Algèbre de Banach

Algèbre de Banach : encyclopédie mathématique

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En mathématiques, l'algèbre de Banach est une des structures fondamentales de l'analyse fonctionnelle, portant le nom du mathématicien polonais Stefan Banach (1892-1945).

Sommaire

[modifier] Définition

Une algèbre de Banach $(\mathbb A,+,\cdot,\times,\|\;\|)$ sur le corps $\mathbb K =\mathbb R$ ou $\mathbb C$ est une K-algèbre normée telle que l'espace vectoriel normé sous-jacent soit en outre un espace de Banach (un espace vectoriel normé complet).

Suivant les auteurs, la structure d'algèbre exige ou non la présence d'un élément unité^[1]. Les termes algèbre unitaire et algèbre non unitaire permettent de différencier les structures. En analyse fonctionnelle, une algèbre de Banach est dite unitaire lorsqu'il existe un élément neutre, nécessairement unique, e, et que la norme de e est 1.

On parle en outre d'algèbre de Banach commutative quand la loi produit est commutative.

[modifier] Exemples

L'ensemble des nombres réels muni de la valeur absolue, de la somme et du produit est une algèbre de Banach réelle et unitaire. De même, l'ensemble des nombres complexes, muni du module, de la somme et du produit est une algèbre de Banach complexe et unitaire. Ces exemples sont fondamentaux.

Si $H$ est un espace vectoriel réel ou complexe normé complet, l'algèbre des opérateurs bornés (c'est-à-dire des endomorphismes réels ou complexes continus) de $H$ est une algèbre de Banach réelle ou complexe (unitaire) pour la norme d'opérateurs correspondante, la somme et la composition d'opérateurs. Delà en découle la théorie de la représentation des algèbres de Banach.

L'exemple (précédent) concerne notamment les algèbres d'endomorphismes en dimension finie : en particulier, $\mathbf {M_n( \mathbb R)}$ et $\mathbf {M_b(\mathbb C)}$ sont des algèbres de Banach, pour une norme matricielle classique.

L'espace L¹ des fonctions intégrables sur $\mathbb R$ (modulo l'égalité presque partout) est une algèbre de Banach non unitaire relativement au produit de convolution. Dans la théorie de Riemann de l'intégration, cette algèbre est construite à unique isomorphisme près par complétion d'un espace raisonnable, par exemple l'espace des fonctions continues à support compact, muni de la norme $\mathbf L$ ¹.

Plus généralement, dans la théorie de Lebesgue, l'espace des fonctions intégrables sur un espace mesuré est un espace de Banach. La complétude demande une démonstration qui s'appuie sur un rapprochement entre convergence L¹ et convergence presque partout.

[modifier] Propriétés des algèbres unitaires

Soit $\mathbb A$ une algèbre de Banach unitaire, d'élément unité e.

[modifier] Propriétés de l'application de passage à l'inverse

Comme dans toute algèbre, les éléments inversibles de A forment un groupe. Tout élément x appartenant à la boule ouverte de centre e et de rayon 1 en fait partie, et son inverse peut être exprimé comme somme de la série géométrique de raison x.

$\|x\|<1\Longrightarrow (e-x)^{-1}=\sum_{n=0}^{+\infty} x^n$

Le groupe G des éléments inversibles d'une algèbre de Banach est un ouvert.

Démonstration

Soit un élément inversible a de A et

r = | | a - 1 | | - 1

Soit x un élément de $\mathbb A$ tel que $| | a - x | | < r$ . Alors

| | a - 1 (a - x) | | < 1

donc $e - a - 1 (a - x)$ est inversible. L'élément a étant inversible, le produit

a (e - a - 1 (a - x)) = x

l'est aussi ; ainsi la boule ouverte de centre a et de rayon r est incluse dans le groupe des inversibles, ce qui démontre que ce dernier est ouvert.

L'application de passage à l'inverse est un homéomorphisme de G sur G, ce qui confère à G une structure de groupe topologique. Il s'agit même d'une application différentiable, la différentielle au point x étant donnée par la formule

$d_x \mathrm{Inv} (h)=-x^{-1}hx^{-1}\,$

L'hypothèse de complétude est essentielle et ces résultats tombent en défaut dans les algèbre normée non complète. Par exemple considérons l'algèbre des polynômes à coefficients réels $\mathbb{R}[X]$ muni de n'importe quelle norme. Le groupe des inversibles est $\mathbb{R}^{*}$ qui est inclus dans le sous-espace vectoriel strict $\mathbb{R}$ de $\mathbb{R}[X]$ et est donc d'intérieur vide; il n'est donc pas ouvert. Ceci montre en particulier que $\mathbb{R}[X]$ ne peut être muni d'une structure de $\mathbb{R}$ -algèbre normée complète, résultat qui est aussi conséquence du théorème de Baire.

[modifier] Idéaux et algèbre quotient

Les idéaux maximaux d'une algèbre de Banach sont fermés.

Démonstration

Soit A une algèbre de Banach, U son groupe des inversibles et I un idéal maximal de A. I est inclus dans le complémentaire de U qui est fermé car U est ouvert. Son adhérence J l'est donc aussi: J est donc un idéal strict de A. Comme on a par ailleurs I inclus dans J et I maximal, on a I=J et I est donc fermé dans A.

Une algèbre de Banach complexe dont tout élément non nul est inversible est isomorphe, par l'intermédiaire d'une isométrie, au corps des nombres complexes (théorème de Gelfand-Mazur); en particulier, les idéaux maximaux des algèbres de Banach complexes sont des hyperplans fermés. Noter que la commutativité est une conséquence du théorème.

[modifier] Notes et références

[modifier] Notes

↑ Dans le tome II ses éléments d'analyse, Jean Dieudonné impose l'existence d'un élément neutre dans la définition d'une algèbre de Banach. Au contraire, Nicolas Bourbaki ne le suppose pas.

[modifier] Références

[modifier] Voir aussi

[modifier] Articles connexes

Algèbre
Espace vectoriel normé
Algèbre stellaire
Opérateur linéaire

[modifier] Liens externes

Articles de mathématiques en rapport avec l'analyse fonctionnelle

Fonctionnelle • Calcul des variations • Dérivée fonctionnelle • Espace de Banach • Algèbre de Banach • Espace de Hilbert • Espace de Fréchet • Variété banachique • Espace de fonctions • Noyau reproduisant • Série de Fourier • Transformée de Fourier • Distribution • Topologie faible

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