Assertion

Assertion : encyclopédie mathématiques

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En linguistique et en philosophie, une assertion représente un énoncé considéré ou présenté comme vrai.

En logique et en mathématiques, une assertion est une proposition mathématique vraie. Cette proposition vraie s'inscrit dans le cadre d'une théorie précisée. Cette même proposition peut d'ailleurs être fausse au sein d'une autre théorie (voir exemples ci-dessous).

[modifier] Exemples

2 + 2 = 4 est une assertion vraie dans la théorie des entiers naturels.
e = 2,71 (où e désigne la base du logarithme népérien) est une assertion fausse dans la théorie des nombres réels.
« il pleuvra demain » n'est pas une assertion mathématique.
L'assertion 1 + 1 = 0 est fausse dans la théorie des entiers mais est vraie dans la théorie des nombres modulo 2.

Nous entendons souvent dire que 2 + 2 = 5 est une affirmation fausse ; en fait cela sous-entend que 2 et 5 sont des entiers naturels et en utilisant les axiomes de la définition des entiers naturels, nous aboutissons à une contradiction évidente 1 = 0, par exemple. Mais nous pouvons faire devenir vraie cette égalité en considérant 2 et 5 comme égaux à 0 et en définissant l'addition par 0 + 0 = 0. Nous construisons dans ce cas une autre théorie ; tout le problème est de savoir si ensuite cette théorie sera d'une quelconque utilité. Et pourra-t-on trouver beaucoup d'adeptes de cette théorie ? Après tout des savants italiens du XVI^e siècle comme Cardan s'enhardissaient à travailler avec des racines carrées de nombres négatifs et notaient abusivement un certain nombre complexe imaginaire $\sqrt{-1}$ ; cela donna plus tard naissance à la théorie des nombres complexes.