + 2}\\   = \dfrac{2n + 5}{n + 3} - \dfrac{2n + 3}{n + 2}\\   = \dfrac{(2n + 5)(n + 2) - (2n + 3)(n + 3)}{(n + 3)(n + 2)}\\   = \dfrac{2n^2 + 4n + 5n + 10 - 2n^2 - 6n - 3n - 9}{(n + 3)(n + 2)}\\   = \dfrac{1}{(n + 3)(n + 2)}
Et, pour tout entier naturel n, n + 3 \geq 0 et n + 2 \geq 0.
Donc : pour tout entier naturel n, \dfrac{1}{(n + 3)(n + 2)} \geq 0
D'où : pour tout entier naturel n, un+1 - un \geq 0, soit un+1 \geq un.
La suite (un) est croissante.

Exemple 2 :
Soit la suite (un) définie pour tout entier naturel n par : u_n = \dfrac{3^n}{5^n}
Étudier le sens de variation de la suite (un).

Tous les termes de la suite (un) sont strictement positifs. Pour étudier le sens de variation de la suite (un), on compare \dfrac{u_{n+1}}{u_n} et 1.
\dfrac{u_{n + 1}}{u_n} = \dfrac{\frac{3^{n+1}}{5^{n+1}}}{\frac{3^n}{5^n}} = \dfrac{3^{n+1}}{5^{n+1}} \times \dfrac{5^n}{3^n} = \dfrac{3}{5}
Or, \dfrac{3}{5} < 1, donc la suite (un) est strictement décroissante.
Théorème
Soit (un) une suite définie par un = f(n), avec f définie sur [0; +\infty[
Si f est strictement croissante, alors (un) est strictement croissante.
Si f est strictement décroissante, alors (un) est strictement décroissante.

Démonstration :
* cas où f est strictement croissante :
Pour tout entier naturel n, la fonction f est strictement croissante, donc : f (n + 1) > f (n)
D'où : pour tout entier naturel n, un+1 > un.
La suite (un est donc strictement croissante.

* cas où f est strictement decroissante :
Pour tout entier naturel n, la fonction f est strictement décroissante, donc : f (n + 1) < f (n)
D'où : pour tout entier naturel n, un+1 < un.
La suite (un) est donc strictement décroissante.

Ce théorème ne s'applique pas si la suite (un) est définie par récurrence (un+1 = f(un)). Les variations de la fonction f et de la suite (un) ne sont pas toujours les mêmes.

Exemple 3 :
Soit la suite (un) définie pour tout entier naturel n par w_n = \dfrac{2n - 3}{n + 1}.
Étudier le sens de variation de la suite (un).

Soit f la fonction définie sur ]-1; +\infty[ par f(x) = \dfrac{2x - 3}{x + 1}.
La fonction f est définie en particulier sur [0; +\infty[ et est dérivable sur cet intervalle. On a, pour tout x de [0; +\infty[ :
f'(x) = \dfrac{2(x + 1) - (2x - 3)}{(x + 1)^2}\\   = \dfrac{2x + 2 - 2x + 3}{(x + 1)^2}\\   = \dfrac{5}{(x + 1)^2}
Pour tout x de [0; +\infty[, f '(x) > 0.
La fonction f est donc strictement croissante sur [0; +\infty[.
D'où : la suite (un) est strictement croissante.

Exercice :
Soit la suite (vn) définie pour tout entier naturel n par :
\left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} v_0  &  1 \\ v_{n+1}  &  \dfrac{1}{2} v_n + 4 \\ \end{array} \right.
Étudier le sens de variation de la suite (vn).

On pose D_n = v_{n+1} - v_n
Pour tout entier naturel n, on a :
D_n = v_{n+1} - v_n = \dfrac{1}{2} v_n + 4 - \left(\dfrac{1}{2}v_{n-1} + 4\right)\\   = \dfrac{1}{2}(v_n - v_{n-1})\\   = \dfrac{1}{2} D_{n-1}
Comme \dfrac{1}{2} > 0, alors Dn est du signe de Dn-1, qui lui-même est du signe de Dn-2. Et ainsi de proche en proche, on a : Dn est du signe de D0.
Or, D0 = v1 - v0 = \dfrac{1}{2} v_0 + 4 - v_0 = \dfrac{7}{2} > 0
D'où : pour tout entier naturel n, Dn > 0.
Donc, pour tout entier naturel n, vn+1 > vn
La suite ( vn) est strictement croissante.

Remarque : on dit qu'une suite est stationnaire si elle est constante.


2. Suites périodiques

Définition
Une suite (un) est périodique
si il existe un entier naturel k non nul tel que pour tout entier naturel n, un+k = un


Remarque : la période appartient à \mathbb{N}^*;
si un = sin n, 2\pi n'est pas une période pour (un).



II.Suites Arithmétiques

1. Définition

Définition :
Une suite (un) est arithmétique si il existe un réel r tel que pour tout entier naturel n, un+1 = un + r.
r est appelé raison de la suite.




2. Calcul de un

Théorème :
Si (un) est une suite arithmétique de raison r, alors pour tous les entiers naturels n et p, on a :
un = u0 + nr et un = up + (n - p) r.

Démonstration :
(un) est une suite arithmétique de raison r. Donc, pour tout entier naturel n, on a :
un = un-1 + r
un-1 = un-2 + r
...
u2 = u1 + r
u1 = u0 + r
En additionnant ces n égalités membre à membre, on obtient :
un + un-1 + ... + u2 + u1 = un-1 + r + un-2 + r + ... + u1 + r+ + u0 + r
soit : un = u0 + nr

(un) est une suite arithmétique de raison r. Donc, pour tous entiers naturels n et p, on a :
un = u0 + nr et up = u0 + pr
En soustrayant ces deux égalités, on obtient : un - up = u0 + nr - u0 - pr
soit : un = up + (n - p)r

Remarques :
* La première formule n'est qu'un cas particulier de la seconde.
* Si un = an + b, alors (un) est une suite arithmétique de raison a et de premier terme u0 = b.


3. Somme des n premiers termes

Cas particulier :
La somme des n premiers entiers naturels non nuls est égale à \dfrac{n(n + 1)}{2}

Démonstration :
Soit S la somme des n premiers entiers naturels non nuls, S = 1 + 2 + 3 + ... + (n - 2) + (n - 1) + n.
Sur une première ligne, écrivons la somme dans l'ordre croissant, puis sur une deuxième ligne, la somme dans l'ordre décroissant :
\begin{array}{ccccccccccccc} S = 1&+&2&+&3&+&...&+&(n - 2)& + &(n - 1)& + &n\\ S = n& + & (n - 1) & + & (n - 2) & + & ... & + & 3 & + & 2 & + & 1\end{array}
En sommant ces deux égalités, on obtient :
2S = (1 + n) + (2 + n - 1) + (3 + n - 2) + ... + (n - 2 + 3) + (n - 1 + 2) + (n + 1)
soit 2S = (n + 1) + (n + 1) + (n + 1) + ... + (n + 1) + (n + 1) + (n + 1)
donc : 2S = n(n + 1)
D'où : S = 1 + 2 + 3 + ... + (n - 2) + (n - 1) + n = \dfrac{n(n + 1)}{2}
Théorème :
Si (un) est une suite arithmétique de raison r et de premier terme u0,
alors pour tout entier n : S = u0 + u1 + ... + un-1 = n \dfrac{u_0 + u_{n-1}}{2} = n \dfrac{2u_0 + r(n - 1)}{2}
S est appelée la somme des n premiers termes de la suite (un). Elle est égale au produit du nombre de termes par la demi-somme des termes extrêmes.

Démonstration :
Les n premiers termes de la suite arithmétique (un) sont u0; u1 = u0 + r; u2 = u0 + 2r; ...; un-3 = u0 + (n - 3)r; un-2 = u0 + (n - 2)r et un-1 = u0 + (n - 1)r. Donc :
S = u0 + u1 + u2 + ... + un-3 + un-2 + un-1
S = u0 + (u0 + r) + (u0 + 2r) + ... + (u0 + (n - 3)r) + (u0 + (n - 2)r) + (u0 + (n - 1)r)
S = nu0 + r + 2r + ... + (n - 3)r + (n - 2)r + (n - 1)r
S = nu0 + r[1 + 2 + ... + (n - 3) + (n - 2) + (n - 1)]
Or, on a vu que 1 + 2 + ... + (n - 2) + (n - 1) = \dfrac{(\text{n} - 1)\text{n}}{2}. Donc :
S = \text{n}u_0 + \dfrac{r(\text{n} - 1)\text{n}}{2}\\ S = \text{n} \dfrac{2u_0 + r(\text{n} - 1)}{2}\\ S = \text{n}\dfrac{u_0 + u_{\text{n} - 1}}{2}


4. Sens de variation





III. Suites géométriques

1. Définition

Définition :
Une suite (un) est géométrique si il existe un réel q tel que pour tout entier naturel n, un+1 = q un.
q est appelé raison de la suite.




2. Calcul de un

Théorème :
Si (un) est une suite géométrique de raison q, alors pour tous les entiers naturels n et p :
un = u0 qn et un = up qn-p

Démonstration :

Remarques :
* la première formule n'est qu'un cas particulier de la seconde;
* si un = b an, alors (un) est une suite géométrique de raison a et de premier terme u0 = b.


3. Somme des n premiers termes

Cas particulier :
La somme des n premiers termes d'une suite géométrique de raison q (q \neq 1) et de premier terme 1 est égale à 1 + q + ... + q^{n-1} = \dfrac{1 - q^n}{1 - q}

Démonstration :
Soit S la somme des n premiers termes d'une suite géométrique de raison q (q \neq 1), S = 1 + q + q² + ... + qn-3 + qn-2 + qn-1.
Donc : qS = q + q² + q3 + ... + qn-2 + qn-1 + qn
Donc : qS = S - 1 + qn
Donc : (1 - q)S = 1 - qn
Or, q \neq 1, donc 1 - q \neq 0.
Donc : S = \dfrac{1 - q^n}{1 - q}
Théorème :
Si (un) est une suite géométrique de raison q (q \neq 1) et de premier terme u0,
alors alors pour tout entier n : S = u0 + u1 + ... + un-1 = u_0 \dfrac{1 - q^n}{1 - q}
S est appelée la somme des n premiers termes de la suite (un).

Démonstration :
Les n premiers termes de la suite géométrique (un) sont u0; u1 = qu0; u2 = q²u0; ...; un-3 = qn-3u0; un-2 = n-2u0 et un-1 = n-1u0. Donc :
S = u0 + u1 + u2 + ... + un-3 + un-2 + un-1
S = u0 + qu0 + q²u0 + ... + qn-3u0 + qn-2u0 + qn-1u0
S = u0(1 + q + q² + ... + qn-3 + qn-2 + qn-1)
Or, on a vu que 1 + q + q² + ... + qn-3 + qn-2 + qn-1 = \dfrac{1 - q^n}{1 - q}. Donc :
S = u_0 \dfrac{1 - q^n}{1 - q}

Remarque : Dans le cas où q = 1, la suite géométrique (un) est constante : elle est toujours égale à u0.
On a alors : S = u0 + u1 + ... + un-2 + un-1 = n u0


4. Sens de variation





IV. Comportement à l'infini

1. Convergence vers l

Les suites de terme général \dfrac{1}{n}, \dfrac{1}{n^2}, \dfrac{1}{n^3}, \dfrac{1}{\sqrt{n}}, an avec -1 < a < 1,
convergent vers 0 et on note alors : \displaystyle \lim_{n\to+\infty}u_n = 0.


Théorème de comparaison 5 :
Si, à partir d'un certain rang, |u_n - l| \le v_n et si \displaystyle \lim_{n\to+\infty}v_n = 0,
alors (un) converge vers l et on note : \displaystyle \lim_{n\to+\infty}u_n = l.


Théorème 6 :
Si, à partir d'un certain rang, u_n \le v_n \le w_n et si :
\displaystyle \lim_{n\to+\infty}u_n = \lim_{n\to+\infty}w_n = l,
alors \displaystyle \lim_{n\to+\infty}v_n = l.


Remarques :
* Les deux inégalités sont indispensables pour conclure.
* Si (un) et (wn) convergent vers des réels distincts, on ne peut rien dire pour (vn).


2. Divergence vers l'infini

* Les suites de terme général n, n², n3, \sqrt{\text{n}}, an avec a>1, divergent vers +\infty et on note :
\displaystyle \lim_{n\to+\infty}u_n = +\infty
* Une suite (un) diverge vers -\infty si la suite (-un) diverge vers +\infty et on note alors :
\displaystyle \lim_{n\to+\infty}u_n = -\infty


Théorème de comparaison 7 :
* Si, à partir d'un certain rang, u_n \ge v_n et si \displaystyle \lim_{n\to+\infty}v_n = +\infty, alors \displaystyle \lim_{n\to+\infty}u_n = +\infty.
* Si, à partir d'un certain rang, u_n \le v_n et si \displaystyle \lim_{n\to+\infty}v_n = -\infty, alors \displaystyle \lim_{n\to+\infty}u_n = -\infty.


Remarque :
* Il existe des suites qui divergent, sans avoir de limite infinie, par exemple :
un = (-1)n.



3. Opérations

Les règles opératoires sur les limites de suites (somme, produit, quotient) sont les mêmes que pour les limites en +\infty d'une fonction.




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