Algèbre sur un anneau (encyclopédie mathématiques)

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En mathématiques, une algèbre sur un anneau commutatif est une structure algébrique qui se définit comme suit:

$(E, \mathbb A, +,\cdot, \times)$ est une algèbre sur l'anneau commutatif $\mathbb A$ , ou une $\mathbb A$ - algèbre, si :

(E, +, ·) est un module sur $\mathbb A$ ;
la loi de composition interne ×, de E x E dans E, est bilinéaire.

[modifier] Définitions

Soient $\mathbb A$ un anneau commutatif et E un module sur $\mathbb A$ contenant l'opération binaire (c'est-à-dire $\forall x, y \in E, xy\,$ , est le « produit » de x et y). Si l'opération binaire est bilinéaire, ce qui signifie que pour tous $x, y, z \in E\,$ (éléments du module) et pour tout $a \in \mathbb A\,$ (scalaires), ces identités sont vraies :

$(x + y) z = x z + y z\,$ ;
$x ( y + z) = x y + x z\,$ ;
$(a x) y = a (x y) = x (ay)\,$ ,

alors E est une algèbre sur $\mathbb A$ . On dit aussi que E est une $\mathbb A$ -algèbre où $\mathbb A$ est la base de l'algèbre E. L'opération bilinéaire est appelé la multiplication dans l'algèbre E^[1].

Lorsque $\mathbb A$ est un corps commutatif, E est un espace vectoriel sur $\mathbb A$ .

Un morphisme entre deux $\mathbb A$ -algèbres E et F, $\,f\,:\, E\to F$ est un morphisme pour les lois internes (addition et multiplication) et le produit par des scalaires : $f (a + b) = f (a) + f (b)$ , $f (a b) = f (a) f (b)$ , et $f (a x) = a f (x)$ pour tous $a, b\in \mathbb A$ et tout $x\in E$ .

Un morphisme f est un isomorphisme si $f$ est bijectif (son inverse est alors automatiquement un morphisme d'algèbres). Deux algèbres E et F sur $\mathbb A$ sont isomorphes s'il existe un isomorphisme de $\mathbb A$ -algèbres $f : E \to F$ .

[modifier] Voir aussi

Algèbre sur un corps
Algèbre associative sur un anneau
Algèbre de Clifford
Algèbre géométrique
Algèbre de Lie

[modifier] Notes et références

↑ N. Bourbaki, Algèbre, chapitre III, édition de 1970, page 2

v · d · m Algèbre linéaire générale
Vecteur • Scalaire • Combinaison linéaire • Espace vectoriel • Matrice
Famille de vecteurs	Famille génératrice • Famille libre (indépendance linéaire) • Base • Théorème de la base incomplète • Rang • Colinéarité
Sous-espace	Sous-espace vectoriel • Somme de Minkowski • Somme directe • Sous-espace supplémentaire • Dimension • Codimension • Droite • Plan • Hyperplan
Morphisme et notions relatives	Application linéaire • Noyau • Conoyau • Lemme des noyaux • Pseudo-inverse • Théorème de factorisation • Théorème du rang • Équation linéaire • Système d'équations linéaires • Élimination de Gauss-Jordan • Forme linéaire • Espace dual • Orthogonalité • Base duale • Endomorphisme linéaire • Valeur propre, vecteur propre et espace propre • Spectre • Projecteur • Symétrie • Matrice diagonalisable • Diagonalisation • Endomorphisme nilpotent
En dimension finie	Espace vectoriel de dimension finie • Trace • Déterminant • Polynôme caractéristique • Polynôme d'endomorphisme • Théorème de Cayley-Hamilton • Polynôme minimal d'un endomorphisme • Invariants de similitude • Réduction d'endomorphisme • Réduction de Jordan • Décomposition de Dunford • Décomposition de Frobenius
Enrichissements de structure	Norme • Produit scalaire • Forme quadratique • Espace vectoriel topologique • Orientation • Algèbre sur un corps • Algèbre de Lie • Complexe différentiel
Développements	Théorie des matrices • Représentation de groupe • Analyse fonctionnelle • Algèbre multilinéaire • Module sur un anneau

Algèbre sur un anneau

[modifier] Définitions

[modifier] Voir aussi

[modifier] Notes et références

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